陳十一, 王建春, 鄭欽敏, 王小寧, 滕 健, 萬敏平

(南方科技大學(xué) 力學(xué)與航空航天工程系, 深圳 518055)

0 引 言

可壓縮湍流在高超聲速飛行器設(shè)計(jì)、高溫化學(xué)反應(yīng)流動(dòng)、激光核聚變、超新星爆炸等各種工程問題和自然現(xiàn)象中起到關(guān)鍵作用，不僅是流體力學(xué)中的基礎(chǔ)科學(xué)問題，也是國家重大工程中的重點(diǎn)研究課題[1-10]。與不可壓縮湍流相比，可壓縮湍流更加復(fù)雜，包含了旋渦、聲波、激波、膨脹波等豐富的流動(dòng)結(jié)構(gòu)。在可壓縮湍流中，動(dòng)能和內(nèi)能之間通過壓力做功相互轉(zhuǎn)化，密度、速度、壓力和溫度之間相互耦合?？蓧嚎s湍流的復(fù)雜性給理論分析、數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)研究帶來了巨大的挑戰(zhàn)。因此，非常有必要系統(tǒng)地研究可壓縮湍流的流動(dòng)機(jī)理，為進(jìn)一步發(fā)展更可靠的可壓縮湍流模型提供理論支持[11-23]。

由于可壓縮湍流包含了豐富的物理過程，一種有效的方法是將可壓縮湍流分解為不同的部分，然后研究每一部分的性質(zhì)以及各部分之間的相互作用。Moyal在1952年通過亥姆霍茲分解，將可壓縮湍流的速度場(chǎng)分解為剪切部分和脹壓部分，并指出，速度場(chǎng)的剪切部分類似于不可壓縮湍流場(chǎng)，而速度場(chǎng)的脹壓部分可以看做是隨機(jī)噪聲[24]。Kavasznay在1953年對(duì)可壓縮流動(dòng)的控制方程做了線性假設(shè)，將可壓縮流動(dòng)分解為三種相互正交的模態(tài)：渦模態(tài)、聲模態(tài)和熵模態(tài)，分別對(duì)應(yīng)于可壓縮流動(dòng)的剪切過程、脹壓過程和熱力學(xué)過程[25]。

亥姆霍茲分解方法已被廣泛應(yīng)用于可壓縮均勻各向同性湍流的研究中。在1991年，Sarkar等采用了聲波理論來描述弱可壓縮各向同性湍流速度場(chǎng)的脹壓部分[26]。在1997年，Ristorcelli使用了偽聲理論來研究弱可壓縮各向同性湍流速度場(chǎng)的脹壓部分[27]。當(dāng)湍流馬赫數(shù)比較高的時(shí)候，湍流場(chǎng)中的旋渦運(yùn)動(dòng)會(huì)誘導(dǎo)產(chǎn)生小尺度激波，也稱為小激波(shocklet)。在1991年，Lee等首次通過數(shù)值模擬研究了可壓縮各向同性湍流中的小激波結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)在小激波前后的物理量變化近似滿足激波跳躍關(guān)系式[28]。Samtaney等在2001年采用小激波識(shí)別方法研究了可壓縮各向同性湍流場(chǎng)中的小激波的統(tǒng)計(jì)規(guī)律[29]。Jagannathan和Donzis在2016年，通過亥姆霍茲分解研究了可壓縮性對(duì)各向同性湍流場(chǎng)的影響，并指出當(dāng)湍流馬赫數(shù)高于臨界值0.3時(shí)，脹壓部分會(huì)對(duì)整個(gè)流場(chǎng)有較明顯的影響[30]。

李新亮、傅德薰和馬延文在2002年，通過數(shù)值模擬研究了可壓縮各向同性衰減湍流，并指出湍流間歇性是可壓縮湍流中出現(xiàn)小激波的重要原因[31]。他們分析了可壓縮各向同性湍流輻射聲波的性質(zhì)，并和Lilley模型、Poudman模型做了比較[32]。李虎和張樹海在2012年，通過數(shù)值模擬研究了可壓縮各向同性衰減湍流，發(fā)現(xiàn)可壓縮性會(huì)加快從大尺度脈動(dòng)到小尺度脈動(dòng)的湍動(dòng)能輸運(yùn)[33]。何國威課題組在2013年研究了可壓縮各向同性湍流的速度場(chǎng)的時(shí)間關(guān)聯(lián)性質(zhì)[34]。他們對(duì)速度的脹壓部分發(fā)展了新的時(shí)間關(guān)聯(lián)模型，并通過直接數(shù)值模擬作了驗(yàn)證。

陳十一研究團(tuán)隊(duì)在2010年到2015年期間，發(fā)展了緊致差分和WENO格式相結(jié)合的混合方法，并對(duì)可壓縮均勻各向同性湍流開展了一系列的研究，包括：小激波和可壓縮性對(duì)速度梯度和流場(chǎng)小尺度脈動(dòng)的影響、速度散度的概率分布以及和一維Burgers湍流的比較、能量級(jí)串過程、可壓縮湍流中的粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律等[35-43]。這部分研究?jī)?nèi)容主要在2015年的一篇文章中作了總結(jié)[43]。

