摘 要：針對傳統(tǒng)粒子群算法（PSO）中存在的易陷入局部最優(yōu)解和后期收斂速度慢的問題，首次提出一種新混合粒子群算法（NHPSO），采用雜交粒子群算法和固定慣性權(quán)重策略，并把簡化的二次插值法融入雜交粒子群算法中。實(shí)驗(yàn)證明新算法大大提高了收斂速度，改善了解的質(zhì)量。對陣列天線特殊主瓣形式的波束賦形和旁瓣電平優(yōu)化結(jié)果取得了非常好的效果，計(jì)算機(jī)仿真證實(shí)該新算法應(yīng)用于此類問題非常有效。

關(guān)鍵詞：粒子群算法；混合粒子群算法;二次插值法；陣列天線；波瓣賦形

中圖分類號：TN82文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：1004-373X(2008)08-084-04

A New Hybrid Particle Swarm Optimization Algorithm and Application

[JZ]in Antenna Array Pattern Synthesis

YAO Xu，CAO Xiangyu，CHEN Mo

(Laboratory of Microwave and Antennas Technology，Telecommunication College，Air Force Engineering University，Xi′an，710077，China)

Abstract：A hybrid Particle Swarm Optimization(PSO) algorithm is proposed with fixed inertia weight in the hybrid particle swarm optimization algorithm，and a simplified quadratic interpolation method is integrated into this algorithm，aiming at overcoming easily trapping in the local extreme points and slow evolving speed of convergence.The experiment shows that this new algorithm improved the global search ability and the quality of optima.The results of both mainlobe shaping and sidelobe levels are very effective.The simulation results prove that the proposed hybrid new algorithm is efficient in this kind of problems.

Keywords：particle swarm optimization algorithm;hybrid particle swarm optimization algorithm；quadratic interpolation method;array antennas;shaped beam

在雷達(dá)、無線通信等眾多領(lǐng)域中，常要求陣列天線具有確定的主瓣寬度、特殊形狀的主瓣形狀 (如余割波束、余割平方波束、扇形波束等)和低的副瓣電平。由于優(yōu)化中的目標(biāo)函數(shù)或約束條件表現(xiàn)為高維、多極值點(diǎn)、非線性、非凸和不可微等特性，陣列天線波束綜合是一個(gè)十分困難的非線性優(yōu)化問題。雖然已有許多經(jīng)典的優(yōu)化方法如切比雪夫，泰勒，伍德福德等，但是這些方法都是針對某一類特定的問題而提出的，并且對于一些有約束條件的綜合，經(jīng)典方法就很難實(shí)施；而基于梯度尋優(yōu)技術(shù)的傳統(tǒng)數(shù)值優(yōu)化方法，如：梯度法、牛頓法、擬牛頓法、共軛梯度法、DFP法、信賴域法、Rosenbrock法和Powell法等，必須選擇良好的初始設(shè)計(jì)以保證迭代過程的成功實(shí)現(xiàn)，對目標(biāo)函數(shù)的連續(xù)性、可微分性有特殊要求等。因此，近年來人們通過研究和模擬自然界生物群體自適應(yīng)的優(yōu)化現(xiàn)象，建立了基于隨機(jī)搜索的啟發(fā)式優(yōu)化技術(shù)，例如人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、禁忌搜索、模擬退火、進(jìn)化算法、遺傳算法（GA）、蟻群算法（CA）、粒子群算法（PSO）及其混合優(yōu)化策略等，這些現(xiàn)代的優(yōu)化方法在解決用確定性方法無法解決的問題時(shí)表現(xiàn)出強(qiáng)大的潛能，這些算法以其算法概念清晰、程序簡單等特點(diǎn)，很適合于解決此類復(fù)雜的非線性優(yōu)化問題，并且對優(yōu)化對象的性態(tài)無要求。

