“數(shù)學興趣小組”組長小明宣布這次活動的主題是“橄欖數(shù)及其性質”。

小芳心直口快，搶先發(fā)問：“什么是橄欖數(shù)?難道它像一只橄欖?!”

小明干脆地回答：“不錯!你看，12345678987654321，它的各數(shù)位上的數(shù)字從左到右逐漸增大(由1到9的連續(xù)自然數(shù))，到數(shù)9時，又逐漸減小(由9至1)，這個數(shù)兩頭小中間大，它活像一只橄欖，我們不妨稱它為橄欖數(shù)。請大家寫出其他的橄欖數(shù)?！?/p>

同學們陸續(xù)寫出其他7個橄欖數(shù)如下：121，12321，1234321，123454321，12345654321，1234567654321，123456787654321。

“橄欖數(shù)有什么性質呢?”小娜也提出了問題。

小娜話音剛落，性急的小婷便急忙說道 “老師要我們熟記20以下自然數(shù)的平方數(shù)，這下讓我用上了!大家都知道，11²=121。也即121=11²，我大膽猜想，12321=111²，可如何證明呢?

一聲不響的小嚴突然搶著說：“這個證明不難!用計算器計算是一種方法，另一種方法則別開生面、妙趣橫生。因為1=1，2=1+1，3=1+1+1，所以12321可以分成右圖中三項的和。這個式子是111×111豎式計算的一部分，所以12321=111²。仿此類推，所有的橄欖數(shù)都是完全平方數(shù)。我們可以先弄清這兩個橄欖數(shù)的規(guī)律，再把其他的橄欖數(shù)也寫成完全平方數(shù)?！?/p>

小剛也搶著說：“第一個等式121=11²，我發(fā)現(xiàn)左邊橄欖數(shù)121中間的那個數(shù)是2。右邊二次冪中底數(shù)1的個數(shù)也是2，……”

未等小剛說完，小娜也搶著說：“第二個等式12321=111²，左邊橄欖數(shù)12321中間的那個數(shù)是3，右邊二次冪中底數(shù)1的個數(shù)也是3?！?/p>

“能否把這個規(guī)律一般化呢？”心直口快的小芳又提出了問題。

“可以！”組長小明說，“橄欖數(shù)中間的那個數(shù)與和它相等的二次冪中底數(shù)1的個數(shù)相等?！苯又诤诎迳习堰@個規(guī)律寫出：

小亮是本班的“數(shù)學通”，至今他一言未發(fā)，大家深感意外，請他談談見解。小亮說：“大家發(fā)現(xiàn)橄欖數(shù)是完全平方數(shù)，這很好，但不應當就此罷手。事實上，橄欖數(shù)是一種特殊的回文數(shù)(回文數(shù)的特征是：不論是從左到右順讀，還是從右到左倒讀，結果都一樣，如22，383，5445，12321)。它們的關系是：橄欖數(shù)一定是回文數(shù)，而回文數(shù)不一定是橄欖數(shù)，橄欖數(shù)家族是回文數(shù)大家族中的‘小’家族。此外，橄欖數(shù)左右對稱，這很明顯，但應注意它的變形也具有對稱性?！苯又麑懗鋈齻€對稱式如下：

最后，組長小明要求大家寫出其他的對稱式，并驗證它是否成立。同學們，現(xiàn)在是你施展才華、露一手的時候了！