本文主要介紹陳十一研究團(tuán)隊(duì)自2017年以來在可壓縮湍流的流動(dòng)機(jī)理方面的研究進(jìn)展，包括：可壓縮湍流的多過程分解、各類可壓縮條件下的速度和熱力學(xué)量的譜的標(biāo)度律、動(dòng)能和熱力學(xué)量的多尺度傳輸、大尺度剪切流的作用、高溫非平衡效應(yīng)、化學(xué)反應(yīng)的影響等[44-56]。

1 基本方程和流動(dòng)參數(shù)

經(jīng)過無量綱化后的描述理想氣體的可壓縮流體力學(xué)基本方程組如下[1,35,47]:

其中，ρ、ui、p、T分別表示密度、速度、壓力、溫度。黏性應(yīng)力張量σij定義為：

其中，速度散度θ=?uj/?xj。Fi表示加在動(dòng)量上的大尺度驅(qū)動(dòng)力，Λ表示大尺度冷卻函數(shù)[35,47]。單位體積的總能量定義為：

采用緊致差分與WENO格式相結(jié)合的混合格式，在一個(gè)立方體內(nèi)采用周期性邊界條件開展三維可壓縮各向同性湍流的數(shù)值模擬[35]。通過固定前兩個(gè)波數(shù)上的能譜，對(duì)速度場(chǎng)加入了大尺度的驅(qū)動(dòng)力[35,47]，又采用了空間均勻分布的冷卻函數(shù)，使平均內(nèi)能達(dá)到統(tǒng)計(jì)定常[35,47]。

湍流的泰勒雷諾數(shù)Reλ定義為[35,47]：

湍流馬赫數(shù)Mt定義為[35,47]：

湍流馬赫數(shù)表示湍流脈動(dòng)速度相對(duì)平均聲速的大小。一般情況下，湍流馬赫數(shù)越大，湍流場(chǎng)的可壓縮性越強(qiáng)。另外，湍流場(chǎng)的可壓縮性還依賴于剪切部分的動(dòng)能與脹壓部分的動(dòng)能之比。

2 多過程分解和物理量的譜

2.1 可壓縮湍流的多過程分解

在這一節(jié)中，介紹可壓縮湍流的多過程分解方法。目前，該方法已被系統(tǒng)地應(yīng)用于可壓縮各向同性湍流和均勻剪切湍流的研究。我們將在后續(xù)的工作中用該方法研究更復(fù)雜的可壓縮湍流。

我們采用亥姆霍茲分解，將速度場(chǎng)分解為剪切部分us和脹壓部分ud。其中，?·us=0，?×ud=0。速度場(chǎng)的剪切部分代表了湍流的剪切過程，和旋渦結(jié)構(gòu)相對(duì)應(yīng)。速度場(chǎng)的脹壓部分代表了湍流的脹壓過程，對(duì)應(yīng)于聲波、膨脹波、激波等可壓縮流動(dòng)結(jié)構(gòu)。

我們將密度、壓力和溫度分解為平均值和脈動(dòng)值，即[44]：ρ=ρ0+ρ′，p=p0+p′，T=T0+T′ 。

可以進(jìn)一步對(duì)速度場(chǎng)和壓力場(chǎng)的脹壓部分作分解：ud=uds+udd,pd=pds+pdd。其中，速度場(chǎng)和壓力場(chǎng)的偽聲模態(tài)滿足：

偽聲速度場(chǎng)的譜滿足：

采用Kavasznay分解將密度、壓力和溫度的脈動(dòng)值進(jìn)一步分解為聲模態(tài)(等熵模態(tài))和熵模態(tài)。聲模態(tài)的計(jì)算公式如下[49]：

熵模態(tài)的計(jì)算公式如下：

pE=0，ρE=ρ-ρ0-ρI，TE=T-T0-TI

(17)

其中，壓力的脈動(dòng)部分都屬于聲模態(tài)，沒有熵模態(tài)。

2.2 可壓縮湍流的物理量的譜

我們?cè)诒?中列出了不同情況下速度的脹壓部分ud、壓力p、密度ρ和溫度T的譜在慣性區(qū)上的標(biāo)度指數(shù)。速度和熱力學(xué)量的脹壓過程、聲模態(tài)、熵模態(tài)等在不同可壓縮條件下表現(xiàn)出了不同的統(tǒng)計(jì)特點(diǎn)?？蓧嚎s湍流的速度及其剪切部分的譜具有-5/3標(biāo)度律[44-50]。

表1 速度和熱力學(xué)量的譜的標(biāo)度指數(shù)

不同情況下的物理量的譜的標(biāo)度律如下：

1) 大尺度剪切力驅(qū)動(dòng)下的弱可壓縮湍流[44]。速度的脹壓部分由偽聲模態(tài)占主導(dǎo)，相應(yīng)的譜具有-3標(biāo)度律(見圖1)。壓力由剪切部分占主導(dǎo)，壓力譜具有-7/3標(biāo)度律。溫度和密度的譜也具有-7/3標(biāo)度律。