粒子群算法（PSO）是一種自適應(yīng)全局優(yōu)化啟發(fā)式算法，其源于對鳥群和魚群群體運(yùn)動行為的研究，20世紀(jì)90年代中期，Eberhart博士和Kennedy博士受到人工生命的研究結(jié)果的啟發(fā)，提出一種新的群集智能計(jì)算技術(shù)^[13]相比傳統(tǒng)中常用的遺傳算法，粒子群算法具有算法簡單、容易實(shí)現(xiàn)、搜索速度快、所含參數(shù)較少的特點(diǎn)，近年來受到學(xué)術(shù)界的廣泛重視?；綪SO算法和其他的進(jìn)化算法一樣有著收斂過快、早熟收斂、搜索范圍不大、容易收斂到局部極值等問題。因此，人們先后出現(xiàn)了多種PSO算法的改進(jìn)算法^[49]，包括雜交粒子群算法(HPSO)、并行粒子群算法（CONPSO）、自適應(yīng)粒子群算法（APSO）、微粒子群算法以及實(shí)數(shù)編碼粒子群算法等，提高了PSO 算法的收斂精度和搜索成功率。

目前國內(nèi)對陣列天線方向圖的綜合，大多數(shù)集中在對旁瓣電平以及零陷的有效控制上，但對主瓣區(qū)進(jìn)行優(yōu)化控制的卻比較少，雖然文獻(xiàn)［5］中給出了一些主瓣控制方法，但是收斂速度較慢且不符合工程上的研究需要。因此，本文把簡化的二次插值法作為一個(gè)局部搜索算子，融入到原有的雜交粒子群算法(HPSO)中，構(gòu)成適于求解主瓣賦形優(yōu)化的混合粒子群算法。該混合算法可以較好解決粒子群算法早熟收斂、搜索范圍不大、容易收斂到局部極值等問題。從優(yōu)化綜合后得到的結(jié)果來看，計(jì)算天線的遠(yuǎn)場方向圖都與理想方向圖主瓣非常逼近，同時(shí)副瓣很低。

1 基本粒子群算法

粒子群算法是基于群體智慧的演化算法。鳥類、蜜蜂等生物在尋找食物的過程中，一方面是依靠自身的探求，另一方面則是依靠伙伴之間相互的經(jīng)驗(yàn)交流，從而能快速準(zhǔn)確的找到在整個(gè)區(qū)域中最好的食物源。PSO 算法正是以上述生物現(xiàn)象作為模型，而提出的一種進(jìn)化優(yōu)化算法。他是由N個(gè)粒子組成的群體在D維空間搜索最優(yōu)解的過程。在搜索時(shí)參考自身歷史最優(yōu)位置和群體歷史最優(yōu)位置進(jìn)行迭代。每個(gè)粒子在每次迭代中有位置和速度2個(gè)D維向量，即:

Xi=(xi1，xi2，…，xid)，Vi=(vi1，vi2，…，vid)

1≤i≤N；1≤d≤D

基本PSO算法的迭代公式如下:

vk +1id=ω#8226;vkid +c#8226;rand1#8226;(pbestkid -xkid ) + c2 #8226;

rand2#8226;(gbestkid -xkid )(1)

xk + 1id= xkid+ vk + 1id (2)

其中ω為慣性權(quán)重，在最初的迭代公式中并不存在，后來發(fā)現(xiàn)^[3]加上這項(xiàng)優(yōu)化效果明顯。c1和c2為學(xué)習(xí)因子，又稱為加速因子。[WTHX]v[WTBX]kid 是前運(yùn)動速度向量，[WTHX]x[WTBX]kid 是第i個(gè)粒子的位置向量。pbesti是第i個(gè)粒子自身歷史的最優(yōu)位置向量，gbesti 是群體的最優(yōu)位置向量。rand1和rand2 是(0，1)之間的隨機(jī)數(shù)。式(1)，(2)中的上標(biāo)k表示是第k次的迭代;下標(biāo)d表示向量的第d維。在求解優(yōu)化問題時(shí)，首先隨機(jī)初始化一個(gè)種群，即一組隨機(jī)解，賦予他們隨機(jī)的位置和初速度。粒子在整個(gè)搜索空間飛行進(jìn)行搜索，通過向自身最優(yōu)和群體最優(yōu)的不斷學(xué)習(xí)，調(diào)整飛行速度，搜尋整個(gè)空間的最優(yōu)解。每次飛行后都會更新個(gè)體最優(yōu)值和群體最優(yōu)值。當(dāng)尋找到最優(yōu)解或達(dá)到最大迭代次數(shù)，算法終止。這時(shí)的群體最優(yōu)值即為求解得到的最優(yōu)解。

