李云湯

湖南省郴州市二中 (423000)

2007年全國普通高校招生考試湖南卷文科數(shù)學(xué)第20題是一道典型的立足基礎(chǔ)、注重探究、考查能力的好題.該題的命制，充分體現(xiàn)了“考查基礎(chǔ)，注重思想方法，培養(yǎng)實際能力”的命題原則.該試題在考查學(xué)生數(shù)列基礎(chǔ)知識的同時，突出了對學(xué)生探究意識及創(chuàng)新精神的考查.

該試題立足基礎(chǔ)的一方面是：考查的基礎(chǔ)知識是等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式，數(shù)列前n項和與項之間的關(guān)系等高中畢業(yè)學(xué)生必須掌握的知識；另一方面考查的基本思想方法亦是高中學(xué)習(xí)階段常用的方程的思想，轉(zhuǎn)化(化歸)的思想，分類討論的思想等；第三方面是該題的綜合程度只限于“數(shù)列”這一章的基礎(chǔ)知識.

該題注重探究主要表現(xiàn)在第(2)小問，它要求學(xué)生通過觀察、聯(lián)想、分析、比較、歸納、概括等過程后得出所要結(jié)論.

該題彰顯能力的一方面是：考查了學(xué)生的觀察能力，邏輯推理能力，運算能力，探索能力等；另一方面是考生必須具備綜合應(yīng)用這些“能力”的能力.

現(xiàn)就該題的解答及解答中常見的錯誤和它對高中教學(xué)的啟示作進(jìn)一步的評述.

試題 (本小題滿分13分)設(shè)S璶是數(shù)列{a璶}(n∈N*)的前n項和，a1=a,且S2璶=3n2a璶+S2﹏-1,a璶≠0，n=2,3,4……

(1)證明：數(shù)列{a﹏+2-a璶}(n≥2)是常數(shù)列；

(2)試找出一個奇數(shù)a，使以18為首項，7為公比的等比數(shù)列{b璶}(n∈N*)中的所有項都是數(shù)列{a璶}中的項，并指出b璶是數(shù)列{a璶}中的第幾項.

解：(1)當(dāng)n≥2時，由已知得S2璶-S2﹏-1=3n2a璶,∵a璶=S璶-S﹏-1≠0,∴S璶+S﹏-1=3n2①，于是S﹏+1+S璶=3(n+1)2②.②-①得a﹏+1+a璶=6n+3③.因此a﹏+2+a﹏+1=6n+9④，④-③得a﹏+2-a璶=6.故數(shù)列{a﹏+2-a璶}(n≥2)是常數(shù)列.

賞析：該小題設(shè)問的巧妙之處就在于從已知數(shù)列{a璶}中構(gòu)造出一個新數(shù)列{a﹏+2-a璶}(n≥2)，然后要求考生證明這個新數(shù)列是一個常數(shù)列 ，其構(gòu)思新穎、獨特，極具創(chuàng)意.而在高中數(shù)學(xué)中常數(shù)列又往往被教師和學(xué)生忽略.在證明這個結(jié)論時，要求學(xué)生有強(qiáng)烈的化簡意識、有較強(qiáng)的觀察能力、有一定的轉(zhuǎn)化化歸能力.

(2)解法一：由第(1)問中的①知S2+S1=12，又a1=a,∴a2=12-2a.由a﹏+1+a璶=6n+3，知a3+a2=15,∴a3=3+2a.

于是由第(1)問中的結(jié)論a﹏+2-a璶=6，知數(shù)列{a2k獇和{a2k+1獇分別是以a2、a3為首項，6為公差的等差數(shù)列.

所以a2k=a2+6(k-1)=6k-2a+6(k∈N*)，同理有a2k+1=6k+2a-3(k∈N*).

又b璶=18×7﹏-1為偶數(shù)，a2k+1=6k+2a-3=2(3k+a)-3為奇數(shù)，所以b璶只可能是數(shù)列{a2k獇中的項.

若b1=18是數(shù)列{a2k獇中的第m項，由18=6m-2a+6得a=3m-6，取m=3得a=3，此時a2k=6k.

由b璶=a2k，得6k=18×7﹏-1,2k=6×7﹏-1,k∈N*.從而知b璶是數(shù)列{a璶}中的第6×7﹏-1項.

解法二：由第(1)問中的結(jié)論a﹏+2-a璶=6(n≥2)和a2=12-2a,a3=3+2a知：n為大于1的奇數(shù)時，a璶=a3+(n-12-1)×6=3n-6+2a;n為偶數(shù)時，a璶=a2+(n2-1)×6=3n+6-2a.

于是a璶=a n=1，

3n+(-1)琻?(6-2a) n≥2.因為數(shù)列{b璶}(n∈N*)中的所有項都是數(shù)列{a璶}中的項，所以b璵=a璶(m∈N*)，即18?7﹎-1=3n+(-1)琻?(6-2a),令a=3得18?7﹎-1=3n，于是n=6?7﹎-1.此時b璵是數(shù)列{a璶}的第6?7﹎-1項.即b璶是數(shù)列{a璶}中的第6×7﹏-1項.