圖1 剪切力驅(qū)動(dòng)的弱可壓縮湍流中，速度的脹壓部分的譜

2) 大尺度剪切力驅(qū)動(dòng)下的強(qiáng)可壓縮湍流[44-47,50]。速度的脹壓部分由聲模態(tài)占主導(dǎo)，相應(yīng)的譜具有-5/3標(biāo)度律(見圖2)。溫度、密度和壓力都由聲模態(tài)占主導(dǎo)，在慣性區(qū)上近似滿足等熵關(guān)系式。溫度、密度和壓力的譜都具有-5/3標(biāo)度律。

圖2 剪切力驅(qū)動(dòng)的強(qiáng)可壓縮湍流中，速度的脹壓部分的譜

3) 大尺度剪切力和脹壓力同時(shí)驅(qū)動(dòng)下的可壓縮湍流[48]。流場(chǎng)出現(xiàn)了大激波結(jié)構(gòu)。速度的脹壓部分的譜具有-2標(biāo)度律(見圖3)。溫度、密度和壓力的譜也都具有-2標(biāo)度律。

圖3 剪切力和脹壓力同時(shí)驅(qū)動(dòng)的可壓縮湍流中，速度的脹壓部分的譜

4) 大尺度剪切力驅(qū)動(dòng)下的有熱源的可壓縮湍流[49]。速度的脹壓部分和壓力都由聲模態(tài)占主導(dǎo)。溫度和密度由熵模態(tài)占主導(dǎo)。速度的脹壓部分的譜具有-5/3標(biāo)度律(見圖4)。溫度、密度和壓力的譜也都具有-5/3標(biāo)度律。

圖4 剪切力驅(qū)動(dòng)、有熱源的可壓縮湍流中，速度的脹壓部分的譜

3 動(dòng)能和熱力學(xué)量的多尺度傳輸

3.1 動(dòng)能的多尺度傳輸

在這一節(jié)中，我們采用濾波方法分析可壓縮各向同性湍流的動(dòng)能的多尺度傳輸[47,50]。

對(duì)密度加權(quán)的速度場(chǎng)做亥姆霍茲分解：

亥姆霍茲分解后的濾波動(dòng)能方程如下[47,50]：

壓力做功、亞格子動(dòng)能流量、黏性耗散等各個(gè)項(xiàng)在動(dòng)能的多尺度傳輸過程中所起的作用如圖5所示。在慣性區(qū)，亞格子流量在動(dòng)能的多尺度傳輸過程中起主導(dǎo)作用。壓力做功會(huì)引起動(dòng)能和內(nèi)能在局部區(qū)域內(nèi)的相互轉(zhuǎn)化，但經(jīng)過平均后對(duì)動(dòng)能傳輸?shù)淖饔帽容^小。黏性耗散主要集中在小尺度上，將動(dòng)能以不可逆的形式轉(zhuǎn)化為內(nèi)能[47]。

(a)

動(dòng)能脹壓部分的多尺度傳輸規(guī)律如圖6所示。在慣性區(qū)，動(dòng)能的脹壓部分通過非線性對(duì)流從剪切部分中得到能量，然后通過亞格子流量往小尺度傳輸，在小尺度上通過黏性耗散轉(zhuǎn)化為內(nèi)能[47]。

(a) Ma=0.8

3.2 熱力學(xué)量的多尺度傳輸

在這一節(jié)中，我們采用濾波方法分析可壓縮各向同性湍流的熱力學(xué)量的多尺度傳輸[49]。

溫度可以分解為平均溫度T0和脈動(dòng)溫度T1兩部分：T=T0+T1，其中，T0=〈T〉。濾波后溫度的均方根的方程如下[49]：

類似地，濾波后熵的均方根的方程如下[49]：

亞格子流量、脹壓項(xiàng)、熱擴(kuò)散和黏性耗散等各個(gè)項(xiàng)在溫度的多尺度傳輸過程中所起的作用如圖7所示。在慣性區(qū)，亞格子流量在溫度脈動(dòng)的多尺度傳輸過程中起主導(dǎo)作用，脹壓、熱擴(kuò)散和黏性耗散的作用可忽略。溫度的脈動(dòng)在慣性區(qū)上存在從大尺度向小尺度的級(jí)串現(xiàn)象[49]。

(a) Mt=0.2

亞格子流量、脹壓項(xiàng)、熱擴(kuò)散和黏性耗散等各個(gè)項(xiàng)在熵的多尺度傳輸過程中所起的作用如圖8所示。在慣性區(qū)，亞格子流量在熵的脈動(dòng)的多尺度傳輸過程中起主導(dǎo)作用，其他項(xiàng)的作用可忽略[49]。

(a) Mt=0.2

4 統(tǒng)計(jì)定常的可壓縮均勻剪切湍流

均勻剪切湍流是最簡(jiǎn)單的剪切湍流。利用雷諾分解，均勻剪切湍流的瞬時(shí)速度可以分解為平均速度U=(Sx2,0,0)和脈動(dòng)速度ui，在數(shù)值模擬中只計(jì)算脈動(dòng)速度，則控制方程(1-3)變?yōu)橐韵滦问絒52-53]：

