摘要：基于子結(jié)構(gòu)和模態(tài)疊加法提出了一種用于含內(nèi)部復(fù)雜結(jié)構(gòu)的圓柱殼動力學(xué)響應(yīng)的快速計算方法，以期避免有限元法求解該類問題時出現(xiàn)的計算耗時長和存儲量大等問題。將含內(nèi)部結(jié)構(gòu)的圓柱殼分為3個子結(jié)構(gòu)，各子結(jié)構(gòu)間通過隔振器相連；獲取各子結(jié)構(gòu)的自由模態(tài)及主剛度和主質(zhì)量參數(shù)；基于能量法在模態(tài)坐標(biāo)空間內(nèi)構(gòu)建系統(tǒng)的動力學(xué)方程。該方法計算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果吻合較好，在保證較高計算精度的同時可大幅度提高計算效率，為結(jié)構(gòu)設(shè)計時振動特性的快速預(yù)測提供支持。

關(guān)鍵詞：圓柱殼 內(nèi)部結(jié)構(gòu) 振動響應(yīng) 模態(tài)疊加法 降維模型

中圖分類號：TB33 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1671-8755（2025）01-0067-08

Research on the Dynamic Response Calculation Method for Cylindrical

Shells with Internal Complex Structures

CHEN Haoran， ZHANG Dechun， LI Peng， CHEN Lei

（School of Mechanics and Aerospace Engineering， Southwest Jiaotong University，

Chengdu 610031， Sichuan， China）

Abstract： A fast calculation method of the dynamic response for cylindrical shells with internal complex structures was proposed based on the modal superposition method and substructure， in order to avoid the problems of long calculation time and large storage capacity that occur when using finite element method to solve such problems. Firstly， the cylindrical shell with complex internal structures was divided into three substructures， which were connected to each other through vibration isolators. Then， the free modes， principal stiffness， and principal mass parameters of each substructure were obtained. Finally， the dynamical equations of the system were constructed in the modal coordinate space based on the energy method. The calculation results of this method are in good agreement with the finite element simulation results. This method can significantly improve the calculation efficiency while ensuring high calculation accuracy， and provide support for the rapid prediction of vibration characteristics in structural design.

Keywords： Cylindrical shell; Internal structure; Vibration response; Modal superposition method; Dimension reduction model

水下潛航器內(nèi)部設(shè)備一般通過隔振系統(tǒng)與殼體連接，以降低振動、增強(qiáng)隱蔽性和改善艇內(nèi)的工作生活環(huán)境。隔振浮筏以其優(yōu)良的隔振性能和緊湊的結(jié)構(gòu)被廣泛應(yīng)用于艦艇的動力設(shè)備隔振設(shè)計中。浮筏隔振技術(shù)誕生于20世紀(jì)50年代^［1］，是當(dāng)前最主要的大型隔振系統(tǒng)。含有浮筏隔振系統(tǒng)和內(nèi)部設(shè)備（以下稱內(nèi)部結(jié)構(gòu)）的某水下航行器的一個典型艙段的示意圖如圖1所示。艙段結(jié)構(gòu)中各種不規(guī)則形狀的設(shè)施需要安裝在船體內(nèi)部。對于內(nèi)部結(jié)構(gòu)與圓柱殼耦合時的振動特性，有學(xué)者進(jìn)行了研究。張森森等^［2］針對浮筏隔振系統(tǒng)建立了包含設(shè)備、減振器、筏架和基座的三向振動傳遞的動力學(xué)模型，證實(shí)了浮筏設(shè)計和振動傳遞特性研究中考慮三向的必要性。王獻(xiàn)忠^［3］采用直接剛度法分別建立圓柱殼和內(nèi)部子結(jié)構(gòu)模型，結(jié)合縮聚傳遞函數(shù)法計算了圓柱殼-內(nèi)部子結(jié)構(gòu)耦合結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)。文獻(xiàn)［4-5］采用基于凝聚傳遞函數(shù)（CTF）的子結(jié)構(gòu)方法，將軸對稱加筋殼模型與非軸對稱內(nèi)框架模型組裝在一起，計算了含有非對稱內(nèi)部子結(jié)構(gòu)圓柱殼的聲輻射問題。Ma^［6］采用改進(jìn)的傅里葉-里茲方法，給出了一般邊界條件下的圓柱殼-環(huán)板耦合系統(tǒng)的統(tǒng)一解。石先杰等^［7］采用譜幾何法構(gòu)建復(fù)雜邊界條件下圓柱殼－環(huán)板耦合振動分析方程。朱擁勇^［8］采用拉格朗日乘子的方法處理板與殼體的連接條件，建立了多源激勵下有限長圓柱殼體的聲振耦合方程。張磊^［9］基于圓柱殼與內(nèi)部結(jié)構(gòu)接觸點(diǎn)的位移協(xié)調(diào)條件和內(nèi)力平衡條件建立了含內(nèi)部結(jié)構(gòu)圓柱殼的動力學(xué)方程，計算、分析了殼體表面的振動特性。大部分學(xué)者僅考慮了一些簡單結(jié)構(gòu)與圓柱殼耦合時的情況，對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)難以采用解析的方式進(jìn)行分析。

