摘 要：給出一種在二維小波變換基礎(chǔ)上進(jìn)行混沌映射，將圖像加密的方法。該方法應(yīng)用二維小波分解算法分解圖像信息，再對(duì)其實(shí)行正弦混沌映射，從而完成圖像的加密。解密時(shí)，首先對(duì)系數(shù)進(jìn)行正弦映射的逆映射，再進(jìn)行二維小波重構(gòu)，實(shí)現(xiàn)對(duì)原始圖像的解密。仿真結(jié)果證明了該方法的有效性。

關(guān)鍵詞：小波變換;加密算法;正弦映射;混沌加密

中圖分類(lèi)號(hào)：TN309 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1004373X(2008)1508403

Image-scrambling Encryption Algorithm Based on Discrete Wavelet Transform

MU Xiuchun1，ZHANG Na2

(1.College of Electric and Information Engineering，Heilongjiang Institute of Science and Technology，Harbin，150027，China;

2.Daqing High-tech Industrial Development Zone，Daqing，163000，China)

Abstract：Based on two-dimension wavelet transformation，an image encryption algorithm is proposed.This method decomposes the image information，then using SIN chaos mapping，and bringing image encryption to access.To decryption，it first inverses mapping the coefficient，two dimension wavelet re-discompose，realizes the decryption of the original image.The result shows that this algorithm is effective.

Keywords：wavelet transformation;cryptography;Sin mapping;chaotic encryption

1 引 言

圖像信息安全問(wèn)題有著極為廣泛的含義，考慮其安全算法時(shí)，必須考慮其特殊性:數(shù)據(jù)的冗余性，對(duì)大數(shù)據(jù)量數(shù)據(jù)加密的可實(shí)現(xiàn)性，能否經(jīng)受住常見(jiàn)的數(shù)據(jù)有損壓縮、格式變換等操作。混沌動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)具有偽隨機(jī)型、確定性和對(duì)初始條件與系統(tǒng)參數(shù)的極端敏感性，因此，利用它可以構(gòu)造非常好的信息加密系統(tǒng)^［1］。另外，采用混沌動(dòng)力學(xué)模型構(gòu)造的加密系統(tǒng)可以在多媒體信息受到某些信號(hào)處理后，仍然可以較好地解出信息^［2］。而在混沌加密之前，對(duì)圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行小波變換，變換后得到的小波系數(shù)中如果有一個(gè)發(fā)生改變，就會(huì)通過(guò)小波變換的逆運(yùn)算體現(xiàn)在所有的像素點(diǎn)中，這樣的加密效果會(huì)更好。

混沌現(xiàn)象是非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中出現(xiàn)的確定性的偽隨機(jī)過(guò)程。這種過(guò)程是非周期的、不收斂、但有界，并且它對(duì)初始條件和外部參數(shù)有極其敏感的依賴(lài)性，即初始條件的微小差異會(huì)隨著時(shí)間的推移，以李雅普諾夫指數(shù)規(guī)律相互分離，最終變成運(yùn)動(dòng)軌跡或特性完全不同的兩條軌跡?；煦缡且环N特殊的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，可以提供數(shù)量眾多、非相關(guān)、類(lèi)隨機(jī)、易于產(chǎn)生和再生的信號(hào)，并且只要一個(gè)映射公式和初始值就可以產(chǎn)生混沌序列，不必存儲(chǔ)各個(gè)序列點(diǎn)的值。將混沌系統(tǒng)作為偽隨機(jī)序列發(fā)生器，其中混沌系統(tǒng)由離散混沌系統(tǒng)或經(jīng)過(guò)離散化的連續(xù)混沌系統(tǒng)構(gòu)成?；煦缦到y(tǒng)產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列與明文進(jìn)行異或操作，得到輸出即為密文。這種應(yīng)用混沌進(jìn)行加密算法最先由英國(guó)數(shù)學(xué)家Matthews于1989年提出。1990年，美國(guó)海軍實(shí)驗(yàn)室的Pecora和Carroll首次提出了基于混沌同步概念的混沌保密通信理論，并實(shí)驗(yàn)觀察到了混沌同步，是混沌用于保密通信的開(kāi)端。