因?yàn)橐陨戏匠讨酗@含x2，導(dǎo)致其在法向并不滿足周期邊界條件。通常采用被稱為“剪切邊界條件”的方法將其變換至動(dòng)坐標(biāo)系中進(jìn)行求解[57]。均勻剪切湍流可以從平均速度獲得能量，仍需要在能量方程中加入冷卻項(xiàng)Λ使其達(dá)到統(tǒng)計(jì)定常[51]。

由于既具有空間均勻的統(tǒng)計(jì)特性，又有與其他復(fù)雜剪切湍流類似的湍動(dòng)能生成的機(jī)制，均勻剪切湍流被認(rèn)為是研究剪切湍流的重要模型。早期，對(duì)均勻剪切湍流的研究主要針對(duì)各向同性湍流受到均勻剪切后的初始階段，分析湍動(dòng)能的時(shí)間演化、各向異性和流場(chǎng)結(jié)構(gòu)等。Pumir[58]延長(zhǎng)了不可壓縮均勻剪切湍流的數(shù)值模擬時(shí)間，大尺度流動(dòng)結(jié)構(gòu)受到計(jì)算域的約束，湍動(dòng)能不再增長(zhǎng)，最終得到了統(tǒng)計(jì)定常的流場(chǎng)。相比各向同性湍流，統(tǒng)計(jì)定常的均勻剪切湍流的明顯特征是具有很強(qiáng)的脈動(dòng)，這是由于在均勻剪切湍流中存在類似邊界層湍流中的猝發(fā)過程，而在統(tǒng)計(jì)定常的情況下該猝發(fā)過程的尺度達(dá)到了計(jì)算域尺度。統(tǒng)計(jì)定常均勻剪切湍流的很多統(tǒng)計(jì)特征和擬序結(jié)構(gòu)都與壁湍流的對(duì)數(shù)區(qū)非常相似[58-60]。目前對(duì)統(tǒng)計(jì)定常的均勻剪切湍流的研究主要針對(duì)不可壓流動(dòng)，對(duì)于可壓縮的統(tǒng)計(jì)定常均勻剪切湍流的研究屈指可數(shù)[51-54]。運(yùn)用Helmholtz分解，可將速度場(chǎng)分解為剪切部分和脹壓部分，進(jìn)而研究剪切過程和脹壓過程以及兩者的相互作用。可壓縮的統(tǒng)計(jì)定常均勻剪切湍流中, 剪切湍動(dòng)能和脹壓湍動(dòng)能均存在很強(qiáng)的脈動(dòng)[51]。

4.1 馬赫標(biāo)度率和能譜

(a) 無量綱的可壓縮湍動(dòng)能

(a) 壓力

4.2 可壓縮性對(duì)小尺度結(jié)構(gòu)的影響

湍流小尺度結(jié)構(gòu)一般用速度梯度張量來描述，它的動(dòng)力學(xué)特性對(duì)理解能量級(jí)串、間歇性、標(biāo)量的輸運(yùn)等各種湍流現(xiàn)象非常關(guān)鍵?？蓧嚎s性的影響主要體現(xiàn)在速度場(chǎng)的脹壓分量，對(duì)速度場(chǎng)剪切部分的影響很微弱[55]。湍流馬赫數(shù)較小時(shí)，變形速度張量Sij的概率最大的三個(gè)特征值之比約為-4∶1∶3，這與不可壓縮湍流類似。隨著馬赫數(shù)增大，該比值逐漸趨于-1∶0∶0，表明激波結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)。相同的馬赫數(shù)下，均勻剪切湍流的可壓縮性強(qiáng)于各向同性湍流，小尺度結(jié)構(gòu)對(duì)馬赫數(shù)更加敏感[52]。速度散度θ/θ′的大小描述流場(chǎng)的局部壓縮程度。在Mt≈0.6時(shí)，均勻剪切湍流的不同壓縮程度的區(qū)域中，變形速度張量三個(gè)特征值的概率分布和條件概率密度分布如圖11所示，可見在θ/θ′≤-2的強(qiáng)壓縮區(qū)間，大部分特征值的比值都很接近-1∶0∶0，這與各向同性湍流在Mt≈1.0時(shí)的結(jié)果類似[37]。在流體的體積黏性較大時(shí)，強(qiáng)壓縮和強(qiáng)膨脹區(qū)間各特征值的概率密度會(huì)明顯減小[54]。

圖11 變形速度張量Sij三個(gè)特征值βk(k=1,2,3)的概率分布和條件概率密度分布[52]

在強(qiáng)壓縮區(qū)間，均勻剪切湍流和各向同性湍流的(R*,Q*)的聯(lián)合概率密度分布具有明顯的相似性，如圖12所示[53]，并且在均勻剪切湍流中壓縮性對(duì)(R*,Q*)的聯(lián)合概率密度的影響更加明顯。

