摘 要：在有限元當中網格（包括影射網格和自由網格）劃分對于計算結果的影響至關重要。提出一種多功能映射網格劃分方法，該方法以平面的網格劃分為基礎，曲面和某些特殊實體的網格可以通過其投影面或基準面的網格劃分數據自動生成。算例表明，該方法結構簡單，適用范圍廣，通過合理規(guī)劃可以得到質量良好的網格。

關鍵詞：有限元;網格生成;四邊形;六面體

中圖分類號：TP391文獻標識碼：B

文章編號：1004-373X(2008)08-070-03[HJ1*5]

A Multifunctional Mapped Mesh Method

ZHANG Shaojie1，CHEN Jiang1，LI Peng2，LING Tao2，LIU Haowu1

(1.College of Hydrology and Water Resources，Sichuan University，Chengdu，610065，China;

[JZ]2.College of Architecture Environment，Sichuan University，Chengdu，610065，China)[HJ1*5]

Abstract：The mapped mesh is very important to the result in the finite element.A multifunctional mapped mesh method based on planar mesh is presented in this paper，the mesh of surface and some special solid can generate automatically from mesh data of its projection or datum plane.The example shows that this method has a property of simple structure，extensive applicability，and can obtain inerratic shape by proper arrangement.

Keywords：finite element;mesh generation;quadrangle;hexahedron

有限元法是當今最有效的數值計算方法之一，其應用范圍涉及航空航天、土木工程、機械制造等眾多領域，隨著計算機技術的發(fā)展，其優(yōu)越性更加突出。一個完整的有限元計算包括前處理、求解、后處理3個部分，其中前處理約占整個計算周期的70%，求解占10%，后處理占20%，方便、快捷的前處理方式必然縮短整個計算周期以提高效率。前處理一般包括建立模型、定義材料幾何參數、網格劃分、定義邊界條件等，就網格劃分而言，大體可分為自由網格劃分和映射網格劃分，目前自由網格劃分的方法主要有：Delaunay三角化方法^[1]、前沿生成法^[2]、Paving單元法^[3，4]等。這些方法有些已用在商品化的有限元軟件中，發(fā)揮了較大作用。而有限元計算中普遍推崇的還是映射網格劃分，本文提出一種多功能的映射網格劃分方法，并用程序實現平面、曲面、特殊實體的一體化映射網格劃分。

1 算法簡介

本節(jié)首先介紹平面的映射網格劃分方法，然后給出曲面及特殊實體的處理方式。

1.1 平面的映射網格劃分

1.1.1 分割母域

映射網格劃分對劃分區(qū)域均有一定限制，本文所提出的方法要求：

① 劃分區(qū)域為四邊形；

② 四邊形的某對邊為直邊；

③ 四邊形的另一對邊可以為任意曲線，但該曲線在x或y軸上的投影不重疊。對于復雜平面，需要將母域劃分成滿足以上要求的子域，其分割原則一般為：

(1) 無孔母域

設母域外包線的間斷點個數為M，在母域中設置一個N邊形，當M≤4時，取N=4；當M>4時，取N=M，將N邊形劃分成滿足要求的子域，在母域外包線上選N個點與N邊形的N個角點相連，選點的原則為優(yōu)先選擇間斷點，若間斷點不夠，則視具體情況添加連續(xù)點，母域經過以上處理后所得子域將全部滿足條件①和②，但不一定滿足條件③，對不滿足條件③的子域再做相應劃分即可，如圖1(a)所示。

圖1 分割母域

(2)有孔母域

直接連接母域外包線和內包線的間斷點，若間斷點不匹配或分割效果不好則適當添加連續(xù)點，如圖1(b)所示。

對于更一般的情況可以歸結為以上兩種情況的組合。

1.1.2 子域離散

經過以上劃分后的母域已變成全部滿足要求的子域，子域的劃分步驟為：

(1)若子域中含有曲邊則首先離散該曲邊及其對邊，若全為直邊則任選一對邊離散。如圖2所示，設該條曲邊所確定的函數為y=f(x)，其劃分數為n，比例因子為r(r>0)，起點和終點坐標分別為(x1，y1)，(xn+1，yn+1)，若曲邊在x軸的投影無重疊，則首先用式（1）確定各離散點的x坐標，再由y=f(x)確定離散點的y坐標，反之，則先確定離散點的y坐標，由x=f－1(y)確定離散點的x坐標。當曲邊為圓弧時可在極坐標系下離散，這樣將得到更好的網格。

當r=1時:

xi=x1+(i－1)#8226;(xn+1－x1)/n

當r≠1時:

xi=x1+(1－r(i－1))#8226;(xn+1－x1)/(1－rn)

(i=1，2...n+1)[JY](1)

(2)經過以上步驟后，子域中的兩對邊分別離散為n+1個點，依次連接這n+1對點得n+1條直線，然后再用步驟(1)的方法分別離散這n+1條直線。離散的同時，記錄節(jié)點信息和單元信息，這樣即完成了一個子域的網格劃分，如圖3所示。

