母曉慧 楊風(fēng)暴 劉 哲 陶曉偉 張雅玲

(中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 山西 太原 030051)

0 引 言

由于戰(zhàn)場環(huán)境的復(fù)雜性、傳感器觀測的干擾性、目標(biāo)的強機動性等，非線性高雜波密度環(huán)境下的多目標(biāo)跟蹤已成為國內(nèi)外學(xué)者的研究熱點。目前，基于隨機有限集(Random Finite Set，RFS)理論[1]的多目標(biāo)跟蹤濾波方法可有效避免數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)產(chǎn)生的組合爆炸問題，其中以δ-廣義標(biāo)簽多伯努利濾波器(δ-Generalized Labeled Multi-Bernoulli Filter,δ-GLMB)為代表的算法不僅能夠估計目標(biāo)狀態(tài)與數(shù)目、區(qū)分目標(biāo)跟蹤的軌跡[2]，而且可在低信噪比環(huán)境下有效跟蹤多目標(biāo)，從而克服經(jīng)典RFS濾波算法[3—6]數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)帶來的組合爆炸問題及不能估計目標(biāo)軌跡的缺陷。

多目標(biāo)多伯努利算法在濾波過程中存在集合積分運算，難以求得解析解的問題，因此當(dāng)前實現(xiàn)該算法的途徑主要有兩類：(1) 序列蒙特卡洛(Sequential Monte Carlo,SMC)，該實現(xiàn)方法可解決非線性場景下的多目標(biāo)跟蹤問題，但由于采樣粒子數(shù)多和粒子退化，造成濾波器計算復(fù)雜度高，難以對目標(biāo)進行快速跟蹤；(2) 高斯混合(Gaussian Mixture,GM)，該實現(xiàn)計算復(fù)雜度相對較低，但其適用于線性高斯環(huán)境下的多目標(biāo)跟蹤問題[7]。

針對上述問題，文獻[8]分別提出非線性系統(tǒng)下多模型多伯努利(MM-MB)濾波器的容積卡爾曼高斯實現(xiàn)和基于均方根容積卡爾曼高斯實現(xiàn)方法，增強了算法的數(shù)值穩(wěn)定性和魯棒性。文獻[9]提出箱粒子δ-GLMB濾波算法，在非線性條件下目標(biāo)跟蹤精度得到有效提高。文獻[10]引入?yún)^(qū)間分析理論，給出了一種雜波未知的非線性條件下基于箱粒子濾波的勢平衡多目標(biāo)多伯努利濾波算法，既保證了目標(biāo)精度又大幅度提高了算法的執(zhí)行效率。文獻[11]將GM-δ-GLMB濾波算法與積分卡爾曼非線性濾波器(Quadrature Kalman Filter,QKF)相結(jié)合，為δ-GLMB濾波算法在非線性場景中的應(yīng)用提供了一種新的實現(xiàn)方法，但其在非線性高雜波密度環(huán)境下其跟蹤精度有所下降。侯利明等[11]利用擴展卡爾曼(Extended Kalman Filter,EKF)與GM-δ-GLMB濾波器相結(jié)合的方法，在弱非線性環(huán)境下取得了較好的跟蹤效果，但當(dāng)系統(tǒng)非線性較強時，EKF會導(dǎo)致模型描述誤差增大[12]，致使EKF-GM-δ-GLMB的濾波精度下降。因此，提出無跡卡爾曼(Unscented Kalman Filter,UKF)[13]與GM-δ-GLMB濾波器相結(jié)合的方法，通過Sigma點計算多目標(biāo)密度函數(shù)的均值和方差，能夠克服EKF線性近似帶來的巨大誤差，但當(dāng)系統(tǒng)維數(shù)超過三維時，UKF存在協(xié)方差矩陣非正定問題，導(dǎo)致UKF-GM-δ-GLMB濾波精度急劇下降[14]。上述濾波算法能夠在一定程度上解決非線性環(huán)境下的目標(biāo)跟蹤問題，但對于雜波密度高的環(huán)境，其目標(biāo)跟蹤精度下降甚至發(fā)散。