對含有內(nèi)部復(fù)雜結(jié)構(gòu)的圓柱殼，部分學(xué)者采用有限元法分析。Peters等^［10］采用有限元/邊界元全耦合方法分析了帶有內(nèi)部結(jié)構(gòu)的水下船體的聲響應(yīng)，探討了內(nèi)部彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)的設(shè)計對聲輻射的影響。呂成剛等^［11］采用有限元仿真分別對耦合系統(tǒng)和獨(dú)立的浮筏及艇體結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，比較了耦合系統(tǒng)中的浮筏結(jié)構(gòu)，證明了艦體與筏架之間是弱耦合關(guān)系。Zheng等^［12］采用有限元模擬了柴油機(jī)活塞拍打和往復(fù)質(zhì)點(diǎn)垂直慣性力作用下船體的振動響應(yīng)，并將船體振動速度的有限元解作為船體邊界元模型的邊界條件進(jìn)行水下輻射噪聲計算。Wu等^［13］提出了一種由有限元法（FEM）和邊界元法（BEM）組成的聲-結(jié)構(gòu)耦合問題的混合數(shù)值方法。對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的有限元分析，隨著計算頻率的增加，單元的數(shù)量會增加，采用全尺度和高精度的數(shù)值仿真時通常耗時較長，導(dǎo)致計算效率低。復(fù)雜結(jié)構(gòu)難以采用解析方式求解，一些學(xué)者采用有限元法與理論解析方法結(jié)合的混合計算方式求解大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)問題。Song等^［14］采用傳遞矩陣法（TMM）和有限元法（FEM）建立了柔性浮筏系統(tǒng)模型，研究了不同結(jié)構(gòu)參數(shù)對浮筏系統(tǒng)振動與噪聲的抑制效果。賈文超等^［15］提出一種解析-數(shù)值混合方法，借助VA One（全頻段噪聲模擬軟件）建立了加筋圓柱殼組合模型的振動功率流平衡方程，分析求解了圓柱殼以及內(nèi)部平臺上的振動響應(yīng)。Chen等^［16］提出一種混合解析-數(shù)值方法來研究有限長圓柱殼內(nèi)部結(jié)構(gòu)的振動特性，該方法可將內(nèi)部較為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)與外殼進(jìn)行耦合，而不用通過解析方式來求解內(nèi)部結(jié)構(gòu)的問題。

包含浮筏隔振系統(tǒng)的潛艇艙段結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，常規(guī)有限元分析將會面臨耗時較長和儲存量較大等問題，難以應(yīng)用在初期設(shè)計階段。水下結(jié)構(gòu)的振動試驗開展難度較大，成本較高。綜合考慮，可通過混合方法對大型結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析。本文基于模態(tài)疊加法并結(jié)合有限元模型，提出一種快速計算整體圓柱殼艙段動力學(xué)降維模型和響應(yīng)計算方法。