基本PSO往往會收斂于局部極值，通常表現(xiàn)為粒子聚集度越來越高，全局最優(yōu)粒子長時(shí)間維持不變。這些可以作為判斷PSO停滯不前的標(biāo)志。在這個(gè)時(shí)候，需要某種方法來跳出局部極值，維持種群的活性，充分地搜索整個(gè)空間。

2 雜交粒子群算法模型

雜交粒子群模型(HPSO)是將基本的粒子群算法（PSO）和選擇機(jī)制相結(jié)合而得到的。該模型由Angeline于1998年提出。在Angeline的HPSO模型中，將每次迭代產(chǎn)生的新的粒子群根據(jù)適應(yīng)函數(shù)進(jìn)行選擇，用適應(yīng)度較高的一半粒子的位置和速度矢量取代適應(yīng)度較低的一半粒子的相應(yīng)矢量，而保持后者個(gè)體極值不變。這樣的PSO模型在提高收斂速度的同時(shí)保證了一定的全局搜索能力，在大多數(shù)的Benchmark函數(shù)的優(yōu)化上取得較原始PSO模型更好的優(yōu)化結(jié)果。Lovbjerg，Rasmuwsen和Krink于2000年提出將進(jìn)化算法（遺傳算法）中的交叉操作也引入PSO的HPSO模型。交叉機(jī)制首先以一定的交叉概率從所有粒子中選擇待交叉的粒子，然后兩兩隨機(jī)組合進(jìn)行交叉操作產(chǎn)生后代粒子。后代粒子的位置和速度矢量如下所示:

child1(x)=p#8226;parent1(x)+(1.0－p)#8226;parent2(x)(3)

child2(x)=p#8226;parent2(x)+(1.0－p)#8226;parent1(x)(4)

其中x是D維的位置向量;而child1(x)和child2(x)，k=l，2，分別指明是孩子粒子還是父母粒子的位置;p是D維均勻分布的隨機(jī)數(shù)向量，p的每個(gè)分量都在［0，l］取值。

child1(v)=parent1(v)+parent2(v)|parent1(v)+parent2(v)|#8226;|parent1(v)|(5)

child2(v)=parent1(v)+parent2(v)|parent1(v)+parent2(v)|#8226;|parent2(v)|(6)

交叉型PSO與傳統(tǒng)的PSO的惟一區(qū)別在于粒子群在進(jìn)行速度和位置的更新后還要進(jìn)行上述的交叉操作，并用產(chǎn)生的后代粒子取代雙親粒子。交叉操作使后代粒子繼承了雙親粒子的優(yōu)點(diǎn)，在理論上加強(qiáng)了對粒子間區(qū)域的搜索能力。例如兩個(gè)雙親粒子均處于不同的局部最優(yōu)區(qū)域，那么兩者交叉產(chǎn)生的后代粒子往往能夠擺脫局部最優(yōu)，而獲得改進(jìn)的搜索結(jié)果。實(shí)驗(yàn)證明，與傳統(tǒng)的PSO及傳統(tǒng)的遺傳算法比較，交叉型PSO搜索速度快，收斂精度高。目前，利用進(jìn)化操作改進(jìn)傳統(tǒng)PSO算法的探索仍在繼續(xù)。

3 二次插值法

三點(diǎn)二次插值法是一種簡單有效的線搜索方法，他不需目標(biāo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)信息，適用范圍廣，而且計(jì)算量小，適合作為啟發(fā)式的搜索算子。三點(diǎn)二次插值法在文獻(xiàn)［7］中用來進(jìn)行全局搜索，本文將其作為局部搜索算子，插入到上述雜交粒子群模型中，提高算法的搜索能力，減少計(jì)算量，從而使遺傳算法跳出局部最優(yōu)解，快速向全局最優(yōu)解靠近。

設(shè)xa =(xa1 ，xa2，…，xan )Τ，xb =(xb1 ，xb2，…，xbn )Τ，xc =(xc1 ，xc2，…，xcn )Τ，計(jì)算這3點(diǎn)的適應(yīng)度值fa=fit(xa)，fb=fit(xb)，fc=fit(xc)。假設(shè)fa>fb且fc>fb，則由下式得到的近似極小值點(diǎn)=(1，2，…，n)Τ為：

i=12αβ，i=1，2，…，n（7）

其中：

α = ［(xbi )2-(xci )2］ #8226; fa+ ［(xci )2-(xai )2］ #8226; fb+ 

［(xai )2-(xbi )2］ #8226; fc ;