基于變換域的圖像加密算法，是近幾年才提出的一種新的圖像加密方法。小波分析是一種時(shí)域—頻域分析，介于純時(shí)域的方波分析和純頻域的傳統(tǒng)Fourier分析之間，同時(shí)具有時(shí)域和頻域的良好局部化性質(zhì)，而且隨著信號(hào)不同，頻率成分在時(shí)間(空間)域取樣的疏密自動(dòng)調(diào)節(jié)，可達(dá)到效率高、質(zhì)量佳的效果。小波變換用于圖像處理是小波變換應(yīng)用效果比較突出的領(lǐng)域之一，由于圖像是二維信號(hào)，因此需要用二維小波變換。

2 二維小波分析

小波變換(Wavelet Transform，WT)是廣泛應(yīng)用于圖像和語(yǔ)音分析等眾多領(lǐng)域的一種數(shù)學(xué)工具，小波變換具有良好的時(shí)-頻(或空-頻)局部特性，并且還具有多分辨分析的優(yōu)點(diǎn)，享有數(shù)學(xué)顯微鏡的美譽(yù)。它特別適合于變換域的圖像處理，如圖像的壓縮、去噪、加密和分割等。

設(shè)V³j(j∈Z)是L2(R2)的一個(gè)可分離多分辨分析：V³j=VjVj，其中Vj(j∈Z)是L2(R)的一個(gè)多分辨分析，其尺度函數(shù)為φ，小波函數(shù)為Ψ。φ(x，y)=φ(x)φ(y)是其相應(yīng)的二維尺度函數(shù)，Ψ(x)是與尺度函數(shù)對(duì)應(yīng)的一維標(biāo)準(zhǔn)正交小波。定義三個(gè)“二維小波”：Ψ1(x，y)=φ(x)Ψ(y)

Ψ2(x，y)=Ψ(x)φ(y)

Ψ3(x，y)=Ψ(x)Ψ(y) 則其正交平移系

2-jΨ1(2-jx-m，2-jy-n)

2-jΨ2(2-jx-m，2-jy-n)

2-jΨ3(2-jx-m，2-jy-n)，(m，n)∈Z2 分別是L2(R2)內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)正交基。

設(shè)f(x，y)∈V³j為原始圖像，其二維小波分解為:

Ajf=Aj+1f+D1j+1f+D2j+1f+D3j+1f

=∑∞m=-∞∑∞n=-∞Cj+1(m，n)φj+1(m，n)+

∑∞m=-∞∑∞n=-∞D(zhuǎn)ij+1(m，n)φj+1(m，n) (i=1，2，3)

利用尺度函數(shù)和小波函數(shù)的正交性，可得:Cj+1(m，n)=∑∞k=-∞∑∞l=-∞h(k-2m)h(l-2n)Cj(k，l)

D1j+11(m，n)=∑∞k=-∞∑∞l=-∞h(k-2m)g(l-2n)Cj(k，l)

D2j+11(m，n)=∑∞k=-∞∑∞l=-∞g(k-2m)h(l-2n)Cj(k，l)

D3j+11(m，n)=∑∞k=-∞∑∞l=-∞g(k-2m)g(l-2n)Cj(k，l) 令Hr和Hc分別為用尺度濾波器系數(shù)對(duì)陣列{Ck，l}(k，l)∈Z2的行和列作用的算子，Gr和Gc分別為用小波濾波器系數(shù)對(duì)行和列作用的算子，則二維Mallat分解算法為:Cj+1=HrHcCj

D1j+1=HrGcCj

D2j+1=GrHcCj

D3j+1=GrGcCj j=0，1，…，J其重構(gòu)算法為：

Cj=H*rH*cCj+1+H*rG*cD1j+1+G*rH*cD2j+1+

G*rG*cD3j+1

3 變換域圖像加密的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

圖像加密的安全性是評(píng)價(jià)一個(gè)圖像加密系統(tǒng)的最核心的標(biāo)準(zhǔn)。除此以外，在變換域的圖像加密中，均方誤差(MSE)或者峰值信噪比(PSNR)是評(píng)價(jià)圖像加密的一項(xiàng)重要指標(biāo)，其中均方誤差定義為：MSE=∑M-1x=0∑N-1y=0(f(x，y)-(x，y))2M×N 對(duì)尺寸大小為M×N，量化級(jí)為0～255的原始圖像f(x，y)，其峰值信噪比定義如下：PSNR(dB)=10log102552MSE其中，f(x，y)和(x，y)分別表示原始圖像和解密圖像。

