摘要：物理規(guī)律乃至其它一些自然現(xiàn)象或社會(huì)現(xiàn)象一般來(lái)講都很復(fù)雜，它們的動(dòng)力學(xué)規(guī)律往往都需用非線性方程表示，正是如此，很多大學(xué)都成立了非線性研究中心或研究所。非線性理論主要包括三個(gè)重要的方面：混沌、分形和孤立子。經(jīng)過(guò)幾十年的研究，混沌的研究領(lǐng)域已包括很多分支：耗散系統(tǒng)中的混沌，保守系統(tǒng)的混沌、時(shí)空混沌、量子混沌、混沌同步、混沌控制等等。本文主要以三體問(wèn)題、天氣預(yù)報(bào)問(wèn)題、生態(tài)演化問(wèn)題來(lái)介紹混沌理論的提出以及混沌的一些特征，并以三體引力問(wèn)題為例較為詳細(xì)地講述低維經(jīng)典系統(tǒng)中混沌的一些特征。

關(guān)鍵詞：三體問(wèn)題；混沌；邏輯斯蒂映像； 洛倫茲方程

中圖分類號(hào)：G633.7

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1003-6148(2007)4(S)-0001-3

1 引言

物理學(xué)中，混沌一詞有著專門的含義，不同于我們?nèi)粘Ｉ钪械摹盎煦纭庇谜Z(yǔ)。對(duì)于物理學(xué)家來(lái)講，混沌運(yùn)動(dòng)并不意味著這個(gè)系統(tǒng)變化多么“劇烈”，一個(gè)混沌系統(tǒng)可以按著某種光滑與有序的方式演化。混沌涉及到一個(gè)確定系統(tǒng)是否能長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的問(wèn)題。很久以來(lái)，人們都相信物理規(guī)律反應(yīng)了自然界中的因果關(guān)系，總是設(shè)想只要知道初始條件就可以做長(zhǎng)期精確的預(yù)測(cè)。大約在100 年前，自然界中混沌系統(tǒng)的發(fā)現(xiàn)好象破壞了這種觀點(diǎn)。物質(zhì)世界的確定性可以追溯到幾千年前的古希臘，大約在公元1500 年左右，因果律完全支配物質(zhì)世界所有運(yùn)動(dòng)與結(jié)構(gòu)，這種確定性開始進(jìn)入現(xiàn)代科學(xué)?，F(xiàn)代科學(xué)中確定性的一位關(guān)鍵性人物是牛頓，他發(fā)現(xiàn)了一系列簡(jiǎn)明的原理、定律。他向我們顯示了在眾多系統(tǒng)中能夠在一個(gè)很高的精度內(nèi)預(yù)測(cè)物體的運(yùn)動(dòng)，例如可以精確地預(yù)測(cè)行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)軌道、地球上射彈路徑的形狀以及海洋潮汐的時(shí)間表等。現(xiàn)代科學(xué)重要的一點(diǎn)就是可以通過(guò)把物理屬性表示為量化測(cè)量來(lái)理解物質(zhì)世界的規(guī)律，也就是說(shuō)用數(shù)值術(shù)語(yǔ)，而不是僅僅用語(yǔ)言描述，這樣物理規(guī)律最終可以用數(shù)學(xué)方程來(lái)描述，而不單是用語(yǔ)言描述。另一方面，實(shí)驗(yàn)科學(xué)的一個(gè)基本事實(shí)就是實(shí)際測(cè)量不可能無(wú)限精確，而是必然包含著不確定。可以這樣來(lái)理解，為了無(wú)限小精度的記錄一個(gè)測(cè)量，設(shè)備需要有一個(gè)顯示無(wú)限數(shù)字的輸出能力。用更精確的測(cè)量?jī)x器，測(cè)量的不確定可以達(dá)到我們希望那樣小，但是永遠(yuǎn)不可能完全將其消除，所以初始條件不可能完全精確的描述。在牛頓規(guī)律描述的運(yùn)動(dòng)中，一個(gè)系統(tǒng)初始條件的不精確會(huì)產(chǎn)生以后任意時(shí)刻預(yù)測(cè)的不精確，不過(guò)，通常認(rèn)為由于初始條件不精確性而導(dǎo)致的最終動(dòng)力學(xué)預(yù)測(cè)的不精確會(huì)減小，越來(lái)越接近真實(shí)結(jié)果。在二十世紀(jì)，這種觀念受到了挑戰(zhàn)，人們發(fā)現(xiàn)對(duì)于某些系統(tǒng)、對(duì)于某些反應(yīng)物理規(guī)律的數(shù)學(xué)方程，相差很小的初始值會(huì)導(dǎo)致以后非常大的偏差。正是因?yàn)槿绱耍行┤苏J(rèn)為“混沌”的出現(xiàn)是繼相對(duì)論、量子力學(xué)后的第三次革命。幾十年來(lái)，人們對(duì)混沌理論的研究不斷深入，已包含耗散系統(tǒng)中的混沌，保守系統(tǒng)的混沌、時(shí)空混沌、量子混沌、混沌同步、混沌控制等眾多分支^[1-5]。在本文中，主要以三體問(wèn)題、天氣預(yù)報(bào)問(wèn)題、生態(tài)演化問(wèn)題來(lái)介紹混沌理論的提出及其特征，并以三體引力問(wèn)題為例較為詳細(xì)地講述低維經(jīng)典系統(tǒng)中混沌的一些特征。