因此，本文將非線性濾波算法均方根容積卡爾曼濾波(Square-rooted Cubature Kalman Filter,SCKF)[14]與GM-δ-GLMB相結(jié)合，解決非線性高雜波密度環(huán)境下的多目標(biāo)跟蹤問題。該算法使用帶標(biāo)簽的隨機有限集描述多機動目標(biāo)的位置和速度等狀態(tài)，對每個目標(biāo)用互不相同的標(biāo)簽進行區(qū)分，并通過三階球面-徑向容積準(zhǔn)則選取一組等權(quán)的容積(Cubature)點集。采用誤差協(xié)方差的平方根形式進行遞推，利用容積點集求取多目標(biāo)密度函數(shù)的均值和協(xié)方差矩陣，對δ-GLMB高斯項進行預(yù)測與更新，從多目標(biāo)狀態(tài)后驗概率密度中估計單目標(biāo)的位置與速度，根據(jù)目標(biāo)的標(biāo)簽實現(xiàn)目標(biāo)軌跡跟蹤，提高濾波算法非線性逼近性能。為了驗證該算法的有效性和可行性，通過不同高雜波密度條件下的仿真實驗，將所提算法的濾波精度與EKF-GM-δ-GLMB和UKF-GM-δ-GLMB進行較詳細的對比。本文算法總體框圖如圖1所示。

圖1 本文算法總體框圖

1 背景理論

1.1 標(biāo)準(zhǔn)δ-GLMB濾波器

假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)δ-GLMB濾波器多目標(biāo)密度先驗分布如式(1)所示的δ-GLMB形式。

(1)

(2)

根據(jù)Chapman-Kolmogorov預(yù)測和貝葉斯濾波準(zhǔn)則，多目標(biāo)預(yù)測密度及后驗密度仍然為δ-GLMB形式[6]，δ-GLMB既能估計多目標(biāo)狀態(tài)估計，又能預(yù)測跟蹤目標(biāo)的運動軌跡，有效跟蹤多目標(biāo)。δ-GLMB濾波過程包括預(yù)測與更新兩個步驟。

1) 預(yù)測：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

2) 更新：

多目標(biāo)預(yù)測密度為δ-GLMB分布，則多目標(biāo)后驗密度仍是δ-GLMB分布：

δI+(L(X))[p(ξ,θ)(·|Z)]X

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

式中：目標(biāo)軌跡-量測的映射關(guān)系為θ：L→Z={0,1,…,|Z|},0表示漏檢。假設(shè)k+1時刻傳感器獲得m個量測，量測集合為Z={z1,z2,…,zm}，則更新軌跡標(biāo)簽集合關(guān)聯(lián)歷史為ξ=(θ1,…,θk,θk+1)。所有映射關(guān)系θ的集合Θ稱為關(guān)聯(lián)映射空間。Θ(I)表示定義域為I的Θ子集。pD(x,l)為檢測概率，g(z|x,l)是目標(biāo)(x,l)生成量測的似然函數(shù)值，κ(·)為量測過程中的雜波密度函數(shù)值。

1.2 δ-GLMB濾波器的高斯混合(GM)實現(xiàn)

從式(6)和式(12)中可看出，δ-GLMB濾波器在預(yù)測與更新步驟中存在有限集積分運算而難以求得解析解的問題，為此文獻[7]提出了該算法在線性高斯模型下的高斯混合(GM)實現(xiàn)過程，即利用高斯項加權(quán)求和的方式代替用于傳遞的伯努利參數(shù)的過程。

(15)

GM-δ-GLMB濾波算法實現(xiàn)具體如下：

1) 預(yù)測：

預(yù)測多目標(biāo)密度π+(X+)如式(3)所示，其高斯混合實現(xiàn)如下：

(16)

(17)

