孫曉軍 劉琰焱

【摘 要】 試題既是評(píng)價(jià)教師教學(xué)質(zhì)量和學(xué)生學(xué)習(xí)效果的重要載體，也是調(diào)控教學(xué)活動(dòng)、改進(jìn)教學(xué)方式的有效杠桿．教師要充分挖掘試題的學(xué)科育人價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生在探究多種解題方法中感受圖形的構(gòu)造與重組，經(jīng)歷思維視角轉(zhuǎn)換和思維方式變換的過(guò)程，進(jìn)而建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯體系，發(fā)展思維的開(kāi)放性、動(dòng)態(tài)性和結(jié)構(gòu)性．

【關(guān)鍵詞】 中考試題；解法探究；圖形變換；動(dòng)態(tài)觀念

初中階段圖形與幾何領(lǐng)域教學(xué)強(qiáng)調(diào)從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)研究圖形［1］．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》）提出：要理解軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、平移的基本圖形運(yùn)動(dòng)，會(huì)用圖形的運(yùn)動(dòng)認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中相應(yīng)的現(xiàn)象；理解幾何圖形的對(duì)稱性，感悟現(xiàn)實(shí)世界的對(duì)稱美［2］．因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生感悟圖形變換中所展現(xiàn)出的圖形對(duì)稱美與數(shù)學(xué)理性美，并會(huì)用幾何知識(shí)表達(dá)物體簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．對(duì)于一些中考試題，在思考解題方法時(shí)，如果能從圖形變換的角度進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析，建立相關(guān)線段、角、三角形等幾何圖形間的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生就會(huì)在“曲徑通幽”中明晰思維方向、明辨探究路徑、明確解題方法，積累運(yùn)用動(dòng)態(tài)觀念和變通策略解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．

筆者借助對(duì)一道中考試題的多解法探究與思考后形成此文，與各位同仁交流．

1 試題呈現(xiàn)

（2023山東威海中考第23題）已知：射線OP平分∠MON，A為OP上一點(diǎn)，⊙A交射線OM于點(diǎn)B，C，交射線ON于點(diǎn)D，E，連接AB，AC，AD．

（1）如圖1，若AD∥OM，試判斷四邊形OBAD的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OM，交OP于點(diǎn)F；過(guò)點(diǎn)D作DG⊥ON，交OP于點(diǎn)G．求證：AG=AF．

該試題思維策略開(kāi)放，解題方法多樣，圖形結(jié)構(gòu)優(yōu)美，重點(diǎn)考查學(xué)生在幾何直觀、空間觀念、推理能力、模型觀念等方面的素養(yǎng)水平．

2 解法探究

笛卡爾說(shuō)過(guò)：“要從錯(cuò)綜復(fù)雜的事物中區(qū)別出最簡(jiǎn)單的事物，然后進(jìn)行有序的研究．”對(duì)于這道涉及到諸多線段、角、三角形之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的試題，學(xué)生在進(jìn)行解題分析初期很容易產(chǎn)生“山重水復(fù)疑無(wú)路”的思維困惑．如果能從圖形變換的視角進(jìn)行整體分析，補(bǔ)全缺失的圖形關(guān)系，不僅會(huì)使題目中“潛伏”的數(shù)量關(guān)系浮出水面，而且可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，進(jìn)而從解題思維困惑走向“柳暗花明又一村”．

解 （1）利用△ADH與△ABK，以及△AHO與△AKO的軸對(duì)稱變換關(guān)系．

四邊形OBAD是菱形．如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AK⊥OM，AH⊥ON，垂足分別為點(diǎn)K，H．因?yàn)镺P平分∠MON，所以∠1=∠2，AH=AK，又AD=AB，所以Rt△ADH≌Rt△ABK，故DH=BK．可求得Rt△AHO≌Rt△AKO，所以O(shè)H=OK，故OD=OB．因?yàn)锳D∥OM，所以∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以O(shè)D=DA，故OD=DA=AB=BO，所以四邊形OBAD是菱形．

（2）方法1 利用△ACK與△ADH，以及△ADG與△ACL的旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系．

如圖4，過(guò)點(diǎn)A作AK⊥OM，AH⊥ON，垂足分別為點(diǎn)K，H，在FC上取點(diǎn)L，使AL=AF，連接AL，則∠OFC=∠ALF．因?yàn)镺P平分∠MON，所以AH=AK，又AC=AD，所以Rt△ACK≌Rt△ADH，故∠3=∠4，因?yàn)椤?+∠5=90°，∠4+∠6=90°，所以∠5=∠6．因?yàn)椤螪GO+∠DGA=180°，∠ALF+∠ALC=180°，∠DGO=∠OFC=∠ALF，所以∠DGA=∠ALC，所以△ADG≌△ACL，故AG=AL，所以AG=AF．