圖12 變形速度張量度第二、第三不變量的聯(lián)合概率密度分布函數(shù)對(duì)數(shù)lgPDF(R*,Q*)的等值線.紅線表示各向同性湍流的結(jié)果，黑線表示均勻剪切湍流的結(jié)果

5 振動(dòng)非平衡可壓縮各向同性湍流

高溫氣體流動(dòng)是指在高速高溫等極端條件下，氣體微團(tuán)具有分子內(nèi)部自由度激發(fā)，原子、分子間不斷發(fā)生離解、電離和復(fù)合等化學(xué)反應(yīng)，乃至出現(xiàn)輻射和電磁效應(yīng)等物理化學(xué)過程的復(fù)雜氣體介質(zhì)流動(dòng)[63-65]。高溫氣體流動(dòng)在自然界和航空航天等工業(yè)領(lǐng)域都極為常見。最典型的例子是通過激波的高超聲速流動(dòng)，高速流體大部分動(dòng)能被轉(zhuǎn)化為內(nèi)能并導(dǎo)致流體微團(tuán)壓強(qiáng)和溫度急劇增大。當(dāng)流體微團(tuán)的壓強(qiáng)和溫度突然增大時(shí)，原本處于平衡狀態(tài)的振動(dòng)模式與化學(xué)性質(zhì)將發(fā)生變化，并通過分子間碰撞實(shí)現(xiàn)新的平衡，因此需要一個(gè)特征時(shí)間(弛豫時(shí)間)來完成。在經(jīng)歷足夠長(zhǎng)的時(shí)間和足夠多的碰撞使流體微團(tuán)達(dá)到新的平衡狀態(tài)后，流體微團(tuán)已經(jīng)運(yùn)動(dòng)到激波下游一定遠(yuǎn)距離的位置。因此，在激波后會(huì)有一個(gè)尚未達(dá)到平衡狀態(tài)的區(qū)域——非平衡區(qū)。如圖13所示，振動(dòng)能級(jí)被激發(fā)后，氣體分子的內(nèi)能添加了振動(dòng)模式。與平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)模式非平衡的弛豫時(shí)間相比，振動(dòng)模式非平衡的弛豫時(shí)間要長(zhǎng)得多(振動(dòng)弛豫時(shí)間約高出平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)弛豫時(shí)間4個(gè)數(shù)量級(jí))。因此，在研究振動(dòng)能級(jí)被激發(fā)的可壓縮湍流時(shí)，通常假設(shè)內(nèi)能的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)模式處于平衡態(tài)，而振動(dòng)模式處于非平衡態(tài)，并分別用平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)溫度(Ttr)和振動(dòng)溫度(Tv)表征(即雙溫模型[63])。在激波后很大范圍內(nèi)，平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)溫度與振動(dòng)溫度存在明顯滯后現(xiàn)象[66]。

當(dāng)前大部分可壓縮各向同性湍流的研究沒有考慮振動(dòng)能級(jí)被激發(fā)的情況[29-30,37,39,44,50]，關(guān)于振動(dòng)非平衡和湍流脈動(dòng)相互作用的研究很少。Donzis和Maqui[67]通過直接數(shù)值模擬方法研究了統(tǒng)計(jì)穩(wěn)態(tài)的振動(dòng)能級(jí)被激發(fā)的可壓縮各向同性湍流，揭示了由于振動(dòng)非平衡和有限的弛豫時(shí)間，內(nèi)能的平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)模式和振動(dòng)模式之間存在強(qiáng)烈的能量傳遞。Khurshid和Donzis[68]進(jìn)一步研究了自由衰減的振動(dòng)能級(jí)被激發(fā)的可壓縮各向同性湍流中湍流脈動(dòng)和振動(dòng)非平衡的相互作用。研究發(fā)現(xiàn)湍流脈動(dòng)和振動(dòng)非平衡相互作用的強(qiáng)度取決于振動(dòng)非平衡的初始程度和弛豫時(shí)間的大小。本課題組也開展了振動(dòng)非平衡的可壓縮各向同性湍流統(tǒng)計(jì)特性的研究，探討了湍流馬赫數(shù)、振動(dòng)弛豫時(shí)間和特征溫度、壓縮性對(duì)振動(dòng)弛豫率和振動(dòng)能脈動(dòng)的影響[56]。本節(jié)主要介紹振動(dòng)非平衡可壓縮湍流的一些基本概念和控制方程，以及大湍流馬赫數(shù)(Mt=1.09)下的部分研究結(jié)果。

5.1 基本控制方程

圖13展示的是振動(dòng)能級(jí)被激發(fā)的雙原子分子氣體內(nèi)能模式與熱非平衡態(tài)概念示意圖。常溫下內(nèi)能主要包括平動(dòng)模式和轉(zhuǎn)動(dòng)模式，在這種情況下比熱比等于1.4。當(dāng)氣體振動(dòng)能級(jí)被激發(fā)后，內(nèi)能則添加了振動(dòng)模式，并根據(jù)振動(dòng)弛豫時(shí)間與特征流動(dòng)時(shí)間尺度的關(guān)系可分為振動(dòng)平衡態(tài)和振動(dòng)非平衡態(tài)。振動(dòng)非平衡態(tài)氣體內(nèi)能的無量綱形式可表示為：