(18)

2) 更新：

假設(shè)k時刻的預(yù)測多目標(biāo)密度在新的關(guān)聯(lián)歷史條件ξ=(θ1,…,θk,θk+1)下單目標(biāo)分布密度函數(shù)為：

(19)

(20)

高斯分量剪枝與合并：刪除生存概率低于其最低門限的伯努利分量，對保留下來的分量所對應(yīng)的高斯分量進行剪枝和合并，剔除權(quán)重低的高斯分量，合并距離相近的高斯分量。

多目標(biāo)狀態(tài)提取與軌跡估計：利用最大后驗估計(MAP)從勢分布中估計出多目標(biāo)數(shù)目，然后從與估計目標(biāo)數(shù)相同的假設(shè)中選取權(quán)重最大假設(shè)的多目標(biāo)均值和標(biāo)簽，分別作為估計目標(biāo)狀態(tài)及軌跡。

2 基于SCKF的GM-δ-GLMB算法

GM-δ-GLMB濾波器在線性高斯模型下具有閉式解析解，在非線性系統(tǒng)模型下不能有效跟蹤，但將其與非線性濾波器結(jié)合可以解決非線性模型下的多目標(biāo)跟蹤問題。

在非線性模型下，假設(shè)單個目標(biāo)運動與量測方程是非線性的，即:

(21)

式中：k為觀測時刻；xk為k時刻目標(biāo)的狀態(tài)向量；zk為k時刻傳感器的觀測向量；f(·)和h(·)分別為已知的非線性狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)和非線性觀測函數(shù)；uk-1和vk分別為相互獨立的過程噪聲和觀測噪聲，服從均值為0、協(xié)方差矩陣分別為Qk-1、Rk的高斯分布。

在非線性模型系統(tǒng)下，本文采用基于SCKF的GM-δ-GLMB實現(xiàn)方法。已知在k-1時刻誤差協(xié)方差的平方根為Sk-1|k-1，記為Sk-1|k-1=Tria(A)，表示對矩陣A的QR分解，Tria(·)是矩陣的一種三角化運算，且Sk-1|k-1為下三角陣。SCKF基于三階球面-徑向容積準(zhǔn)則選取容積點，獲得如下容積點及權(quán)重：

(22)

(23)

1) 預(yù)測：

(1) 對式(16)組成的目標(biāo)軌跡中的第j個高斯項的協(xié)方差矩陣進行Cholesky分解：

(24)

(25)

ωj=1/(2n)

(26)

(3) 計算經(jīng)非線性狀態(tài)方程傳播后容積點的值：

(27)

(4) 估計狀態(tài)預(yù)測值：

(28)

(5) 估計預(yù)測誤差協(xié)方差矩陣的平方根值：

(29)

2) 更新：

量測更新當(dāng)前時刻的觀測，計算預(yù)測粒子狀態(tài)的均值及其狀態(tài)協(xié)方差矩陣；

(1) 計算容積點：

(30)

(2) 計算經(jīng)量測非線性函數(shù)傳播后的容積點：

(31)

(3) 計算量測預(yù)測值：

(32)

(4) 計算新息協(xié)方差的平方根值：

(33)

(34)

(5) 計算互協(xié)方差矩陣：

(35)

(36)

(6) 計算卡爾曼增益：

(37)

(7) 更新狀態(tài)均值：

(38)

(8) 更新協(xié)方差矩陣的均方根：

(39)

3 仿真實驗

3.1 仿真場景設(shè)置及參數(shù)設(shè)定

表1 6個機動目標(biāo)的初始狀態(tài)及出現(xiàn)消亡時間

圖2 目標(biāo)真實軌跡

本文在非線性模型系統(tǒng)下參考文獻[15-16]中的目標(biāo)運動模型、轉(zhuǎn)彎模型CT，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：

(40)

其系統(tǒng)非線性量測方程為：

(41)