1 模型說明及建模方法

1.1 模型說明

如圖1所示的內(nèi)部包含浮筏隔振系統(tǒng)的圓柱殼艙段，機(jī)械設(shè)備通過上層隔振器連接在筏架上，筏架通過下層隔振器與支座相連接，支座與外部殼體焊接在一起。將整體結(jié)構(gòu)分為外部殼體和支座（子結(jié)構(gòu)I）、內(nèi)部筏架平臺（子結(jié)構(gòu)II）和內(nèi)部機(jī)械設(shè)備（子結(jié)構(gòu)III） 3個子結(jié)構(gòu)，各子結(jié)構(gòu)之間通過隔振器進(jìn)行連接。

由于各子結(jié)構(gòu)形式較為復(fù)雜，故通過有限元軟件獲取其模態(tài)信息，進(jìn)而得到其模態(tài)坐標(biāo)下的主質(zhì)量和主剛度矩陣。設(shè)某個子結(jié)構(gòu)的各階頻率和振型分別表示為ω_i和［?_i］，其各階主質(zhì)量（模態(tài)質(zhì)量）以及主剛度（模態(tài)剛度）分別為：

［?_i］^T［M］［?_i］=1

［?_i］^T［K］［?_i］=ω²_i（1）

式中［M］和［K］分別為該子結(jié)構(gòu)在物理坐標(biāo)系下的剛度和質(zhì)量矩陣（由有限元離散獲得）。

1.2 系統(tǒng)的能量

假設(shè)子結(jié)構(gòu)Ⅰ的第i階頻率和振型分別表示為ω_Ⅰ，i 和［?_Ⅰ，i］，子結(jié)構(gòu)Ⅱ的第i階頻率和振型分別表示為ω_Ⅱ，i 和［?_Ⅱ，i］，則兩個子結(jié)構(gòu)的動能和勢能可分別計算為：

2T_Ⅰ=∑N_Ⅰ/i=1m_Ⅰ，i（q·_Ⅰ，i）²

2V_Ⅰ=∑N_Ⅰ/i=1k_Ⅰ，i（q_Ⅰ，i）²

2T_Ⅱ=∑N_Ⅱ/i=1m_Ⅱ，i（q·_Ⅱ，i）²

2V_Ⅱ=∑N_Ⅱ/i=1k_Ⅱ，i（q_Ⅱ，i）²（2）

式中：m_Ⅰ，i和k_Ⅰ，i分別為子結(jié)構(gòu)Ⅰ的第i階主質(zhì)量和主剛度；m_Ⅱ，i和k_Ⅱ，i分別為子結(jié)構(gòu)Ⅱ的第i階主質(zhì)量和主剛度；q_Ⅰ，i和q_Ⅱ，i分別為子結(jié)構(gòu)Ⅰ和子結(jié)構(gòu)Ⅱ的模態(tài)廣義坐標(biāo)；N_Ⅰ和N_Ⅱ分別為子結(jié)構(gòu)Ⅰ和子結(jié)構(gòu)Ⅱ的模態(tài)展開截斷階數(shù)。

下層隔振器兩端的位移可表示為：

u_{Ⅰ，n，l}=

［u_{Ⅰ，n，lx}u_{Ⅰ，n，ly}u_{Ⅰ，n，lz}］^T=∑N_Ⅰ/i=1q_Ⅰ，iφ_{Ⅰ，n，i}

u_{Ⅱ，n，l}=

［u_{Ⅱ，n，lx}u_{Ⅱ，n，ly}u_{Ⅱ，n，lz}］^T=∑N_Ⅱ/i=1q_Ⅱ，iφ_{Ⅱ，n，li}

（3）

式中，φ_{Ⅰ，n，i}=［φ_{Ⅰ，n，xi} φ_{Ⅰ，n，yi} φ_{Ⅰ，n，zi}］^T，φ_{Ⅱ，n，li}=［φ_{Ⅱ，n，lxi} φ_{Ⅱ，n，lyi} φ_{Ⅱ，n，lzi}］^T，分別為子結(jié)構(gòu)Ⅰ和子結(jié)構(gòu)Ⅱ的第i階振型在第n個下層隔振器連接處的3個方向上的模態(tài)位移組成的矢量。