β = (xbi -xci ) #8226; fa+ (xci -xai ) #8226; fb+ (xai -xbi ) #8226; fc。

每一代中3點(diǎn)xa，xb，xc的選擇如下：

在當(dāng)前種群最優(yōu)位置向量gbesti， 把適應(yīng)度從小到大排列，取xb，xa，xc依次為前3個(gè)最好個(gè)體，即fb≤fa≤fc。若對某些i∈{1，2，…，n}，(xbi -xci ) #8226; fa+ (xci -xai ) #8226; fb+ (xai -xbi ) #8226; fc< ε2 (ε2=10－6)，則令=xb，fit()=fb；否則，由式（7）計(jì)算出，并計(jì)算適應(yīng)度fit()。若fit()≤fb，則將當(dāng)前種群中的gbesti用替換。

4 混合粒子群算法

雜交粒子群算法具有一定的全局搜索功能，再利用二次插值的局部搜索特點(diǎn)，將兩者有機(jī)地結(jié)合，來提高算法的收斂效率和全局尋優(yōu)能力。下面給出混合粒子群算法的詳細(xì)步驟：

（1） 初始化一群粒子，其中包括粒子起始位置和速度;粒子速度限定在［－vmax，vmax］ 位置限定在［－xmax，xmax］;

（2） 計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度值;

（3） 對每個(gè)粒子，將其適應(yīng)度值與其經(jīng)歷過的最好位置pbest 做比較，如果好于后者，則將此時(shí)的適應(yīng)度值作為當(dāng)前的最好位置pbest;

（4） 局部搜索—簡化的二次插值法。

① 在當(dāng)前的粒子種群個(gè)體中，將其所經(jīng)歷過的最好位置pbest把適應(yīng)度從小到大排列，取xb，xa，xc依次為前3個(gè)最好個(gè)體，即fb≤fa≤fc。

②若對某些i∈{1，2，…，n}，(xbi -xci ) #8226; fa+ (xci -xai ) #8226; fb+ (xai -xbi ) #8226; fc< ε2 (ε2=10－6)，則令=xb，fit()=fb；否則，由式（7）計(jì)算出，并計(jì)算適應(yīng)度fit()。

③若fit()≤fb，則將當(dāng)前種群中的gbesti用替換，否則gbesti用fb來代替。

（5） 對每個(gè)粒子，將其適應(yīng)度值與全局所經(jīng)歷的最好位置gbest做比較，如果好于后者，則重新記錄gbest 的大小。

（6） 先根據(jù)式（1）更新粒子的速度，然后根據(jù)式(2) 更新粒子位置。 

（7） 按照式（3）~（6）將粒子速度和位置引入交叉操作。

（8） 如果滿足結(jié)束條件(通常為產(chǎn)生足夠好的適應(yīng)度值或達(dá)到一個(gè)預(yù)設(shè)最大代數(shù)Gmax )，程序終止，否則跳轉(zhuǎn)到第（2）步。

5 陣列天線方向圖綜合

5.1 適應(yīng)度函數(shù)的設(shè)計(jì)

對于由n個(gè)理想點(diǎn)源組成的離散直線陣，以陣列的第一個(gè)單元為參考點(diǎn)，在不考慮單元之間耦合的條件下，認(rèn)為單元輻射fi(θ)=1，只需優(yōu)化陣因子即可，N單元陣列天線的遠(yuǎn)場陣因子可表示為:

S(θ)=∑N－1n=0In#8226;ej(nkdsin θ+αn)(8)

式（8）中，Inαn，n=0，1，…，N－1為各單元的饋電幅度和相位，為需要確定的量；k=2πλ為波數(shù)，λ為工作波長；d為單元間距；θ為空間輻射角，設(shè)其最大值為Smax，則歸一化陣因子方向函數(shù)為：(θ)=S(θ)/Smax。對給定的陣因子|(θ)|進(jìn)行取樣，取樣點(diǎn)為θi，i=0，1，2，…，M，即0≤θ0，θ1，θ2，…，θM≤180。