2 經(jīng)典混沌的提出及其特征

混沌學(xué)的出現(xiàn)，是現(xiàn)代科學(xué)和現(xiàn)代技術(shù)、特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物。應(yīng)該說(shuō)從天文地理到數(shù)理化生，從宇宙到基本粒子，它是無(wú)處不在的。對(duì)混沌的探討可以追溯到19 世紀(jì)末龐加萊關(guān)于“三體問(wèn)題”的討論，它是確定論的試金石。根據(jù)牛頓力學(xué)，我們知道一體問(wèn)題很簡(jiǎn)單（一個(gè)物體在固定的中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)）；兩體物體也不復(fù)雜（兩個(gè)相互吸引的物體的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，結(jié)果是兩個(gè)物體都繞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)，大質(zhì)量物理的軌道小一些，小質(zhì)量的軌道大一些）；三體問(wèn)題（三個(gè)物體之間存在著吸引力）則遠(yuǎn)比人們想象的復(fù)雜得多。對(duì)于三體問(wèn)題，若其中一個(gè)物體的影響很小，可以用微擾理論來(lái)近似處理，但對(duì)于大多數(shù)情況，微擾條件是不成立的。許多數(shù)學(xué)家致力于尋找三體乃至多體問(wèn)題的解，“三體問(wèn)題”成為天體力學(xué)中一個(gè)非常引人注目的問(wèn)題。為此，1889 年挪威國(guó)王曾設(shè)立一筆獎(jiǎng)金和一枚金牌。龐加萊是十九世紀(jì)杰出的數(shù)學(xué)家，他試圖求解三體問(wèn)題，極具諷刺意味的是龐加萊因一篇關(guān)于三體問(wèn)題無(wú)法求解的論文獲得了此獎(jiǎng)勵(lì)。一體、二體問(wèn)題的牛頓方程有完美“封閉形式”的解，它們是“可積的”；而三體方程則沒(méi)有解析解，是“不可積的”，只能借助數(shù)值近似的方法。龐加萊發(fā)現(xiàn)一個(gè)厭煩的事實(shí)：當(dāng)三體從差別非常小的初始位置開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，它們的軌跡將描述出極為不同的路徑。他寫到“初始位置的差別能夠?qū)е伦罱K現(xiàn)象中巨大的差異，預(yù)測(cè)變得不可能”，它是混沌系統(tǒng)的主要特征之一?！叭w問(wèn)題”是保守系統(tǒng)混沌的一個(gè)典型例子。