下層隔振器的彈性勢能可以表示為：

2V_{Ⅰ-Ⅱ，e}=∑N_kl/n=1［k_n，l·（Δu_n，lΔu_n，l）］（4）

式中：k_n，l=［k_n，lx k_n，ly k_n，lz］為第n個下層隔振器x，y，z 3個方向上的剛度構(gòu)成的矢量；Δu_n，l=u_{Ⅱ，n，l}-u_{Ⅰ，n，l}，N_kl 為下層隔振器的連接數(shù)量；“”表示矩陣哈達(dá)瑪積。

假設(shè)各內(nèi)部機(jī)械設(shè)備為質(zhì)點(diǎn)，考慮3個自由度的運(yùn)動，則內(nèi)部機(jī)械設(shè)備的動能可表示為：

2T_{Ⅲ，n，me}=∑N_me/n=1∑3/i=1［m_n（q·_{Ⅲ，n，i}）²］（5）

式中：m_n為第n個內(nèi)部機(jī)械設(shè)備的質(zhì)量；N_me為內(nèi)部機(jī)械設(shè)備的個數(shù)；q_{Ⅲ，n，i}為第n個機(jī)械設(shè)備的廣義坐標(biāo)。第n個上層隔振器上下兩端的位移為：

u_{Ⅱ，n，u}=

［u_{Ⅱ，n，ux}u_{Ⅱ，n，uy}u_{Ⅱ，u，uz}］^T=∑N_Ⅱ/i=1q_Ⅱ，n，iφ_{Ⅱ，n，ui}

u_{Ⅲ，n，u}=

［u_{Ⅲ，n，ux}u_{Ⅲ，n，uy}u_{Ⅲ，u，uz}］^T=∑3/i=1q_{Ⅲ，n，i}φ_{Ⅲ，n，i}

（6）

第n個上層隔振器的彈性勢能為：

2V_{Ⅱ-Ⅲ，n，e}=k_n，u·（Δu_n，uΔu_n，u）²（7）

式中：φ_{Ⅱ，n，ui}=［φ_{Ⅱ，n，uxi} φ_{Ⅱ，n，uyi} φ_{Ⅱ，n，uzi}］^T是子結(jié)構(gòu)Ⅱ第i階振型在第n個上層隔振器連接處產(chǎn)生的3個方向上的模態(tài)位移構(gòu)成的矢量；φ_Ⅲ，n，i=［φ_{Ⅲ，n，xi} φ_{Ⅲ，n，yi} φ_{Ⅲ，n，zi}］^T為子結(jié)構(gòu)Ⅲ中的第n個內(nèi)部設(shè)備在第i階振型的3個方向上的模態(tài)位移構(gòu)成的矢量；Δu_n，u=u_{Ⅲ，n，u}-u_Ⅱ，n，u， k_n，u=［k_n，ux k_n，uy k_n，uz］^T，為第n個上層隔振器3個方向上的剛度構(gòu)成的矢量。