對于這種方向圖形式比較復(fù)雜的情況，在適應(yīng)度函數(shù)的設(shè)計(jì)中引入權(quán)值系數(shù)，其目的在于避免某個(gè)參數(shù)變化范圍過大而淹沒其他參數(shù)對目標(biāo)函數(shù)的貢獻(xiàn)，建立適應(yīng)度函數(shù)：

F(I0，I1，I2，…，IN－1;α0，α1，α2，…，αN－1)

=∑M－1i=0ωk#8226;［|(θi)|－|G(θi)|］2（9）

式（9）中G(θ)為目標(biāo)函數(shù)（賦形波束）；ωk是權(quán)值系數(shù)，對于一些不對稱的復(fù)雜形式，改變權(quán)值ωk可以得到更好的優(yōu)化效果。用優(yōu)化算法綜合方向圖的目的就是根據(jù)波束形狀要求來求解陣列天線的激勵(lì)幅值、相位，使得：

min F(I0，I1，I2，…，IN－1;α0，α1，α2，…，αN－1)（10）

5.2 仿真結(jié)果及分析

[HTH]實(shí)例1 [HTSS]設(shè)計(jì)要求:主瓣為40°余割平方波束，單元電流動態(tài)范圍(0≤In≤1;－π≤αn≤π;n=0，1，…，15） ，仿真采用16 元直線陣，陣元間距為λ/2，波束最大角度為0°，副瓣電平低于-20 dB ?；旌狭Ｗ尤簝?yōu)化的參數(shù)設(shè)置：采用固定的慣性權(quán)重ω=0.5，粒子數(shù)80，最大迭代次數(shù)100 ，速度上限vmax=0.4，取樣點(diǎn)數(shù)M=180，設(shè)置權(quán)系數(shù)（主瓣為5.0，副瓣取1.0）。圖1和圖2分別是用混合粒子群算法優(yōu)化設(shè)計(jì)出的余割平方波束和粒子平均適應(yīng)度函數(shù)的迭代曲線。圖1中實(shí)線是本文計(jì)算的方向圖，虛線是目標(biāo)方向圖，優(yōu)化過程中主瓣最大波動為0.012 dB，基本上實(shí)現(xiàn)了完全的擬合，且余割寬度較寬。各項(xiàng)參數(shù)均優(yōu)于文獻(xiàn)［10］中的效果，陣元的激勵(lì)與相位分布如表1所示。

[HTH]實(shí)例2 [HTSS]設(shè)計(jì)要求:窄主瓣低副瓣波束，單元電流動態(tài)范圍(0≤In≤1；－π≤αn≤π；n=0，1，…，29） ，仿真采用30 元直線陣，陣元間距為λ/2，波束主瓣寬度小于10°，副瓣電平低于-35 dB。混合粒子群優(yōu)化的參數(shù)設(shè)置：采用固定的慣性權(quán)重ω=0.5，粒子數(shù)80，最大迭代次數(shù)200 ，速度上限vmax=0.4，取樣點(diǎn)數(shù)M=180，設(shè)置權(quán)系數(shù)（主瓣為1.0，副瓣取4.0）。

[XC<50t1.tif>]

圖1 混合PSO 優(yōu)化得到的余割平方波束

[XC<50t2.tif>]

圖2粒子平均適應(yīng)度函數(shù)的迭代曲線

[HT6H][WTHZ][JZ(]表1 用混合PSO算法綜合16單元

余割平方波束的陣列方向圖激勵(lì)幅度（歸一化）與相位[JZ)]

單元12345678

激勵(lì)幅度0.330.300.190.250.770.700.370.35

相位(弧度)-0.50.40-0.11.391.850.920.152.93

[BHDSG4.3mm]單元[]910111213141516

[BHDWG4.3mm]激勵(lì)幅度1.001.001.001.001.000.630.350.44

[BH]相位(弧度)2.322.061.921.621.570.991.110.89

[HJ0]

圖3和圖4分別是用混合粒子群算法優(yōu)化窄主瓣低副瓣波束和粒子平均適應(yīng)度函數(shù)的迭代曲線。圖3中實(shí)線是本文計(jì)算的方向圖，虛線是目標(biāo)方向圖。

[XC<50t3.tif>]

圖3 混合PSO 優(yōu)化得到的波束

[XC<50t4.tif>]

