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        命題邏輯中代數(shù)學的影子

        2008-04-12 00:00:00張廣學
        現(xiàn)代電子技術 2008年4期

        摘要:命題邏輯是一個以命題為基本研究對象的數(shù)學化的邏輯系統(tǒng),命題邏輯是數(shù)理邏輯的基礎,也是計算機科學與技術的理論基礎。為了深入理解命題邏輯,將命題邏輯與一般的代數(shù)學進行比較,從6個方面簡要總結和論述命題邏輯中代數(shù)學的一些思想和方法,使得讀者能從中體會到代數(shù)學的一些思想和方法在命題邏輯中的應用。

        關鍵詞:命題邏輯;代數(shù)學;數(shù)理邏輯;二義性

        中圖分類號:TP30

        文獻標識碼:B

        文章編號:1004—373X(2008)04—126—02

        最早人們是使用自然語言研究邏輯,在某些情況下,由于自然語言容易產生二義性(如雙關語等),這給邏輯的研究帶來了很大的麻煩和不便。由于數(shù)學的嚴密性,為了克服這種弊端,人們便在邏輯的研究中引進數(shù)學的方法(即引進一套符號體系的方法),這樣就產生了數(shù)理邏輯。數(shù)理邏輯是從量的側面來研究邏輯的。從模型化的觀點來看,數(shù)理邏輯是研究“數(shù)學思維”的一種數(shù)學模型。數(shù)理邏輯又稱符號邏輯,這種方法的優(yōu)點是表達簡潔,推理方便、概括性好、易于分析。

        命題邏輯是一個以命題為基本研究對象的數(shù)學化的邏輯系統(tǒng),命題邏輯是數(shù)理邏輯的基礎,是計算機科學與技術的理論基礎。對命題邏輯的理解直接影響數(shù)理邏輯的其他內容的學習和理解。既然命題邏輯是一種用數(shù)學的方法研究邏輯而形成的學科,那么就需要關注在命題邏輯中所體現(xiàn)的數(shù)學的思想和方法。本文就命題邏輯中代數(shù)學的一些思想和方法做簡要的總結和論述。

        1 命題邏輯中代數(shù)學的影子

        (1)量化的思想

        為了研究的方便,首先對命題進行量化。盡管具體的命題很多,但從真值的角度來看,只有2個——真命題和假命題。規(guī)定真命題的真值為1,假命題的真值0。這樣就完成了對命題的量化。

        (2)引進邏輯運算符、規(guī)定邏輯運算規(guī)則,從而形成了一整套命題定律

        代數(shù)學實際上是一系列的“運算”,這種“運算”能在任何符號(不一定是數(shù)學)的集合上,根據(jù)一定的公設來進行。

        命題邏輯引進了相當于代數(shù)學中的代數(shù)運算符(如+,-,×,÷等)一樣的邏輯運算符(邏輯聯(lián)結詞),∧,∨,→,等,同時命題邏輯以真值表的形式規(guī)定如何進行運算(即運算的規(guī)則),也規(guī)定在有多種邏輯運算符參加的運算中邏輯運算符的優(yōu)先級,這就相當于在代數(shù)學中先算乘方、開方,再算乘法、除法,最后計算加法、減法一樣。邏輯聯(lián)結詞運算的優(yōu)先級從高到低為∧,∨,→。從而也形成了一整套命題定律。

        (3)引進常量和變量

        與代數(shù)學一樣,命題邏輯也引進命題常量(常元)和變量(變元),這樣使邏輯的研究發(fā)生重大的變革,邏輯的研究也進入變量時代,這是一種質的飛躍,可以說數(shù)理邏輯是一種變量邏輯、變量數(shù)學。這樣邏輯的研究就能像數(shù)學一樣進行演算和推理。這為邏輯的研究帶來了極其豐富的思想和方法。

        (4)引進與代數(shù)式很相似的命題公式

        命題邏輯也引進像代數(shù)學的代數(shù)式一樣的命題公式。代數(shù)學中的代數(shù)式實際上是用代數(shù)運算符按一定的規(guī)則、聯(lián)結代數(shù)運算對象而成的一個字符串,而命題公式則是用邏輯運算符按一定的規(guī)則聯(lián)結邏輯運算對象而成的一個字符串;命題公式和代數(shù)式都是一個字符串,他們惟一的區(qū)別是運算符、運算對象和運算規(guī)則不同,其余都是相同。如果從更抽象的角度來看,只有運算規(guī)則不同。所以把一個命題公式可以看成一個代數(shù)式,對命題公式施行一些與代數(shù)式很類似的一些變換和演算。例如代數(shù)學中在代數(shù)式的所有變量的值給定的情況下,可以求代數(shù)式的值。命題邏輯中在一個命題公式的所有變量的值給定(即命題公式的真值指派或解釋或賦值)情況下,就可以求命題公式的值(在一個真值指派下命題公式就變成一個命題,他就有確定的真值)。如果抽象的看,求代數(shù)式的值和求命題公式的值沒有本質的區(qū)別。

        (5)命題函數(shù)的引進

        函數(shù)是代數(shù)學研究的重點,也是代數(shù)學的核心,函數(shù)是研究變量關系的一種重要的工具和模型。在完成前面一些工作以后,命題邏輯自然也引進命題函數(shù)。如:

        (6)引進換元的思想和方法

        命題邏輯中的代人規(guī)則,實際上就是代數(shù)學中換元的思想和方法在邏輯的研究中的再現(xiàn)與應用。運用基本的永真式和基本的永假式與命題邏輯中的代入規(guī)則可以產生大量的永真式和永假式。

        2 結 語

        利用代數(shù)學的思想和方法研究邏輯是數(shù)理邏輯最主要的特征,也是邏輯研究的新境界。學習數(shù)理邏輯一定要看到代數(shù)學在命題邏輯中的影子,否則就無法正確地理解命題邏輯的真含。

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