賞析：在高考閱卷過程中知該小題的得分極低，近九成的學(xué)生得分在1分以下.除了考生考試的時間因素和心理因素外，該小題立足考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力及探究意識.考查學(xué)生的分類討論思想(如解法一)和整體運用思想(如解法二)，而這恰恰是文科學(xué)生的弱點.本小題是一道關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)活動和探究過程的好題.該小題以探索性的設(shè)問方式提問，題中沒有明確的結(jié)論，要求學(xué)生親身經(jīng)歷“觀察、聯(lián)想、分析、比較、歸納、概括”的探究過程，真可謂匠心獨運!

學(xué)生在解答該題時，主要有以下幾種錯誤.

(1)把等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式記錯：如把等比數(shù)列的通項公式寫成b璶=b1q琻等；

(2)誤認(rèn)為“常數(shù)”就是零.于是在證明了a﹏+2-a璶=6后，還證明了(a﹏+3-a﹏+1)-(a﹏+2-a璶)=0;

(3)運算錯誤：如由a﹏+2+a﹏+1=6n+9輆﹏+2+a﹏+1=6(n+2)+3=6n+15等；

(4)化歸錯誤：如由a璶+a﹏-1=6n-3輆﹏+2+a璶=6(n+1)+3=6n+9等；

(5)用不完全歸納法得出的結(jié)論不加證明就作為命題的結(jié)論：如由S璶+S﹏-1=3n2和S1=a1=a分別求出a2=12-2a、a3=3+2a、a4=18-2a、…，由a4-a2=6得出a﹏+2-a璶=6(常數(shù))等；

(6)其它錯誤：如由S璶+S﹏-1=3n2軸2+S1=3×22,S3+S2=3×32,S4+S3=3×42,……，S璶+S﹏-1=3n2.然后將上面各式盲目地相加減.

教學(xué)啟示：

針對以上錯誤和這道試題得分極低這種情況，我們在今后的教學(xué)中應(yīng)著重從以下幾個方面去提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).

(1)注重知識和思維的發(fā)生發(fā)展過程的教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)主要是知識教學(xué)和習(xí)題教學(xué)，這兩種主要的教學(xué)內(nèi)容都應(yīng)該作為過程而不是結(jié)果展現(xiàn)給學(xué)生.在知識的教學(xué)中，不僅要講概念、法則、定理、定義、公式以及思想方法的結(jié)果，更應(yīng)剖析它們的文字?jǐn)⑹鲋嘘P(guān)鍵詞的深刻涵義，更應(yīng)講這些結(jié)論的形成過程及應(yīng)用的條件；在習(xí)題教學(xué)中更應(yīng)講如何從題設(shè)、結(jié)論的等價條件出發(fā)，做出合理的聯(lián)想、探索、猜想、轉(zhuǎn)化，更應(yīng)教會學(xué)生如何挖掘易被忽視的語意信息及處于隱蔽狀態(tài)下的已知條件，在思維受阻時，如何合理改變思考方向，變換策略，另辟蹊徑，從而再達(dá)目的的思維過程.

(2)注重數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

數(shù)學(xué)在培養(yǎng)和提高人的思維能力方面有著其它學(xué)科不可替代的作用.這是因為數(shù)學(xué)不僅僅是一種重要的“工具”或“方法”，更重要的是一種思維模式，表現(xiàn)為數(shù)學(xué)思想.而數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)思維活動的導(dǎo)向，正確的思想方法，可以引導(dǎo)我們不斷地探索、發(fā)現(xiàn)和發(fā)展新知識，進(jìn)而推動科學(xué)技術(shù)及人類社會的進(jìn)步.高考數(shù)學(xué)提出“以能力立意命題”，正是為了更好地考查數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)考生數(shù)學(xué)理性思維的發(fā)展.因此，平時教學(xué)過程中，要加強(qiáng)研究試題解題過程的思維方法，注重不同思維方法的試題的協(xié)調(diào)和匹配，立足使學(xué)生的數(shù)學(xué)理性思維能力得到較全面的發(fā)展.

(3)重視培養(yǎng)學(xué)生的探究能力及創(chuàng)新思維能力

“探究是數(shù)學(xué)的生命線”.因此，探究性試題已成為各種考試的一個熱點問題.然而現(xiàn)行課本中的探究性問題較少，教學(xué)時，應(yīng)恰當(dāng)改編教科書中的傳統(tǒng)試題，設(shè)計探索性問題情境，激發(fā)學(xué)生的探索激情，培養(yǎng)學(xué)生的探索興趣；在講解探索性問題時，應(yīng)重點講清思維過程，充分展示教師在解題時的探索過程，使學(xué)生從中看到巧妙而簡捷的解法來自艱苦的嘗試、猜想、碰壁，以致覺得探索并不神秘.教學(xué)中要注意傳授常用方法給學(xué)生，使學(xué)生感到解探索性問題“有法可依，有章可循”.

“問題是智慧的大門，質(zhì)疑是創(chuàng)新的起點”，教師在教學(xué)中要加強(qiáng)對學(xué)生理解知識時出現(xiàn)困惑的理解，要鼓勵學(xué)生大膽發(fā)表自己的見解，肯定他們的質(zhì)疑行為(哪怕是錯誤的也應(yīng)給予鼓勵，然后指明錯誤所在并予以糾正)，只有以學(xué)生為主體，開發(fā)利用教材的探索性內(nèi)涵，創(chuàng)造性地使用教材，才能提高學(xué)生的探究精神和創(chuàng)新能力，才能培養(yǎng)出一批富有時代氣息的創(chuàng)新型人才!