圖13 振動(dòng)能級(jí)被激發(fā)的雙原子分子氣體內(nèi)能模式與熱非平衡態(tài)概念示意圖。振動(dòng)能級(jí)被激發(fā)情況下，根據(jù)振動(dòng)弛豫時(shí)間與特征流動(dòng)時(shí)間尺度的比值，可劃分為振動(dòng)平衡態(tài)和振動(dòng)非平衡態(tài),在振動(dòng)非平衡態(tài)下，比熱比是溫度的函數(shù)(≠ 1.4)。

在這種情況下，氣體比熱比是溫度的函數(shù)，而不再為常數(shù)。其中θv為氣體的無量綱振動(dòng)特征溫度。

振動(dòng)非平衡態(tài)下湍流的總能量和振動(dòng)能的控制方程以及氣體狀態(tài)方程如下所示：

p=ρTtr/(γrM2)

(29)

τv是無量綱的振動(dòng)弛豫時(shí)間，它是局部溫度和壓力的函數(shù)，通?？捎扇缦碌年P(guān)系式獲得：

τv=(C/p)exp(K2/Ttr)1/3

(32)

其中，C和K2是無量綱常數(shù)，依賴于氣體分子的物理性質(zhì)。通?？晒潭↘2的數(shù)值并修改C的取值得到不同的振動(dòng)弛豫時(shí)間[56,67-68]。受限于篇幅，更詳細(xì)的參數(shù)含義和表達(dá)式，比如平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)溫度和振動(dòng)溫度的熱傳導(dǎo)系數(shù)(κtr和κv)，請(qǐng)參考文獻(xiàn)[56]。

5.2 振動(dòng)弛豫時(shí)間對(duì)物理量梯度方向的影響

通常情況下,在可壓縮各向同性湍流流動(dòng)中密度梯度與速度散度的等值面是重合的，且常用于刻畫微型激波的結(jié)構(gòu)。流動(dòng)中的壓縮和膨脹運(yùn)動(dòng)對(duì)流體微團(tuán)做功，尤其是激波的強(qiáng)壓縮作用，使得可壓縮湍流中物理量的變化與氣體的壓縮性緊密相關(guān)，并體現(xiàn)為物理量的梯度和速度散度的等值面重合。圖14展示了歸一化的密度梯度、平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)溫度梯度和轉(zhuǎn)動(dòng)溫度梯度的等值面。在振動(dòng)非平衡可壓縮湍流流動(dòng)中，壓縮和膨脹運(yùn)動(dòng)對(duì)流體微團(tuán)做功直接改變的是平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)溫度，之后通過內(nèi)能中平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)模式和振動(dòng)模式的弛豫現(xiàn)象，進(jìn)而改變振動(dòng)溫度。如圖14所示，在歸一化弛豫時(shí)間〈τv〉/τη≈30.73時(shí)，密度梯度和平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)溫度梯度的等值面基本重合；而由于有限的弛豫時(shí)間，密度梯度與振動(dòng)溫度梯度的等值面則完全不重合。

(a) 歸一化的密度梯度

為了進(jìn)一步量化密度梯度與振動(dòng)溫度梯度夾角隨振動(dòng)弛豫時(shí)間的變化，可通過計(jì)算振動(dòng)溫度梯度和密度梯度夾角cosine函數(shù)值的概率密度分布函數(shù)。振動(dòng)溫度梯度和密度梯度可分別表示為：

振動(dòng)溫度梯度和密度梯度夾角的cosine函數(shù)值可表示為:

圖15展示的是振動(dòng)溫度梯度和密度梯度夾角cosine函數(shù)值的概率密度分布函數(shù)隨歸一化振動(dòng)弛豫時(shí)間的變化規(guī)律。顯然，在歸一化弛豫時(shí)間〈τv〉/τη≈0.29時(shí)，振動(dòng)溫度梯度和密度梯度方向近乎重合；隨著弛豫時(shí)間的增大，振動(dòng)溫度梯度和密度梯度方向逐漸偏離。當(dāng)〈τv〉/τη≈30.73時(shí)，PDF曲線近乎水平，意味著振動(dòng)溫度梯度和密度梯度方向已完全偏離。

圖15 振動(dòng)溫度和密度梯度間夾角cosine函數(shù)值的概率分布函數(shù)

5.3 振動(dòng)弛豫時(shí)間對(duì)弛豫率的影響

隨著弛豫時(shí)間的增大，振動(dòng)弛豫率的數(shù)值逐漸變小，甚至當(dāng)弛豫時(shí)間足夠大時(shí)，比如〈τv〉/τη≥13.16，在強(qiáng)膨脹區(qū)域甚至出現(xiàn)了反向的能量轉(zhuǎn)化(圖16a)。這是因?yàn)槿?.2小節(jié)所述，當(dāng)弛豫時(shí)間較大時(shí)，振動(dòng)溫度梯度和平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)溫度梯度不再重合，流動(dòng)的壓縮運(yùn)動(dòng)無法保證平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)溫度在平均的角度上大于轉(zhuǎn)動(dòng)溫度；同理，也無法保證在膨脹區(qū)域的反向溫度差。因此，可以認(rèn)為弛豫效應(yīng)弱化了壓縮性對(duì)振動(dòng)弛豫率統(tǒng)計(jì)特性的影響。圖16(b)則是展示了振動(dòng)特征溫度對(duì)歸一化弛豫率的影響。不同的振動(dòng)特征溫度對(duì)應(yīng)的曲線相互重疊，即振動(dòng)特征溫度對(duì)歸一化弛豫率的影響幾乎可以忽略。