盡管一些有先見(jiàn)的物理學(xué)家已認(rèn)識(shí)到了龐加萊發(fā)現(xiàn)的重要性，但由于當(dāng)時(shí)大多數(shù)物理學(xué)家正在致力于量子力學(xué)的研究，所以“混沌”現(xiàn)象在幾十年內(nèi)未被整個(gè)科學(xué)界所重視。但是，美國(guó)麻省理工學(xué)院的洛倫茲（E.N.Lorenz）教授于1963 年在《大氣科學(xué)》雜志上發(fā)表的“決定性的非周期流”一文，則掀起了混沌研究的熱潮。20 世紀(jì)60 年代，計(jì)算機(jī)的發(fā)展為天氣預(yù)報(bào)的研究提供了可能?，F(xiàn)代科學(xué)極為重要的一點(diǎn)是將物理規(guī)律用數(shù)學(xué)方程（包括常微分方程、偏微分方程等）表示出來(lái)， 氣象學(xué)家洛倫茲發(fā)展了一組方程來(lái)模擬天氣系統(tǒng)，這組方程可以描述上層大氣中的湍流。由于方程組的個(gè)數(shù)很多，洛倫茲對(duì)這組方程作了進(jìn)一步化簡(jiǎn)，最終得到三個(gè)變量的一組常微分方程。對(duì)這組常微分方程組的數(shù)值計(jì)算告訴我們初始條件極小的差別會(huì)導(dǎo)致結(jié)果巨大的差異。洛倫茲將這種“對(duì)初始條件的敏感性”稱為“蝴蝶效應(yīng)”，即“北京的蝴蝶拍了一下翅膀足可以引起下個(gè)月紐約的一場(chǎng)大風(fēng)暴”。洛倫茲的氣象模型是耗散系統(tǒng)混沌的一個(gè)典型例子。對(duì)此模型進(jìn)一步研究，不難發(fā)現(xiàn)混沌的其它特征，比如“混沌耗散系統(tǒng)具有奇怪吸引子（我們稱去掉開始一段的暫態(tài)過(guò)程后系統(tǒng)在相空間中所趨向的有限區(qū)域?yàn)槲樱?，通常的吸引子一般為不?dòng)點(diǎn)（維數(shù)為零，比如做阻尼振蕩的單擺最終要收斂于靜止點(diǎn)），封閉曲線（維數(shù)為1），二維或三維環(huán)面等，其維數(shù)都是整數(shù)。但奇怪吸引子則收斂于有限區(qū)域內(nèi)一條永不重復(fù)的線”，“自相似結(jié)構(gòu)、分維”等。

從已有研究可知，對(duì)一個(gè)非線性常微分方程組描述的確定系統(tǒng)而言，三個(gè)變量或三個(gè)以上變量才可能出現(xiàn)混沌。但對(duì)于分立的系統(tǒng)，一個(gè)連初中生、高中生看起來(lái)都很簡(jiǎn)單的系統(tǒng)也會(huì)展現(xiàn)出極為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)——混沌。下面是描述物種這一代與下一代數(shù)目關(guān)系的一個(gè)極為簡(jiǎn)單的迭代式：

x_n-1=μx_n(1-x_n)