1.3 整體系統(tǒng)的耦合與運(yùn)動方程

結(jié)合上述內(nèi)容，系統(tǒng)的動能和勢能可表示為：

V=V_Ⅰ+V_Ⅱ+V_{Ⅰ-Ⅱ，e}+V_Ⅱ-Ⅲ，e

T=T_Ⅰ+T_Ⅱ+T_Ⅲ，me（8）

令L=T-V，使用拉格朗日方程：

d/dt（L/q·_j）-L/q_j=Q_j（9）

可得包含3個子系統(tǒng)的耦合系統(tǒng)的動力學(xué)方程：

［M］［q¨］+［C］［q·］+［K］［q］=［Q］（10）

式中Q為系統(tǒng)的廣義力向量。

系統(tǒng)廣義坐標(biāo)定義為：

［q］=［q_Ⅰ q_Ⅱ q_Ⅲ，1 … q_Ⅲ，n］^T（11）

系統(tǒng)質(zhì)量和剛度矩陣分別為：

式中：［K_Ⅰ］和［K_Ⅱ］分別為子結(jié)構(gòu)Ⅰ和子結(jié)構(gòu)Ⅱ的主剛度矩陣；［M_Ⅰ］和［M_Ⅱ］分別為子結(jié)構(gòu)Ⅰ和子結(jié)構(gòu)Ⅱ的主質(zhì)量矩陣。剛度矩陣由子結(jié)構(gòu)本身的主剛度矩陣（式（13）右端的第一項）和隔振器引起的剛度矩陣（式（13）右端的第二項）兩部分組成。后者矩陣中的元素表示如下：

K_Ⅰ，e（i，j）=∑N_kl/n=1［k_l·（φ_{Ⅰ，n，i}φ_{Ⅰ，n，j}）］

K_Ⅱ，e（i，j）=∑N_kl/n=1［k_l·（φ_{Ⅱ，n，li}φ_{Ⅱ，n，lj}）］+

∑N_me/n=1［k_n，u·（φ_{Ⅱ，n，ui}φ_{Ⅱ，n，uj}）］

K_Ⅲ，n，e（i，j）=k_n，u·（φ_{Ⅲ，n，i}φ_{Ⅲ，n，j}）

K_Ⅰ-Ⅱ，e（i，j）=∑N_kl/n=1［k_l·（φ_{Ⅰ，n，i}φ_{Ⅱ，n，lj}）］

K_Ⅱ-Ⅰ，e（i，j）=∑N_kl/n=1［k_l·（φ_{Ⅱ，n，li}φ_{Ⅰ，n，j}）］

K_{Ⅱ-Ⅲ，n，e}（i，j）=K_{Ⅲ-Ⅱ，n，e}（j，i）=

k_n，u·（φ_{Ⅱ，n，ui}φ_{Ⅲ，n，j}）

（14）

外部結(jié)構(gòu)和內(nèi)部筏架平臺的主質(zhì)量矩陣［M_Ⅰ］和［M_Ⅱ］均為單位矩陣，內(nèi)部機(jī)械設(shè)備的主質(zhì)量矩陣為：

M_Ⅲ，n=m_n

1/0/00/1/00/0/1（15）

通過上面的計算可得到系統(tǒng)降維后的剛度和質(zhì)量矩陣。設(shè)置子結(jié)構(gòu)截斷階數(shù)來控制方程的維數(shù)，通過截取保留子結(jié)構(gòu)的低階主要模態(tài)合理舍去高階模態(tài)，從而達(dá)到整體降維的目的。

