平行四邊形是一個(gè)具有重要特征的幾何圖形,這些特征有著極為重要的用途,那么,如何才能正確識(shí)別一個(gè)幾何圖形是平行四邊形呢?下面從三個(gè)途徑為同學(xué)們介紹五種識(shí)別的方法,供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.
途徑一 從邊著眼
方法1 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.
例1 如圖1,已知平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),且EC∥BD.試說明線段BE與AB相等的理由.
簡(jiǎn)析 由四邊形ABCD是平行四邊形可知AB∥CD且AB=CD,即BE∥CD,又BD∥EC,所以四邊形BECD是平行四邊形(兩組對(duì)邊分別平行).所以BE=CD.故BE=AB.
方法2 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
例2 如圖2.已知△ABC中,分別以三角形的三邊為邊長(zhǎng),在BC邊的同側(cè)作三個(gè)等邊三角形,即△ABD、△BCE、△ACF.試判斷四邊形ADEF是一種什么樣的四邊形.
簡(jiǎn)析 四邊形ADEF是平行四邊形.因?yàn)椤鰽BD、△OCE、△ACF都是分別以△ABC的三邊向BC的同側(cè)所作的等邊三角形,所以△BDE和△CFE可以分別看成是△BAC繞點(diǎn)B、C旋轉(zhuǎn)60°后而得到的.于是有DE=AC=AF,AD=AB=EF,所以四邊形ADEF是平行四邊形(兩組對(duì)邊分別相等).
方法3 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
例3 如圖3,平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E、F分別是BC、AD上的一點(diǎn),且BE=DF.試說明四邊形AECF是平行四邊形.
簡(jiǎn)析 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以AD∥BC且,AD=BC.又因?yàn)锽E=DF,所以AF=CE.即AF∥CE,AF=CE,故四邊形AECF是平行四邊形(一組對(duì)邊平行且相等).
途徑二 從角著眼
方法4 兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形.
例4 如圖4,已知AE、CF分別是平行四邊形ABCD的∠DAB、∠BCD的平分線.試說明四邊形AFCE是平行四邊形.
簡(jiǎn)析 由四邊形ABCD是平行四邊形可知∠DAB=∠BCD,AB∥CD,又AE、CF分別是∠DAB、∠BCD的平分線,所以∠EAF=1/2∠DAB=1/2∠BCD=∠ECF,∠AED=∠EAF=∠ECF=∠BFC,所以∠AEC=180°-∠AED=180°-∠BFC=∠CFA,故四邊形AFCE是平行四邊形(兩組對(duì)角相等).
途徑三 從對(duì)角線著眼
方法5 兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
例5 如圖5,已知M、N是平行四邊形ABCD的對(duì)角線上兩點(diǎn),且BM=DN.試探索∠MAN與∠MCN的關(guān)系,并說明你的理由.
簡(jiǎn)析 ∠MAN=∠MCN.理由是:連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O.由于四邊形ABCD是平行四邊形,所以O(shè)A=OC,OB=OD,又BM=DN,則BM-NM=DN-MN.即BN=DM,所以O(shè)N=OM所以ANCM是平行四邊形(對(duì)角線互相平分).故∠MAN=∠MCN.
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