x_n-1和x_n分別表示第n+1代和第n 代的物種數(shù)目，眾多的影響因素都體現(xiàn)在參數(shù)μ中， 這是一個(gè)極為簡(jiǎn)單的拋物型迭代方程，被稱為邏輯斯蒂（Logistic）方程。這個(gè)簡(jiǎn)單模型描述了一個(gè)確定的規(guī)律，如果我們知道第一代的物種數(shù)目，將其代入方程的右邊，可以得到第二代的物種數(shù)目，再把第二代的物種數(shù)目代入方程的右邊，可以得到第三代的物種數(shù)目，依此類推可以得到以后任何一代的物種數(shù)目。這個(gè)模型最早是由美國(guó)生物學(xué)家羅伯特·梅在20 世紀(jì)70 年代給出的，梅起先是澳洲較有名氣的理論物理學(xué)家，后來(lái)他來(lái)到美國(guó)普林斯頓從事生態(tài)的研究，正是因?yàn)檫壿嬎沟俜匠痰难芯渴顾兊酶鼮槌雒？梢园l(fā)現(xiàn)當(dāng)參數(shù)從小到大變化時(shí)方程動(dòng)力性態(tài)愈來(lái)愈復(fù)雜的現(xiàn)象，對(duì)此的研究可以發(fā)現(xiàn)通向混沌的道路——“倍周期分岔通向混沌”、“切分岔進(jìn)入混沌”等。另一位富有傳奇的人物是美國(guó)物理學(xué)家費(fèi)鮑堡姆，他在20 世紀(jì)70 年代作了許多關(guān)于邏輯斯蒂方程的工作，他研究倍周期分岔序列，發(fā)現(xiàn)倍周期分岔被兩個(gè)無(wú)理比率常數(shù)（收斂速度與標(biāo)度因子）支配著。我們稱這兩個(gè)無(wú)理數(shù)為“費(fèi)根鮑姆數(shù)”。當(dāng)人們處理圓問(wèn)題時(shí)，總是要涉及到無(wú)理數(shù)π（它的數(shù)值近似為3.1415926…），好象這個(gè)無(wú)理數(shù)和圓系統(tǒng)固連在一起，那么混沌系統(tǒng)是和費(fèi)根鮑姆數(shù)固連在一起的。

混沌系統(tǒng)是一個(gè)確定系統(tǒng)，它由可確定的方程來(lái)描述，卻呈現(xiàn)出貌似隨機(jī)的行為。下面以一個(gè)簡(jiǎn)單的三體問(wèn)題——“兩個(gè)固定的太陽(yáng)與一個(gè)運(yùn)動(dòng)地球” （圖1（b））為例較詳細(xì)的理解一下混沌的一些特征。這個(gè)系統(tǒng)可以利用計(jì)算機(jī)得到其近似解，該思路如下：

（1） 設(shè)想知道某一時(shí)刻地球的位置與速度，利用牛頓定律計(jì)算其加速度。

（2） 接下來(lái)，用數(shù)值近似計(jì)算一個(gè)非常小“時(shí)間步”后地球新的位置與速度，再利用牛頓定律計(jì)算新的加速度。

（3） 然后以（2）中的新位置、新速度以及新加速度為基礎(chǔ)計(jì)算第二個(gè)“時(shí)間步”后的位置與速度。如此迭代下去，可以得到各個(gè)分立時(shí)刻的位置與速度，再將其繪制成圖。如果“時(shí)間步”非常短，位置與速度接近連續(xù)，其圖為近光滑的曲線。因此，只要將“時(shí)間步”取得足夠的小，我們可以認(rèn)為數(shù)值近似解就是真實(shí)解。

圖1 二體問(wèn)題與三體問(wèn)題的運(yùn)動(dòng)軌道。（a）二體問(wèn)題，地球繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)的軌道；（b）三體問(wèn)題，兩個(gè)固定太陽(yáng)和一個(gè)運(yùn)動(dòng)地球；（c）三體問(wèn)題中地球的運(yùn)動(dòng)軌道。

圖1（c）給出了三體問(wèn)題從初始開始一段時(shí)間內(nèi)地球的運(yùn)動(dòng)軌道。在計(jì)算中假設(shè)太陽(yáng)是一個(gè)點(diǎn)粒子，地球從不與它們相撞。圖中地球的初始位置為兩太陽(yáng)中點(diǎn)略偏右下，初始速度方向?yàn)橄蛏掀?。可以看到，三體問(wèn)題地球的運(yùn)動(dòng)軌道不可能用解析表達(dá)式來(lái)描述。即使時(shí)間無(wú)窮長(zhǎng)，地球的軌道也永不重復(fù)，而地球運(yùn)動(dòng)的區(qū)域范圍是一定的。這使得一個(gè)新的思想誕生，在一個(gè)有限的體積內(nèi)經(jīng)過(guò)無(wú)窮長(zhǎng)時(shí)間后軌道是一個(gè)無(wú)窮長(zhǎng)的線，為此引入了分?jǐn)?shù)維。這個(gè)簡(jiǎn)單的引力系統(tǒng)是混沌最早的一個(gè)例子。接下來(lái)，我們考慮地球初始條件有微小差別的情況，讓其初始位置與垂直速度相同，初始水平速度有百分之一的差別。