方法2 利用△ODG關(guān)于OP軸對(duì)稱后與△OCF的位似變換關(guān)系，以及△AGL與△AFC的軸對(duì)稱變換關(guān)系．

如圖5，過(guò)點(diǎn)A作AK⊥OM，AH⊥ON，垂足分別為點(diǎn)K，H，延長(zhǎng)DG交⊙A于點(diǎn)L，連接AL．由“方法1”可得∠5=∠6，因?yàn)锳D=AL，所以∠5=∠ALD，所以∠ALD=∠6．因?yàn)椤?=∠2，∠ODG=∠OCF，所以△ODG∽△OCF，故∠DGO=∠OFC．又∠DGO=∠AGL，所以∠AGL=∠OFC，又AL=AC，所以△AGL≌△AFC，所以AG=AF．

方法3 利用△ODG與△OBG的軸對(duì)稱變換關(guān)系，以及△AGQ與△FAT沿OP方向的平移變換關(guān)系．

如圖6，過(guò)點(diǎn)A作AK⊥OM，垂足為點(diǎn)K，所以BK=CK，連接BG，由圖形的軸對(duì)稱性和DG⊥ON，可得BG⊥OM．分別過(guò)點(diǎn)G，A作GQ⊥AK，AT⊥FC，垂足分別為點(diǎn)Q，T，可求得四邊形BKQG和四邊形AKCT均為矩形，所以BK=GQ=KC=AT．因?yàn)镚Q∥BC，AT∥BC，所以GQ∥AT，故∠AGQ=∠FAT，所以△AGQ≌△FAT，所以AG=AF．

方法4 利用△ADH與△ABK，△AHO與△AKO，以及△ODG與△OBG的軸對(duì)稱變換關(guān)系．

如圖7，過(guò)點(diǎn)A作AK⊥OM，AH⊥ON，垂足分別為點(diǎn)K，H，連接BG．因?yàn)镺P平分∠MON，所以∠1=∠2，AH=AK，又AD=AB，所以Rt△ADH≌Rt△ABK，故DH=BK．可求得Rt△AHO≌Rt△AKO，所以O(shè)H=OK，故OD=OB，可求得△ODG≌△OBG，所以∠ODG=∠OBG=90°，即GB⊥OM，又FC⊥OM，所以GB∥AK∥FC，故BKKC=GAAF．因?yàn)锳K⊥BC，所以BK=CK，所以AG=AF．

方法5 利用△ADH與△ABK的軸對(duì)稱變換關(guān)系，以及△ADG與△ALF的旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系．

如圖8，過(guò)點(diǎn)A作AK⊥OM，AH⊥ON，垂足分別為點(diǎn)K，H．因?yàn)镺P平分∠MON，所以AH=AK，又AD=AB，所以Rt△ADH≌Rt△ABK，所以∠3=∠4．延長(zhǎng)CF交⊙A于點(diǎn)L，連接AL，因?yàn)椤螧CL=90°，所以BL是⊙A的直徑，故點(diǎn)B，A，L三點(diǎn)共線．因?yàn)椤?+∠5=90°，∠4+∠6=90°，所以∠5=∠6，由于∠7=∠1+∠ODG，∠8=∠2+∠OCF，且∠1=∠2，∠OCF=∠ODG=90°，所以∠7=∠8，又AD=AL，所以△ADG≌△ALF，所以AG=AF．

方法6 利用△ACK與△ADH的旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系，以及△ADL與△AQC先沿OP方向平移、再旋轉(zhuǎn)的變換關(guān)系．

如圖9，過(guò)點(diǎn)A作AK⊥OM，AH⊥ON，垂足分別為點(diǎn)K，H，分別取OG，OF中點(diǎn)L，Q，連接DL，CQ．因?yàn)镺P平分∠MON，所以AK=AH，又AC=AD，所以Rt△ACK≌Rt△ADH，故∠3=∠ACK．因?yàn)镈G⊥OH，L是OG中點(diǎn)，所以DL=OL=LG，所以∠1=∠4，故∠5=2∠1．同理可得OQ=CQ=QF，則∠6=2∠2，因?yàn)椤?=∠2，所以∠5=∠6，∠2=∠4．因?yàn)椤?+∠LDA+∠3=180°，∠2+∠OAC+∠ACK=180°，所以∠LDA=∠OAC，所以△ADL≌△AQC，故AL=CQ，AQ=DL．因?yàn)镈L=LG，所以AQ=LG，又CQ=QF，所以AL=QF，即AG+LG=AF+AQ，所以AG=AF．