為開展響應(yīng)計算，降維后系統(tǒng)結(jié)構(gòu)部分的阻尼矩陣取為：

［C₁］=α［M］+β［K］+（ξ/πf）［K］（16）

式中：α為常值質(zhì)量阻尼；β為常值剛度阻尼；ξ為常值阻尼比； f 為當(dāng)前激勵力頻率。

隔振彈簧所引起的阻尼矩陣與其剛度矩陣具有類似的形式：

C₂=

C_Ⅰ，e/C_{Ⅰ-Ⅱ，e}/0/0/0

C_Ⅱ-Ⅰ，e/C_Ⅱ，e/C_{Ⅱ-Ⅲ，1，e}/…/C_{Ⅱ-Ⅲ，n，e}

0/C_{Ⅲ-Ⅱ，1，e}/C_{Ⅲ，1，e}/0/0

0//0//0

0/C_{Ⅲ-Ⅱ，n，e}/0/0/C_{Ⅲ，n，e}

（17）

則系統(tǒng)整體阻尼矩陣可表示為［C］=［C₁］+［C₂］。

系統(tǒng)的廣義力向量為：

［Q］=［0 0 Q₁ … Q_n］^T（18）

在第n個機(jī)械設(shè)備上的廣義力計算為：

Q_n=［Q_n，1 Q_n，2 Q_n，2］

Q_n，i=F_n·φ_Ⅲ，n，i，i=1，2，3（19）

式中F_n=［F_n，x F_n，y F_n，z］^T為物理坐標(biāo)下作用在第n個機(jī)械上的激振力。

1.4 動力學(xué)響應(yīng)計算

假設(shè)外激力為簡諧激振力［Q］=［Q₀］e^iωt，其引起的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為［q］=［q₀］e^iωt，此時系統(tǒng)的動力學(xué)方程為：

（-ω²［M］+iω［C］+［K］）［q₀］=［Q₀］（20）

求解式（20）可得到整體系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)：

［q₀］=（-ω²［M］+iω［C］+［K］）^-1［Q₀］（21）

得出廣義坐標(biāo)［q₀］后，外部結(jié)構(gòu)（子結(jié)構(gòu)Ⅰ）的響應(yīng)可表示為：

u_Ⅰ，s=∑N_s/i=1q_Ⅰ，0iφ_Ⅰ，si（22）

至此，可求得外殼在簡諧激振力下任意一點(diǎn)的動力學(xué)響應(yīng)。

2 有限元驗證

選取的艙段計算模型如圖2所示。該模型的圓柱殼上包含環(huán)肋、封板和基座，內(nèi)部含有筏架平臺以及兩個機(jī)械設(shè)備。具體尺寸參數(shù)如表1所示。內(nèi)部筏架平臺是一個正方形框架，框架由矩形空心梁構(gòu)成，如圖2（c）所示。筏架上通過上層隔振承載著 #1和 #2機(jī)械設(shè)備。

如圖3所示，在ANSYS（工程仿真軟件）中建立有限元模型，其中隔振彈簧采用COMBIN14單元（彈簧-阻尼器單元），內(nèi)部機(jī)械設(shè)備采用MESS21單元（結(jié)構(gòu)質(zhì)量單元），其余模型采用SHELL181單元（4節(jié)點(diǎn)殼單元）。結(jié)構(gòu)的材料密度ρ=7 850 kg·m^-2，彈性模量E=2.1×10¹¹ Pa，泊松比μ=0.3，

內(nèi)部機(jī)械質(zhì)量m₁=m₂=196.25 kg。下層隔振彈簧的剛度系數(shù)k_lx=k_ly=k_lz=3×10⁵ N·m^-1，下層隔振器的阻尼系數(shù)c_lx=c_ly=c_lz=2×10³ N·（m·s^-1）^-1。筏架與 #1設(shè)備間隔振器的剛度系數(shù)k_1，ux=k_1，uy=k_1，uz=3×10⁵ N·m^-1，阻尼系數(shù)c_1，ux=c_1，uy=c_1，uz=2×10³ N·（m·s^-1）^-1。筏架與 #2設(shè)備間的隔振器的剛度系數(shù)k_2，ux=k_2，uy=k_2，uz=3×10⁵ N·m^-1，阻尼系數(shù)c_2，ux=c_2，uy=c_2，uz=2×10³ N·（m·s^-1）^-1。

首先對整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，并與本文方法計算得到的頻率進(jìn)行對比。本文方法驗證時取外部

殼體的截斷階數(shù)N_Ⅰ=100，截止頻率f_Ⅰ=493.32 Hz。

取內(nèi)部筏架平臺的截斷階數(shù)N_Ⅱ=18，截止頻率 f_Ⅱ=504.5 Hz?？紤]到浮筏上機(jī)械設(shè)備存在3個自由度，組合后的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的維數(shù)為126，而有限元模型的單元數(shù)量為46 678。本方法計算出的最高頻率f_max=504.55 Hz，本文方法與ANSYS 計算的前120階固有頻率（除去零頻后）的對比如圖4所示。由圖4可知，本文方法與ANSYS計算的頻率吻合較好。但需要指出的是，隨著計算頻率的增加，為獲得較高的計算精度，則需要提高各子結(jié)構(gòu)的截斷數(shù)目，即需提高高階模態(tài)在計算中的參與度。

