李宏杰

（天津市政工程設計研究總院有限公司，天津 300392）

大跨度橋梁通常為鋼結(jié)構，系統(tǒng)剛度和阻尼比較小，對風荷載更加敏感，尤其是風荷載的動力作用尤為不可忽略。橋梁的風致振動主要形態(tài)一般有四類：渦振、抖振、馳振、顫振。顫振作為一種發(fā)散性振動是絕對不允許在橋梁上發(fā)生的。

對橋梁風致振動的研究方法主要有理論分析、現(xiàn)場觀測、數(shù)值模擬和風洞試驗。風洞試驗方法是橋梁風工程研究中十分常用且重要的研究方法，利用滿足一定的相似律的試驗模型重現(xiàn)橋梁結(jié)構在風場中的力學響應，試驗結(jié)果貼近實際結(jié)果，可測量信息豐富，可信度高。節(jié)段模型的彈簧懸掛風洞試驗系統(tǒng)結(jié)構簡單、對風洞要求小、系統(tǒng)剛度和阻尼比方便調(diào)節(jié)且對大跨度橋梁來說三維效應相對較小，故常用于研究大跨度橋梁的顫振行為。

研究[1～3]證明扁平箱梁斷面的顫振具有明顯的非線性振動特征，故線性的分析方法已經(jīng)不再合適。節(jié)段模型彈簧懸掛系統(tǒng)的自振頻率與阻尼比是重要的動力參數(shù)，準確識別系統(tǒng)的自振頻率與阻尼比是開展非線性顫振研究工作的基礎，故需要引入非線性方法對系統(tǒng)的自振頻率和阻尼比進行識別。

1 動力參數(shù)的非線性效應

傳統(tǒng)研究通常將系統(tǒng)的自振頻率與阻尼比認定為常數(shù)[1，4～6]，通過在靜止空氣中的自由衰減振動試驗以及線性分析手段來計算求解。但是由于材料與制作工藝的影響，彈簧在拉伸過程中會存在一定的非線性效應；同時由于連接件自身剛度的影響、連接件間微小的相對位移以及彈簧與其周圍空氣的相互作用等因素的影響，導致系統(tǒng)的機械阻尼與自振頻率均會存在非線性特性；此外節(jié)段模型在靜止空氣中的振動不可避免會對模型周圍空氣形成擾動，被擾動的空氣又進一步作用到節(jié)段模型上，使得動力系統(tǒng)具有氣動非線性效應（附加質(zhì)量、慣性矩與附加阻尼）[7]。由此可見，系統(tǒng)的動力參數(shù)實際上由2個來源構成：系統(tǒng)的機械結(jié)構和氣動部分。

2 非線性動力參數(shù)的識別方法

傳統(tǒng)方法是將動力參數(shù)（自振頻率與阻尼比）認為是一個常數(shù)，其單自由度的自由衰減振動運動方程可以表達為

式中：f(t)為位移時程；A0為初始時刻的瞬時振幅；ξ0為系統(tǒng)阻尼比；ω0為振動圓頻率；t為時間。

對自由衰減振動位移時程進行傅里葉變換獲取頻譜，就可得到自振頻率。

阻尼比常采用對數(shù)衰減法進行識別。將式（1）兩邊同時取自然對數(shù)得到

隨著振動的衰減，取2N 周期內(nèi)的振動達到振幅的時刻與位移帶入式（2）得到

式中：ai為振動達到振幅的位移；ti為振動達到振幅的時刻，ti= t1+( )i - 1 T；T為振動周期，T = 2π/ω0；N為自然數(shù)表示第幾個周期。

由式（3）可以得到

針對彈簧懸掛節(jié)段模型試驗，系統(tǒng)的動力參數(shù)存在非線性效應，而且產(chǎn)生非線性的因素十分復雜，在此引入等效線性化的方法。這種方法可以近似地用振動幅值去描述系統(tǒng)的動力參數(shù)，將系統(tǒng)的非線性動力參數(shù)刻畫為關于振幅的函數(shù)。進行等效線性化的方法有很多，如諧波平衡法、平均法等[8]，本文采用平均法對非線性的自由衰減振動進行等效線性化[8～10]，通過時域方法對系統(tǒng)的自由衰減振動位移時程進行非線性動力參數(shù)的識別，找到振幅與系統(tǒng)非線性動力參數(shù)之間的關系。