3 教學(xué)啟示

3．1 重視教材，凸顯教學(xué)導(dǎo)向

教材是教學(xué)活動(dòng)的根本．源于教材的命題方式，能體現(xiàn)試題評(píng)價(jià)與選拔的基礎(chǔ)性、科學(xué)性和公平性，有效提升教學(xué)評(píng)價(jià)的生命力．將教材資源作為試題命制的本源，可以引導(dǎo)教師重視對(duì)教材資源的合理使用，改變學(xué)生對(duì)教輔資料的依賴性、糾偏題海戰(zhàn)術(shù)．教師要挖掘教材例題和習(xí)題的示范引領(lǐng)作用，充分發(fā)揮教材的教育教學(xué)價(jià)值和評(píng)價(jià)功能［3］．本道試題以角平分線和圓為背景，“聯(lián)姻”了角平分線的性質(zhì)、全等三角形、相似三角形、菱形的判定、平行線分線段成比例、圓的性質(zhì)等知識(shí)，以及軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)等圖形變換方式．縱觀各地的中考試題，無(wú)論題目的特點(diǎn)如何創(chuàng)新、命題的風(fēng)向標(biāo)如何變化，都要重視教材內(nèi)容，要緊扣數(shù)學(xué)主干知識(shí)與核心考點(diǎn)，將教材內(nèi)容作為教學(xué)活動(dòng)的根本．

3．2 整體生長(zhǎng)，培育思維結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)知識(shí)之間具有很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性和整體性．《新課標(biāo)》也提出：要加強(qiáng)知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，促進(jìn)知識(shí)結(jié)構(gòu)化．素養(yǎng)導(dǎo)向下的教學(xué)活動(dòng)，要求教師能從“登高遠(yuǎn)望，一覽眾山小”的視角，對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行模塊化架構(gòu)，揭示知識(shí)間的邏輯關(guān)聯(lián)，系統(tǒng)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)體系．本道試題命制素材所涉及到的教材內(nèi)容信息如表1所示．

教師在對(duì)該試題進(jìn)行解題分析時(shí)，可以從角平分線這一基本圖形入手，按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)逐步添加條件，還原試題的“生長(zhǎng)”過(guò)程，要揭示相關(guān)圖形與數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)、思維方法、解題策略間的整體關(guān)聯(lián)．同時(shí)還要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行結(jié)構(gòu)重組、關(guān)系建構(gòu)，理清圖形結(jié)構(gòu)和邏輯關(guān)聯(lián)，以便能清晰、快速、準(zhǔn)確獲取解題線索，孕育思維品質(zhì)的結(jié)構(gòu)化與生長(zhǎng)性．

3．3 注重變換，發(fā)展動(dòng)態(tài)觀念

解決幾何問(wèn)題的突破口往往需要通過(guò)添加合理的輔助線進(jìn)行構(gòu)圖．盡管該試題源自教材中的基本圖形和簡(jiǎn)單問(wèn)題，但學(xué)生在添加輔助線時(shí)依舊會(huì)存在“在哪里添加”“如何添加”“為什么要這樣添加”“添加后的價(jià)值是什么”等思維障礙．因此在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)、位似等圖形變換方式分析圖形間的關(guān)系，從運(yùn)動(dòng)的角度進(jìn)行圖形構(gòu)造，以破解思維障礙、搭建思維連接點(diǎn)、暢通思維通道．只有這樣，數(shù)學(xué)解題教學(xué)才能突破“只見(jiàn)樹(shù)木，不見(jiàn)森林”的困境，學(xué)生才能學(xué)會(huì)用動(dòng)態(tài)思維和整體策略分析問(wèn)題，體會(huì)各種方法間的關(guān)聯(lián)性和一致性，從而逐步建立起解決問(wèn)題的思維方式和方法體系．

參考文獻(xiàn)

［1］李卓．挖掘試題育人價(jià)值，發(fā)展學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)［J］．中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2024（01）：36．

［2］中華人民共和國(guó)教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2022年版［M］．北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：71．

［3］吳立寶，洪夢(mèng)，王富英．?dāng)?shù)學(xué)教科書例、習(xí)題的關(guān)系研究［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（03）：78．

作者簡(jiǎn)介 孫曉軍（1976—），男，山東乳山人，中學(xué)一級(jí)教師，山東省乳山市教學(xué)研究中心教研員;主要從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究工作;曾獲得威海市數(shù)學(xué)名師、學(xué)科帶頭人、教學(xué)能手、教育科研先進(jìn)個(gè)人等稱號(hào);主持20余項(xiàng)省、市級(jí)課題研究，有多項(xiàng)研究成果獲省、市級(jí)教學(xué)成果獎(jiǎng)，執(zhí)教的十余節(jié)課例獲得威海市數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)、山東省優(yōu)課及國(guó)家教育部基礎(chǔ)教育精品課．劉琰焱（1980—）女，山東乳山人，中學(xué)一級(jí)教師;曾獲得教壇明星等稱號(hào)，執(zhí)教過(guò)威海市數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課.