圖4粒子平均適應(yīng)度函數(shù)的迭代曲線

6 結(jié) 語

提出把簡化的二次插值法作為一個(gè)局部搜索算子，插入到雜交粒子群算法中，構(gòu)成一個(gè)新的混合粒子群算法，針對具體的優(yōu)化對象選擇合適的參數(shù)組合，有效克服了粒子群算法迭代后期陷入局部收斂的可能。文中運(yùn)用這種改進(jìn)的粒子群算法針對陣列天線的主瓣進(jìn)行優(yōu)化賦形，取得了良好的效果，是其他算法無法取代的，隨著優(yōu)化方法的不斷發(fā)展，粒子群算法必將電磁優(yōu)化問題中的顯示出巨大的潛力。

[LL]

參 考 文 獻(xiàn)

［1］Kennedy J，Eberhart R C.Particle Swarm Optimization［C］.In Proc.IEEE International Conference on Neural Networks，IEEE Service Center，Perth，Australia，1995.

［2］Eberhart R C，Kennedy J.A New Optimizer Using Particle Swarm Theory.Proceeding of Sixth International Symposium on Micro Machine and Human Science，Nagoya，Japan，1995:3943.

［3］Shi Y，Eberhart R C.A Modified Particle Swarm Optimizer\\[C\\].Proceeding of the IEEE Congress on EvolutionaryComputation (CEC 1998)，Piscataway，NJ，1998:6973.

［4］Tony H，Ananda S M.A Microparticle Swarm Optimizer for the Reconstruction of Microwave Images ［J］.IEEE Transactions on AP，2007，55:568576.

［5］Ide A，Yasuda K.RobustAdaptive Particle Swarm Optimization ［J］.OPTIS 2002(JSME)，2002(3):195200.

［6］Keiichiro Yasude，Azuma Ide，Nobuhiro Iwasaki.Adaptive Particle Swarm Optimization.Proceedings of the IEEE Congress on Evolutionary Computation，1999:1 9511 957.

［7］Keiichiro Yasuda，Nobuhiro Iwasaki.AdaptiveParticleSwarm Optimization Using Velocity Information of Swarm.2004 IEEE International Conference on Systems，Man and Cybemetics，2004，6:516520.

［8］Yaping Yang，Ying Tan，Jianchao Zeng.A Quadratic Particle Swarm Optimization and its SelfAdaptive Parameters.Proceeding of the 6th World Congress on Intelligent Control and Automation.2006:3 2653 270.

［9］Baskar S，Alphones A，Suganthan P P.Concurrent PSO and FDRPSObased Reconfigurable PhaseDifferentiated Antenna Array Design.CEC′04，Oregon，2004，6:99101.

［10］劉燕，郭陳江，丁君，等.基于粒子群算法的陣列天線波束賦形［J］.電子測量技術(shù)，2007，30（6）：4345.

［11］呂善偉.天線陣綜合［M］.北京:北京航空學(xué)院出版社，1988.

［12］王茂光，呂善偉.陣列天線分析與綜合［M］.成都：電子科技大學(xué)出版社，1988.

［13］李宏，焦永昌.一種求解全局優(yōu)化問題的新混合遺傳算法［J］.控制理論與應(yīng)用，2007，24（3）:1722.

［14］郭陳江，丁君.一種對任意線陣天線的主波束賦形方法［J］.電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2004，19(5):638641.

［15］Olen C A，Compton Jr R T.A Numerical Pattern SynthesisAlgorithm for Arrays ［J］ IEEE.Trans.Antennas Propagat，1990，38:1 6661 676.

［16］劉少偉.用粒子群算法優(yōu)化裝備初始備件量\\[J\\].空軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2008，9(1).

［17］肖志文，盧萬錚，馬嘉俊.一種新型超寬帶異形單極天線\\[J\\].空軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004，5(6):5354，69.

[JP3]［18］胡繪斌，盧萬錚，林寶勤.基于遺傳算法的一種小型塔康信標(biāo)天線設(shè)計(jì)\\[J\\].空軍大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2002，3(1):4648.

作者簡介 姚 旭 男，1982年出生，遼寧沈陽人，碩士研究生。研究方向?yàn)殡姶艌鰯?shù)值算法和電磁帶隙結(jié)構(gòu)研究。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文