6 可壓縮化學(xué)反應(yīng)湍流

化學(xué)反應(yīng)湍流存在于多種實(shí)際流動(dòng)中，涉及能源、環(huán)境、化工、航空航天等領(lǐng)域[70-72]。湍流-化學(xué)反應(yīng)的時(shí)間和空間多尺度相互作用對(duì)湍流的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)以及能量傳遞有重要影響[73-75]?；瘜W(xué)反應(yīng)湍流的時(shí)空多尺度特性以及化學(xué)反應(yīng)與流動(dòng)的耦合作用對(duì)機(jī)理研究提出了挑戰(zhàn)。目前，采用直接數(shù)值模擬手段針對(duì)不可壓和弱可壓縮湍流-化學(xué)反應(yīng)相互作用的研究已有大量的成果[72-85]。本課題組的研究進(jìn)一步考慮湍流的可壓縮性，探索強(qiáng)可壓縮湍流與化學(xué)反應(yīng)的相互作用。

6.1 控制方程

可壓縮化學(xué)反應(yīng)均勻各向同性湍流無量綱守恒形式的Navier-Stokes方程組[35, 76-77]如下所示：

s=1,…,ns-1

(38)

其中，ρ為混合氣體密度，ui為速度分量，p為混合氣體壓力，T為溫度，黏性應(yīng)力σij根據(jù)下式計(jì)算得到：

為了探索化學(xué)反應(yīng)的能量釋放對(duì)可壓縮湍流的影響，我們選用了單步不可逆簡(jiǎn)單化學(xué)反應(yīng)來獲得化學(xué)反應(yīng)過程中組分的變化以及能量的釋放?；瘜W(xué)反應(yīng)方程[76-77]如下所示：

A+B→2P

(42)

反應(yīng)物和產(chǎn)物的質(zhì)量變化以及總的能量釋放可以通過下式[76-77]計(jì)算得到：

(43)

式中Da為Damk?hler數(shù)，Ze為Zeldovich數(shù)，這兩個(gè)參數(shù)共同控制反應(yīng)物和產(chǎn)物的組分變化，Ce為放熱系數(shù)，與產(chǎn)物的組分變化率共同控制反應(yīng)吸/放熱速率。

6.2 流場(chǎng)結(jié)構(gòu)

化學(xué)反應(yīng)對(duì)可壓縮均勻各向同性湍流不同尺度的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)均有影響。尤其對(duì)于放熱反應(yīng)而言，化學(xué)反應(yīng)釋放的能量首先通過壓力膨脹做功傳遞給動(dòng)能的脹壓部分，進(jìn)一步，通過對(duì)流運(yùn)動(dòng)將能量由動(dòng)能的脹壓部分傳遞給剪切部分[73]。在能量的傳遞過程中，脹壓運(yùn)動(dòng)將導(dǎo)致流場(chǎng)的膨脹和壓縮都急劇的增大[75, 78]，流場(chǎng)結(jié)構(gòu)隨之發(fā)生改變。

如圖17所示，在低湍流馬赫數(shù)Mt=0.2狀態(tài)下，等溫反應(yīng)(Da=2，圖17(a))中，速度散度云圖呈現(xiàn)大范圍交替出現(xiàn)的壓縮和膨脹區(qū)域。在放熱反應(yīng)中(Da=200，圖17(b))，流場(chǎng)中出現(xiàn)藍(lán)色條紋狀結(jié)構(gòu)。這些條紋狀結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)流場(chǎng)的強(qiáng)壓縮區(qū)域，為小激波結(jié)構(gòu)。這意味著在弱可壓縮湍流中，化學(xué)反應(yīng)放熱可以導(dǎo)致小激波這種強(qiáng)壓縮結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)。

(a) 等溫反應(yīng)(Da=2,Ze=0,Ce=0)

6.3 能譜與標(biāo)度律

化學(xué)反應(yīng)對(duì)可壓縮湍流中速度以及熱力學(xué)量的能譜有重要影響。我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于放熱反應(yīng)而言，在能量的傳遞過程中，速度、密度、溫度和壓力的能譜在所有尺度均有不同程度的增加，并且，在放熱反應(yīng)中，弱可壓縮和強(qiáng)可壓縮湍流的主導(dǎo)模態(tài)均為聲學(xué)模態(tài)[55]。