采用平均法的等效線性化后的單自由度自由振動系統(tǒng)瞬時振動幅值和相位可表示為

式中：a(t) 為系統(tǒng)瞬時振動幅值；φ(t) 為振動相位；x 為瞬時振動位移；ω0為系統(tǒng)振動圓頻率，

系統(tǒng)等效圓頻率表示為

式中：ωe(t)為瞬時等效圓頻率；φe( )t 為瞬時等效相位。等效阻尼比表示為

式中：ξe( )t 為瞬時等效阻尼比。將等效線性化后的運動方程和式（8）聯(lián)立，得到等效阻尼比ξe與振動幅值a 之間的函數(shù)關系ξe(a)[8～10]。

3 自由衰減振動試驗

為了提取系統(tǒng)機械部分的非線性動力參數(shù)，設計了一種橫截面積很小的剛桿模型，通過施加配重的方式保證剛桿模型與平板節(jié)段模型具有相同的質(zhì)量與轉(zhuǎn)動慣量。對平板節(jié)段模型與剛桿模型分別進行豎向自由度與扭轉(zhuǎn)自由度的自由衰減振動，獲得系統(tǒng)總的非線性動力參數(shù)與機械非線性動力參數(shù)，二者相減可求得平板節(jié)段模型在靜止空氣中的非線性附加阻尼與附加剛度。見圖1。

圖1 自由衰減振動裝置試驗

剛桿模型編號md_fv_12；平板節(jié)段模型寬高比12∶1，編號fv_12。采用激光位移計對模型振動狀態(tài)進行實時采集，獲取振動時程數(shù)據(jù)。

4 非線性動力參數(shù)的識別結(jié)果

4.1 機械非線性動力參數(shù)

通過剛桿模型的自由衰減振動試驗，根據(jù)位移時程數(shù)據(jù)，采用式（5）和式（6）進行計算，得到瞬時振動幅值與瞬時相位后，通過式（7）和式（8）可計算得到非線性自振頻率與阻尼比。見圖2-圖4。

圖2 md_fv_12自由振動瞬時幅值時程曲線

圖3 md_fv_12非線性自振頻率隨振幅變化曲線

圖4 md_fv_12非線性阻尼比隨振幅變化曲線

由圖3和圖4可以看出，隨著振幅變化，系統(tǒng)的自振頻率與阻尼比都發(fā)生了相應變化，表現(xiàn)出了非線性的特征。針對自振頻率，隨著振動的衰減，豎向自振頻率從2.769 Hz 提升到了2.783 Hz，變化幅度為0.51%，扭轉(zhuǎn)自由度上，隨著振動的衰減，頻率由4.11 Hz 提升到了4.16 Hz，變化幅度為1.21%，振幅對系統(tǒng)的機械部分自振頻率沒有顯著影響。與振幅對系統(tǒng)機械部分的自振頻率影響不同，系統(tǒng)的機械阻尼比隨著振幅變化發(fā)生了十分明顯的變化，在扭轉(zhuǎn)自由度上系統(tǒng)的機械阻尼比變化幅度為27.9%，在豎向自由度上系統(tǒng)的機械阻尼比變化幅度更是達到154.5%，系統(tǒng)的機械阻尼體現(xiàn)出了明顯地非線性特征。

由于系統(tǒng)的機械部分在剛度上沒有表現(xiàn)出明顯地非線性特征，為方便計算所以可以將其視為常數(shù)，通過線性的方法獲得，即通過對兩個自由度上自由衰減振幅位移時程進行快速傅里葉變換，得到兩個自由度上的自振頻率。見圖5。

圖5 md_fv_12自由衰減振動位移頻譜

線性方法識別的系統(tǒng)機械部分的自振頻率與通過非線性動力學的方法進行識別的自振頻率十分接近，所以采用線性方法得到的自振頻率是合適的。

4.2 氣動非線性動力參數(shù)