[XC<39t2.tif>]

圖2 離散曲線

[XC<39t3.tif>]

圖3 子域的劃分

(3)按步驟(1)，(2)離散其他子域，對子域見的公共節(jié)點實行節(jié)點合并操作，以避免產生多余的節(jié)點。

1.2 曲面處理方法

對于曲面，首先將其投影到某個平面，設該平面為局部坐標系x′y′z′的x′y′平面，若投影面有重疊，則將曲面適當劃分為子域，直到各子域在x′y′平面的投影均無重疊，然后對各子域的投影平面劃分網格，得投影平面的網格劃分數據，根據子域的曲面方程z′=f(x′，y′)可得各子域離散點的z′坐標，再按坐標變換公式將局部坐標系x′y′z′下的坐標變換到總體坐標系。

1.3 實體處理方法

對于某些特殊實體，其網格可通過其基準面的網格劃分數據自動生成，基準面可以是平面也可以是曲面。如棱柱體可通過基準面的拖拉生成，有旋轉對稱軸的實體可通過基準面的旋轉生成，一般性的實體，只要對上述方法稍加擴展也不難得到。

1.3.1 拖拉網格

首先得到基準面的網格劃分數據，即節(jié)點信息和單元信息，設基準面上的節(jié)點總數為nn，單元總數為ne，第j個節(jié)點的坐標為(xj，yj，zj)，第k個單元的節(jié)點組成為{nk1，nk2，nk3，nk4}?；鶞拭嫜厍€L拖拉，曲線L的方程為z=f(x，y)，L在x，y，z軸上的投影線至少有2根不重疊，若不滿足此條件則須將曲線L分段，然后分段拖拉基準面，以下討論L在x，y軸的投影線不重疊的情況，其他情況類似。設L的起點和終點坐標分別為(xs，ys，zs)和(xt，yt，zt)，拖拉份數為n，比例因子為r(r>0)，拖拉后得n+1層節(jié)點和n層單元。第i層節(jié)點上與基準面的j節(jié)點對應的節(jié)點編號為(i－1)#8226;nn+j，坐標為(xij，yij，zij)，其計算公式為式（2）；第l層單元上與基準面k單元相對應單元的第m個節(jié)點為nlkm，其計算公式為式（3）。

1.3.2 旋轉網格

旋轉網格的處理方法與拖拉網格相似，首先得到各層節(jié)點的旋轉角度，再轉換成節(jié)點坐標，當旋轉角度為360°時。第n+1層節(jié)點與第1層節(jié)點重合，需要執(zhí)行節(jié)點合并操作，限于篇幅不再累述。

當r=1時:

[JB（{]xij=xj+(xt－xs)#8226;(i－1)/n

yij=yj+(yt－ys)#8226;(i－1)/n[JB）]

當r≠1時:

[JB（{]xij=xj+(xt－xs)#8226;(1－r(i－1))/(1－rn)

yij=yj+(yt－ys).(1－r(i－1))/(1－rn)[JB）][JY](2)

zij=f(xij，yij) (i=1，2…，n+1;j=1，2，…，nn)

[JB（]當m≤4時:nlkm=nkm+(l－1).nn

當m>4時:nlkm=nk(m－4)+l.nn

(l=1，2，…，n;k=1，2，…，ne;m=1，2，…，8)[JB）][JY](3)

2 算 例

按照以上算法用Matlab編制映射網格劃分程序，圖4～圖7分別給出用此程序劃分的各種類型網格，從圖中可以看出只要通過合理的規(guī)劃，該方法能得到質量良好的各種網格，其適用范圍廣。

圖4 平面網格

3 結 語

本文提出一種多功能映射網格劃分方法，并用Matlab編制了網格劃分程序，實現了平面、曲面、特殊實體的一體化網格劃分。相應的算例表明，該方法結構簡單，適用范圍廣，通過合理規(guī)劃可以得到質量良好的網格。

圖5 曲面網格

參 考 文 獻

［1］Lo S H.Generation of Highquality Gradation Finite Element Mesh［J］.Engineering Fracture Mechanics，1992，41(2):191202.

［2］ George P L，Seveno E.The Advancingfront Mesh Generation Method Revisited［J］.International Journal for Numerical Methods in Engineering，1994，37:3 6053 619.

［3］ Blacker TED D，Stephenson M B.Paving:A New Approachto Automated Quadrilateral Mesh Generation［J］.Interna[CD*4]

tional Journal for Numerical Methods in Engineering，1991，31(4):811847.

［4］ Roger J Cass，Steven E Benzley，Ray J Meyers，et al.Generalized 3D Paving:An Automated Quadriclateral Surface Mesh Generation Algorithm［J］.International Journal for Numerical Methods in Engineering，1996，36(9):1 4751 489.[HJ0]

作者簡介 張少杰男，1983年出生，山東青島人，碩士研究生。主要從事工程檢測與計算機方法的研究。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文