圖18所示為放熱反應(yīng)中(Da=200),密度歸一化能譜隨無量綱化學(xué)反應(yīng)時(shí)間t/τ的變化，其中τ為大渦翻轉(zhuǎn)時(shí)間，t/τ=0對(duì)應(yīng)化學(xué)反應(yīng)的起始時(shí)刻?？梢钥吹?，在化學(xué)反應(yīng)的初期(0

(a) Mt=0.2

流場(chǎng)壓力膨脹做功在可壓縮化學(xué)反應(yīng)湍流的能量傳輸中具有重要作用，因此，進(jìn)一步分析在放熱反應(yīng)中(Da=200)的速度的脹壓分量能譜(圖19)可以得到，速度脹壓分量的能譜在放熱化學(xué)反應(yīng)中同樣呈現(xiàn)在所有尺度范圍的增加，但與熱力學(xué)量能譜的階躍式增加不同，速度脹壓分量能譜呈漸進(jìn)式增加，在t/τ>20達(dá)到統(tǒng)計(jì)穩(wěn)定狀態(tài)。

(a) Mt=0.2

密度和速度脹壓分量的歸一化能譜在化學(xué)反應(yīng)過程中的增加形式進(jìn)一步說明化學(xué)反應(yīng)使熱力學(xué)量的能譜能在極短的時(shí)間內(nèi)發(fā)生改變，而速度脹壓分量能譜的增加依賴于能量傳遞過程。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，弱可壓縮湍流中能譜的變化受反應(yīng)放熱的影響大于強(qiáng)可壓縮湍流，弱可壓縮湍流中能譜的增加更明顯。

7 結(jié) 論

可壓縮湍流包含了豐富的流動(dòng)結(jié)構(gòu)和物理現(xiàn)象，既有旋渦運(yùn)動(dòng)，又包含了膨脹和壓縮運(yùn)動(dòng)，而且動(dòng)力學(xué)過程和熱力學(xué)過程相互耦合。我們采用亥姆霍茲分解方法，將可壓縮湍流的速度和壓力分解為剪切過程和脹壓過程，并將脹壓過程分解為偽聲模態(tài)和聲模態(tài)。我們采用了Kavasznay分解方法，將熱力學(xué)量的脈動(dòng)分解為聲模態(tài)和熵模態(tài)。

我們通過研究可壓縮湍流的不同物理過程和流動(dòng)模態(tài)的多尺度性質(zhì)及其相互作用，得到了各類可壓縮條件對(duì)湍流的速度和熱力學(xué)量的譜、動(dòng)能的多尺度傳輸?shù)任锢硪?guī)律的影響。在弱可壓縮湍流中，當(dāng)偽聲模態(tài)占主導(dǎo)時(shí)，可壓縮部分的速度譜在慣性區(qū)上具有-3標(biāo)度律，壓力、密度和溫度的譜具有-7/3標(biāo)度律。對(duì)于中等可壓縮湍流，當(dāng)聲模態(tài)占主導(dǎo)時(shí)，可壓縮部分的速度譜以及熱力學(xué)量的譜都具有-5/3標(biāo)度律。對(duì)于強(qiáng)可壓縮湍流，當(dāng)大激波結(jié)構(gòu)占主導(dǎo)時(shí)，可壓縮部分的速度譜以及熱力學(xué)量的譜都具有-2標(biāo)度律。隨著可壓縮性的增強(qiáng)，有更多的動(dòng)能從速度場(chǎng)的剪切部分傳遞到脹壓部分。然后這些脹壓部分的動(dòng)能通過亞格子流量往小尺度傳輸，在小尺度上通過黏性耗散轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。

我們進(jìn)一步討論了大尺度剪切運(yùn)動(dòng)、體積黏性系數(shù)、高溫非平衡效應(yīng)、化學(xué)反應(yīng)對(duì)可壓縮湍流的多尺度性質(zhì)的影響。在相同湍流馬赫數(shù)情況下，大尺度的剪切運(yùn)動(dòng)會(huì)增強(qiáng)湍流的可壓縮性。體積黏性會(huì)抑制湍流的可壓縮性，使得脹壓部分更容易被偽聲模態(tài)占主導(dǎo)。在振動(dòng)非平衡可壓縮湍流中，當(dāng)弛豫時(shí)間較大時(shí)，密度梯度與振動(dòng)溫度梯度的等值面完全不重合。弛豫效應(yīng)弱化了可壓縮性對(duì)振動(dòng)弛豫率統(tǒng)計(jì)特性的影響。在弱可壓縮湍流中，化學(xué)反應(yīng)放熱可以極大地增強(qiáng)流動(dòng)的可壓縮性，使得流場(chǎng)出現(xiàn)小激波。在放熱反應(yīng)中，湍流馬赫數(shù)對(duì)動(dòng)能和動(dòng)能耗散的影響減弱。

通過這些研究，我們系統(tǒng)地建立和完善了充分發(fā)展的可壓縮湍流的基本理論，為進(jìn)一步研究更復(fù)雜條件下的可壓縮湍流的流動(dòng)機(jī)理以及發(fā)展高精度的可壓縮湍流大渦模擬方法奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

致謝:本研究工作得到南方科技大學(xué)科學(xué)與工程計(jì)算中心的支持。