同獲得系統(tǒng)機械非線性動力參數(shù)的方法相同，通過平板節(jié)段模型的自由振動衰減試驗，得到氣動部分總的非線性動力學參數(shù)。在豎向自由度上，隨著振動的衰減，豎向自振頻率有所提高，頻率由2.701 Hz 提升到了2.71 Hz，變化幅度為0.9%；在扭轉(zhuǎn)自由度上，系統(tǒng)總的扭轉(zhuǎn)自振頻率表現(xiàn)出了與豎向自由度相同的規(guī)律，扭轉(zhuǎn)自振頻率變化幅度為1.37%。與系統(tǒng)的機械自振頻率一樣，系統(tǒng)的總自振頻率會隨著振動振幅的變化而改變，但是這種變化并不明顯，變化范圍不會超過1.5%，因此對于整個彈簧懸掛系統(tǒng)來說，同樣可以采用線性的方法得到其系統(tǒng)的自振頻率。見圖6和圖7。

圖6 fv_12非線性自振頻率隨振幅變化曲線

圖7 fv_12自由衰減振動位移頻譜

振幅對系統(tǒng)的總阻尼比影響十分顯著，隨著振幅的衰減，阻尼發(fā)生了大幅變化，在豎向自由度上變化幅度甚至達到了309.09%，表現(xiàn)出了十分明顯的非線性特征。區(qū)別于頻率，系統(tǒng)的機械阻尼與總阻尼差別十分明顯，意味著模型振動所引起的氣動阻尼對系統(tǒng)總阻尼有著巨大的貢獻，是不可以忽略的。見圖8。

圖8 fv_12非線性阻尼比隨振幅變化曲線

系統(tǒng)的機械阻尼主要來源有4 方面：一是彈簧材料自身在往復拉伸中引起的材料阻尼；二是通過一系列連接件連接的不同的構件之間產(chǎn)生的微小的相對摩擦；三是彈簧本身在往復的運動中與其周為空氣之間發(fā)生的摩擦；四是系統(tǒng)在振動中可能給彈簧帶來的微小的橫向振動。這些因素決定了系統(tǒng)的機械阻尼；而模型的氣動阻尼主要是由于模型自身振動對其周圍空氣形成了擾動，因此氣動阻尼的大小與模型的氣動外形息息相關。

從系統(tǒng)的機械阻尼與附加氣動阻尼的來源角度看，可以認為二者是相互獨立、互不干擾的，這樣就可以利用由平板節(jié)段模型自由振動試驗識別到的系統(tǒng)非線性阻尼比和利用剛桿自由振動試驗識別到的系統(tǒng)機械阻尼比相減，從而得到平板節(jié)段模型在靜止空氣中擾動周圍空氣誘發(fā)的附加氣動阻尼比。結(jié)果表明采用上述方法可以有效的獲得平板節(jié)段模型在靜止空氣中的附加氣動阻尼比。見圖9。

圖9 fv_12非線性阻尼比識別結(jié)果

5 結(jié)論

平板顫振模型的彈簧懸掛節(jié)段模型在靜風條件下動力參數(shù)存在非線性特征，其中：系統(tǒng)阻尼比隨振幅的變化尤為明顯，不可忽略；頻率也具有非線性特征，但隨振幅變化不明顯，可近似認為系統(tǒng)頻率為固定值。

系統(tǒng)動力參數(shù)非線性可以分為兩部分：一是由系統(tǒng)的機械部分所產(chǎn)生的非線性；二是由于模型在振動過程中對周圍空氣形成了擾動而形成的附加氣動非線性。尤其對于阻尼比來說，系統(tǒng)的總阻尼與機械阻尼之間存在著明顯的差異，靜風擾動誘導的附加氣動阻尼是系統(tǒng)阻尼的重要構成部分，不可忽略。

采用等效線性化方法可以有效地對彈簧懸掛節(jié)段模型系統(tǒng)進行非線性系統(tǒng)動力參數(shù)識別，識別到的系統(tǒng)總阻尼比與機械阻尼比相減得到節(jié)段模型在靜止空氣中的附加氣動阻尼比。