4 基于小波變換的圖像置亂加密算法

基于小波變換的圖像置亂加密算法屬于基于變換域的圖像加密算法范疇，是近幾年才提出的一種新的圖像加密方法。它充分考慮到圖像信息數(shù)據(jù)的特殊性：數(shù)據(jù)的冗余性;對(duì)大數(shù)據(jù)量數(shù)據(jù)加密的可實(shí)現(xiàn)性：能否經(jīng)受住常見(jiàn)的數(shù)據(jù)有損壓縮、格式變換等操作。由于該方法考慮到圖像數(shù)據(jù)的壓縮等操作對(duì)加密數(shù)據(jù)流的影響，符合現(xiàn)在流行的圖像編碼方案，因此具備較強(qiáng)的適應(yīng)性，具備廣闊的應(yīng)用前景。如文獻(xiàn)\\采用混沌序列實(shí)現(xiàn)基于DCT變換域的置亂算法取得較好的效果。同樣在混沌加密之前，對(duì)圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行小波變換，變換后得到的小波系數(shù)中如果有一個(gè)發(fā)生改變，就會(huì)通過(guò)小波變換的逆運(yùn)算體現(xiàn)在所有的像素點(diǎn)中，這樣的加密效果就比只用混沌序列加密好得多。文獻(xiàn)［5］已經(jīng)開(kāi)始在此領(lǐng)域內(nèi)開(kāi)展了一些工作，他們利用混沌貓映射對(duì)小波變換域系數(shù)進(jìn)行置亂處理，取得較好的加密效果。文獻(xiàn)［6］證明基于廣義貓映射的圖像加密算法在已知圖像攻擊下是不安全的。本文設(shè)計(jì)了一種基于小波變換與混沌相結(jié)合的圖像加密算法。

4.1 圖像的小波分析

圖像經(jīng)小波變換分解后，不僅使時(shí)-頻兩域的信息有效的分離，而且時(shí)-頻兩域信息一一對(duì)應(yīng)。利用這一特性，對(duì)小波分解后的四個(gè)子圖作相同的置亂，可以明顯改進(jìn)解密圖像的信噪比。

圖1 圖像的小波分解4.2 基于正弦映射的圖像置亂方法

圖像置亂算法的設(shè)計(jì)通常是尋找一個(gè)映射關(guān)系Ｔ，使xn+1

yn+1=Txn

yn。

然而一個(gè)好的圖像置亂算法還應(yīng)具有圖像置亂效果要好、圖像置亂效率要高以及密鑰空間要大等特點(diǎn)。按照傳統(tǒng)圖像置亂算法的設(shè)計(jì)思路要尋找到同時(shí)滿足上述條件的置亂變換是非常困難的。本文利用混沌系統(tǒng)的初值敏感性，參數(shù)敏感性和類(lèi)隨機(jī)性的特點(diǎn)，提出了一種基于正弦映射的圖像置亂算法，它能達(dá)到圖像置亂效果好，效率高且密鑰空間大的目的。

正弦映射的圖像置亂算法的意義在于其置亂矩陣Ｔ由正弦映射產(chǎn)生。輸入系統(tǒng)參數(shù)μ和初始值x0，采用正弦混沌映射xn+1=f(μ，xn)=μsin(πxn)，n=0，1，2，…。迭代K+L次得到混沌序列xi，i=0，1，…，K+L-1，為保證混沌系統(tǒng)的初值敏感性和參數(shù)敏感性，舍棄混沌系統(tǒng)的前L次迭代數(shù)據(jù)。因此，剩余混沌序列可用xj，j=0，1，…，K-1表示。則置亂矩陣T中(x，y)處的元素t(x，y)的值可由t(x，y)=\\，k=x×M+y得到。其中\(zhòng)\表示取整操作，由正弦混沌映射xk∈(0，1］可知，置亂矩陣T的元素t(x，y)∈{0，1，2，…，K-1}。因此，可用t(x，y)表示圖像的位置信息。

