[摘要] 房地產(chǎn)投資組合模型多以方差或標(biāo)準(zhǔn)差作為風(fēng)險度量指標(biāo)。本文從分散風(fēng)險的角度運用熵的概念，建立了房地產(chǎn)投資組合的熵優(yōu)化模型，并給出通解，使對房地產(chǎn)投資組合模型的應(yīng)用更加合理、客觀。

[關(guān)鍵詞] 投資組合方差熵風(fēng)險度量

我國房地產(chǎn)投資始于上世紀90年代，并且成為固定資產(chǎn)投資的主要方向，也是資本流向的主要領(lǐng)域。房地產(chǎn)投資組合模型多以方差或標(biāo)準(zhǔn)差作為風(fēng)險度量指標(biāo)，均需計算協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)等，在實際應(yīng)用中存在一定的缺陷。規(guī)避風(fēng)險的另一種方法是分散化。本文提出熵的概念作為房地產(chǎn)投資組合分散化的度量，熵越大意味著分散風(fēng)險的能力越強;反之，分散風(fēng)險的能力越弱。

一、房地產(chǎn)投資組合的Markowitz模型

美國經(jīng)濟學(xué)家、金融學(xué)家Markowitz.Harry在《資產(chǎn)組合選擇》（Portfolio selection ，Journal of finance 1952 Vo1.7）一文中，第一次從風(fēng)險資產(chǎn)的收益率與風(fēng)險之間的關(guān)系出發(fā)，討論了不確定經(jīng)濟系統(tǒng)中最優(yōu)資產(chǎn)組合的選擇問題，用數(shù)學(xué)中的均值度量投資者的預(yù)期收益，用方差度量資產(chǎn)的風(fēng)險，用相關(guān)系數(shù)度量各項資產(chǎn)間的關(guān)系，建立資產(chǎn)組合的數(shù)學(xué)模型。根據(jù)Markowitz投資組合模型的假設(shè)和思路，經(jīng)過適當(dāng)變化可得到房地產(chǎn)投資組合的基本模型。

模型（以風(fēng)險最小化為目標(biāo)）

假設(shè)有n個房地產(chǎn)投資分項，可以建立以下模型:

Rp-K≥0且ωi≥0(i=1，2，……，n)。

其中，Ri表示第i項房地產(chǎn)投資的收益率;Rp表示此投資組合總收益率;ωi第i項投資的權(quán)重;σi表示第i項投資的標(biāo)準(zhǔn)差，即房地產(chǎn)投資各分項的風(fēng)險;σp表示此房地產(chǎn)投資組合的標(biāo)準(zhǔn)差，即房地產(chǎn)投資組合的總風(fēng)險;ρij表示第i項和第j項房地產(chǎn)投資收益間的相關(guān)系數(shù);K表示房地產(chǎn)投資商可以接受的最小收益率，其值可由歷史數(shù)據(jù)來確定。對此模型我們應(yīng)用拉格朗日(Lagrange)乘數(shù)法求解。令則此模型的解析解:（1）其中

二、熵的定義和性質(zhì)

1.熵的基本定義

熵的概念最初來源于熱力學(xué)，后來發(fā)展到統(tǒng)計學(xué)和信息論等學(xué)科。熵是一種不確定性的定量化度量，考慮具體有n個結(jié)果的概率試驗，并設(shè)這些結(jié)果各自具有離散概率Pi(i=1，2，…，n)，則熵為

式中:Pi≥0(i=1，2，…，n)且

2.熵的基本性質(zhì)

(1)非負性:Sn(P1，P2，…，Pn)≥0;

(2)可加性:對于相互獨立的狀態(tài)，其熵的和就等于和的熵;

(3)極值性:當(dāng)狀態(tài)為等概率時，其熵值最大，即時，;

(4)凹凸性:Sn(P1，P2，…，Pn)是一個關(guān)于所有變量的對稱凹函數(shù)。

現(xiàn)在，我們根據(jù)上面的介紹，引入最大熵優(yōu)化模型。房地產(chǎn)投資商選擇n個房地產(chǎn)分項進行投資，每個分項的投資比例為xi(i=1，2，…，n)，由于各種原因，經(jīng)過一個階段最后得到的收益是不確定的。假設(shè)投資收益共有m種結(jié)果，πj為第j(j=1，2，…，m)種收益結(jié)果的概率，當(dāng)?shù)趈(j=1，2，…，m)種收益結(jié)果出現(xiàn)時，第i(i=1，2，…，n)個投資分項的收益率為rij，其期望收益率，Rj為投資組合的收益率且，則期望收益率。從最大熵的意義來考慮，可以最大化如下的目標(biāo)函數(shù):約束條件為:xi≥0(i=1，2，…，n)。其中 故上述目標(biāo)函數(shù)就等價于MaxS*，其中從而可建立均值-熵模型:

MaxS*s.t.xi≥0(i=1，2，…，n)

此模型的金融意義為:在固定收益率K的前提下，選擇使風(fēng)險最分散的房地產(chǎn)投資組合。我們利用熵的性質(zhì)對模型求解，則有:AX=B，IX=I‘其中從而得到此模型的解:X=(A-I)-1(B-I’)（2）

三、小結(jié)

本文不同于Markowitz模型的均值方差模型，從分散風(fēng)險的角度將熵用于房地產(chǎn)投資組合的分析中，建立了新的房地產(chǎn)投資組合模型，使對房地產(chǎn)投資組合模型的應(yīng)用更加合理、客觀。