進(jìn)行了動力學(xué)響應(yīng)計算的驗證。在內(nèi)部兩個機(jī)械設(shè)備上沿y方向施加幅值大小為50 N的簡諧力，計算頻率（f_s）范圍［1，500］Hz，頻率間隔為1 Hz，計算中阻尼的參數(shù)設(shè)置為α=0.1，β=1×10^-4，ξ=0。測點(diǎn)位置選取如圖5所示。ANSYS與本方法計算的法向加速度振級（L_d）對比如圖6、圖7所示。

L_d定義如下：

L_d=20lg（a/a₀）（23）

式中：a為法向加速度；a₀=10^-6 m·s^-2 為參考加速度。

由圖6、圖7可知，在低頻范圍內(nèi)本文降維模型計算的結(jié)果與ANSYS吻合較好。對比本方法與有限元仿真結(jié)果的加速度振級差值，結(jié)果如圖8所示。由圖8可知，在頻率 ［0，f_max/2］ Hz 范圍所有測點(diǎn)的

誤差均在5 dB以內(nèi)，而在更高的頻率范圍內(nèi)誤差呈

現(xiàn)出逐漸增大的趨勢。在［1，f_max/2］ Hz范圍內(nèi)，降維模型與ANSYS給出的響應(yīng)計算結(jié)果吻合較好，因此建議將f_max/2作為降維模型響應(yīng)時計算截止頻率。這表明，若要提高降維模型響應(yīng)計算的頻率范圍，則需更多高階模態(tài)的參與。

另外，在計算機(jī)配置為3.2 GHz CPU與16 GB RAM時，本文模型的計算時間295.01 s，而ANSYS則需要約耗時2 640 s，本文模型計算效率有顯著提高。

3 結(jié)論

基于子結(jié)構(gòu)和模態(tài)疊加法，提出了一種用于含復(fù)雜內(nèi)部結(jié)構(gòu)的圓柱殼動力學(xué)響應(yīng)的快速計算方法。通過商業(yè)軟件獲得單個子系統(tǒng)的自由振動模態(tài)并將其位移通過模態(tài)展開，子結(jié)構(gòu)間通過隔振彈簧連接。采用第二類拉格朗日方程建立了耦合系統(tǒng)的耦合動力學(xué)方程，得到了系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣以及廣義力向量，進(jìn)而獲得了簡諧激勵下各子系統(tǒng)模態(tài)坐標(biāo)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。最后得到了耦合系統(tǒng)各點(diǎn)物理坐標(biāo)下的響應(yīng)。（1）通過與有限元仿真結(jié)果對比，本文方法在低頻范圍內(nèi)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的計算結(jié)果精確且效率較高。當(dāng)固有特性計算的頻率范圍選擇為外激勵頻率范圍的2倍時，降維模型的響應(yīng)計算能保證較好的準(zhǔn)確度。當(dāng)計算的頻率較高時需要提高模態(tài)截斷數(shù)量。（2）在不改變子結(jié)構(gòu)的情況下，可以對彈簧相連接的子結(jié)構(gòu)進(jìn)行任意組合，有望在水下潛航器設(shè)計階段用于對整體艙段的結(jié)構(gòu)優(yōu)化和艙段低頻范圍內(nèi)隔振效果的快速評估。（3）后續(xù)研究將考慮圓柱殼在不同環(huán)境中對整體結(jié)構(gòu)振動特性的影響，同時考慮結(jié)構(gòu)中存在非線性隔振器時響應(yīng)的計算方法。

參考文獻(xiàn)

［1］楊睿， 王壯， 李曉彬， 等. 艦艇浮筏隔振系統(tǒng)的發(fā)展與趨勢［J］. 船舶工程， 2020， 42（7）： 28-34.