4.3 算法設(shè)計(jì)

根據(jù)混沌的參數(shù)敏感性、初始值敏感性特點(diǎn)，本文設(shè)計(jì)的算法步驟如圖2所示。

圖2 基于小波變換的圖像加密原理圖步驟1 圖像預(yù)處理：設(shè)原始圖像為f0(x，y)，對(duì)f0(x，y)進(jìn)行如下式的預(yù)處理得到f1(x，y)：

f1(x，y)=(f0(x，y)+g1(x，y)·x+

g2(x，y)·y)mod L

其中，g1(x，y)和g2(x，y)是正弦混沌系統(tǒng)迭代并作取整得到的兩幅混沌圖像。L為圖像的灰度級(jí)，對(duì)灰度圖像取L=256。原始圖像經(jīng)此預(yù)處理后可使f1(x，y)接近于隨機(jī)圖像。

步驟2 對(duì)圖像f1(x，y)進(jìn)行小波變換得到圖像f2(x，y)，f2(x，y)由4個(gè)子圖像組成。

步驟3 對(duì)f2(x，y)的四個(gè)子圖像均采用混沌變換置亂處理得到f3(x，y)，f3(x，y)也是由4個(gè)子圖像組成。

步驟4 對(duì)f3(x，y)進(jìn)行小波逆變換，得到加密圖像f4(x，y)。

圖像解密過(guò)程是加密的逆過(guò)程。首先根據(jù)密鑰生成逆置亂序列和解密模板，對(duì)加密圖像進(jìn)行列、行逆置亂，再恢復(fù)小波系數(shù)，然后根據(jù)小波系數(shù)重構(gòu)圖像，達(dá)到解密圖像的目的。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

用本文算法對(duì)Lena圖像(尺寸為256×256，灰度級(jí)L=256)進(jìn)行加密，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。其中g(shù)1(x，y)和g2(x，y)分別是在x01=0.6，μ1=0.98和x02=0.5，μ2=0.99的條件下由正弦混沌系統(tǒng)得到的；預(yù)處理圖像進(jìn)行一階小波變換，小波分解后的四個(gè)子圖均采用相同的密鑰進(jìn)行混沌變換，混沌變換中采用正弦映射，其系統(tǒng)參數(shù)μ=0.999，初始值x0=0.7。在小波變換域的圖像加密算法中，由于混沌變換改變了小波系數(shù)的位置，會(huì)使解密圖像質(zhì)量有所降低。若同樣用峰值信噪比對(duì)解密圖像和原始圖像的一致性進(jìn)行客觀評(píng)價(jià)，可得到解密圖像與原始圖像的峰值信噪比PSNR=60.139 4，由此可知，客觀評(píng)價(jià)與主觀評(píng)價(jià)結(jié)果是一致，且性能很好。

圖3 基于小波變換的圖像加密結(jié)果由正弦混沌系統(tǒng)的敏感性測(cè)試結(jié)果可知，必須正確輸入所有密鑰，即正弦混沌系統(tǒng)的初始值x0，x01，x02和系統(tǒng)參數(shù)μ，μ1，μ2才能正確解密圖像。因此，本文提出的圖像加密算法總的密鑰空間非常大，可達(dá)1084，非授權(quán)者用窮舉法破密在有限的時(shí)間內(nèi)是很難破密成功，分析表明本文算法具有很高的安全性。

6 結(jié) 語(yǔ)

基于小波變換域的圖像加密是一種重要而有效的圖像方法。本文對(duì)基于小波變換的圖像加密算法進(jìn)行了研究，該算法主要利用混沌變換對(duì)小波分解系數(shù)進(jìn)行相同的置亂混沌變換。這種做法的最大優(yōu)點(diǎn)是保證解密圖像有很高的峰值信噪比(PSNR=60.139 4)，該方法取得了較好的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

參 考 文 獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介 穆秀春 女，1979年出生，黑龍江密山人，助教。主要從事數(shù)字圖像加密方向的研究。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文