圖2兩個(gè)初始條件有微小差別的三體問(wèn)題，它們的初始位置與垂直速度相同（圖中箭頭所示），初始水平速度有百分之一的差別。（a） 初試水平速度為0.005；（b）初始水平速度為0.00505。

圖2 給出了一段時(shí)間內(nèi)的數(shù)值解。從圖中可知，起初正象非混沌系統(tǒng)所期待的那樣兩軌道幾乎相同，隨著時(shí)間增長(zhǎng)，兩軌道會(huì)突然分離。系統(tǒng)這種初始條件小的差異導(dǎo)致以后狀態(tài)極大差別的現(xiàn)象被稱為“對(duì)初始條件的敏感性”。它是所有混沌系統(tǒng)的一個(gè)主要特征，也稱為“蝴蝶效應(yīng)”。很多科技工作者把“初值敏感性”作為混沌的主要暗示。

考慮向地板上投沙粒形成沙堆，沙堆的高度隨著沙子數(shù)的增加而光滑的增長(zhǎng)，我們稱系統(tǒng)是“線性”的。Jim Drummond 以這樣方式描述一線性系統(tǒng)：“如果我踢它，它尖叫。如果我使勁踢它，它的叫聲更大”。但是當(dāng)沙灘達(dá)到一定的高度以后，再多加一粒沙子，雪崩就會(huì)發(fā)生，沙灘的高度減小。這里輸入（沙子數(shù)）的一個(gè)微小改變（多加一粒沙子），輸出（沙灘高度）就會(huì)發(fā)生巨大的改變，系統(tǒng)展現(xiàn)了初值敏感性，系統(tǒng)是非線性的，輸出不正比于輸入。

對(duì)于混沌，我們說(shuō)：所有的混沌系統(tǒng)都具有初值敏感性；所有混沌系統(tǒng)的軌道不重復(fù)自己；所有的混沌系統(tǒng)都是非線性的。

3 分析與討論

混沌是自然界中普遍存在的現(xiàn)象，廣泛的存在于各個(gè)學(xué)科。一些看似簡(jiǎn)單的系統(tǒng)很可能蘊(yùn)藏著豐富的動(dòng)力學(xué)行為，除上述幾個(gè)最初混沌例子外，又如懸掛點(diǎn)上下振蕩的單擺、有兩個(gè)擺臂的單擺、運(yùn)動(dòng)場(chǎng)臺(tái)球（將長(zhǎng)方形的兩相對(duì)邊用半圓來(lái)代替）等等。通過(guò)幾十年的努力，人們對(duì)混沌開始有比較清晰的了解，包括混沌的一些特性、通往混沌的道路、刻化混沌出現(xiàn)的物理量等，發(fā)展了非線性動(dòng)力學(xué)理論，為處理復(fù)雜問(wèn)題奠定了理論基礎(chǔ)。混沌既有有害的一面，又有有利的一面，為此在90 年代開始了混沌控制與同步的研究。人們也把低維系統(tǒng)的混沌研究推廣到更高維，對(duì)時(shí)空混沌研究普遍認(rèn)為是研究百年難題湍流的重要途徑之一。另一方面，根據(jù)玻耳對(duì)應(yīng)原理，量子力學(xué)結(jié)果在極限條件下和經(jīng)典結(jié)果是一致的，經(jīng)典混沌系統(tǒng)在量子上有什么表現(xiàn)，成為量子混沌的研究?jī)?nèi)容。

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(欄目編輯 廖伯琴)