［2］張森森， 商超， 戴俊， 等. 浮筏隔振系統(tǒng)三向振動傳遞特性研究［J］. 艦船科學(xué)技術(shù)， 2019， 41（21）： 77-80.

［3］王獻(xiàn)忠， 陳立， 喻敏，等. 含內(nèi)部子結(jié)構(gòu)的圓柱殼振動特性研究［J］. 華中科技大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）， 2022， 50（3）： 101-107.

［4］MEYER V， MAXIT L， GUYADER J L， et al. A condensed transfer function method as a tool for solving vibroacoustic problems［J］. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers， Part C： Journal of Mechanical Engineering Science， 2016， 230（6）： 928-938.

［5］MEYER V， MAXIT L， GUYADER J L， et al. Prediction of the vibroacoustic behavior of a submerged shell with non-axisymmetric internal substructures by a condensed transfer function method［J］. Journal of Sound and Vibration， 2016， 360： 260-276.

［6］MA X L， JIN G Y， SHI S X， et al. An analytical method for vibration analysis of cylindrical shells coupled with annular plate under general elastic boundary and coupling conditions［J］. Journal of Vibration and Control， 2017， 23（2）： 305-328.

［7］石先杰， 李春麗， 蔣華兵. 復(fù)雜邊界條件下圓柱殼-環(huán)板耦合結(jié)構(gòu)振動特性分析［J］. 振動工程學(xué)報， 2018， 31（1）： 118-124.

［8］朱擁勇. 含內(nèi)部子結(jié)構(gòu)有限長圓柱殼體水中聲振特性分析［J］. 兵器裝備工程學(xué)報， 2016， 37（4）： 132-135， 148.

［9］張磊， 馬遜軍， 魯民月，等. 一種含內(nèi)部結(jié)構(gòu)的水下圓柱殼振動聲輻射計算方法［J］. 艦船科學(xué)技術(shù)， 2021， 43（23）： 122-127.

［10］PETERS H， KINNS R， KESSISSOGLOU N. Effects of internal mass distribution and its isolation on the acoustic characteristics of a submerged hull［J］. Journal of Sound and Vibration， 2014， 333（6）： 1684-1697.

［11］呂成剛， 王壯， 李曉彬， 等. 網(wǎng)架箱體浮筏-艇體耦合特性及全頻段隔振效果分析［J］. 中國艦船研究， 2022， 17（2）： 173-182.

［12］ZHENG H， LIU G R， TAO J S， et al. FEM/BEM analysis of diesel piston-slap induced ship hull vibration and underwater noise［J］. Applied Acoustics， 2001， 62（4）： 341-358.

［13］WU H J， YU L， JIANG W K. A coupling FEM/BEM method with linear continuous elements for acoustic-structural interaction problems［J］. Applied Acoustics， 2019， 150： 44-54.

［14］SONG Y B， WEN J H， YU D L， et al. Suppression of vibration and noise radiation in a flexible floating raft system using periodic structures［J］. Journal of Vibration and Control， 2015， 21（2）： 217-228.

［15］賈文超， 陳美霞， 周志偉. 含復(fù)雜內(nèi)部結(jié)構(gòu)加筋圓柱殼振動響應(yīng)解析數(shù)值混合方法［C］∥中國造船工程學(xué)會船舶力學(xué)學(xué)術(shù)委員會振動與噪聲學(xué)組， 中國船舶集團(tuán)第七〇二研究所船舶振動噪聲重點(diǎn)實(shí)驗室， 《船舶力學(xué)》編輯部. 第十八屆船舶水下噪聲學(xué)術(shù)討論會論文集， 2021： 6.

［16］CHEN M X， ZHANG L， XIE K. Vibration analysis of a cylindrical shell coupled with interior structures using a hybrid analytical-numerical approach［J］. Ocean Engineering， 2018， 154： 81-93.