雜波模型服從強度為κk=λVu(z)的泊松RFS，其中V表示傳感器監(jiān)視區(qū)域的觀測面積；u(·)表示該監(jiān)視區(qū)域的均勻概率分布函數(shù)，λ為雜波密度。仿真實驗在MATLAB R2016a環(huán)境下進行，處理器為Intel Core i7-7700,運行內(nèi)存為8 GB，本文進行300次蒙特卡洛仿真實驗來驗證所提算法的有效性。

3.2 實驗結(jié)果與分析

仿真1固定雜波密度環(huán)境下實驗結(jié)果分析。

圖3為本文所提算法在雜波密度為λ=1.5×10-6m-2時的目標(biāo)濾波結(jié)果圖，x軸和y軸分別為二維坐標(biāo)平面內(nèi)的x位置和y位置。本文算法在x軸和y軸方向上對機動目標(biāo)的跟蹤效果如圖4所示，從圖中可得知各目標(biāo)出現(xiàn)和消亡的時間及運動狀態(tài)。圖3、圖4中濾波結(jié)果與目標(biāo)真實軌跡幾乎重合，因此本文算法能夠準(zhǔn)確地估計目標(biāo)的運動軌跡，對目標(biāo)進行準(zhǔn)確跟蹤。

圖3 目標(biāo)濾波結(jié)果

圖4 本文算法對目標(biāo)狀態(tài)估計圖

本文選用最優(yōu)子模式分配(Optimal sub-pattern assignment,OSPA)[17]距離作為評價多目標(biāo)跟蹤算法性能的準(zhǔn)則指標(biāo)，OSPA距離越大該算法的綜合精度越差。其定義為：

(42)

式中：X、Y為任意子集，且維數(shù)分別為m、n，距離敏感性參數(shù)p表征距離誤差，水平調(diào)節(jié)數(shù)c表征集合勢誤差。本實驗選取參數(shù)c=100,p=1。圖5為3種算法的勢估計及其誤差對比圖，圖6為OSPA距離誤差對比圖。

(a) 勢估計

圖6 OSPA距離對比圖

在圖5(a)可以看出，λ=1.5×10-6m-2時，三種算法都可以隨著時間的變化較準(zhǔn)確地估計出目標(biāo)數(shù)目，圖5(b)中三種不同算法對目標(biāo)數(shù)量的估計均出現(xiàn)一定程度的偏差。其中UKF-GM-δ-GLMB在目標(biāo)出現(xiàn)消亡時即t=66 s和80 s時，反應(yīng)速度延遲時間最長，對目標(biāo)數(shù)目的估計出現(xiàn)了明顯的偏差，EKF-GM-δ-GLMB次之，本文算法延遲時間最短，更能有效地估計目標(biāo)數(shù)目。在t=10 s、20 s、40 s、66 s、80 s時目標(biāo)數(shù)目發(fā)生變化，所以三種算法的勢估計誤差均增大。圖6中在開始時三種算法的OSPA距離都很大，在后來變小并趨于穩(wěn)定。在66 s之前三種算法的OSPA距離相近，此后本文所提算法略低于其他兩種算法，證明此算法的跟蹤效果更好。

出現(xiàn)上述現(xiàn)象是因為UKF-GM-δ-GLMB實現(xiàn)時的濾波參數(shù)值一般需要先驗知識，針對復(fù)雜和高狀態(tài)維數(shù)的多目標(biāo)跟蹤問題難以有效解決。EKF-GM-δ-GLMB是因為其適用于弱非線性環(huán)境，當(dāng)非線性程度較高時，容易出現(xiàn)濾波發(fā)散問題，導(dǎo)致跟蹤精度下滑。本文算法是基于三階球面-徑向容積準(zhǔn)則選取一組等權(quán)的容積點集，得到的參數(shù)更加準(zhǔn)確，可實現(xiàn)較高精度的目標(biāo)跟蹤。

仿真2不同高雜波密度環(huán)境下實驗結(jié)果分析。

為了進一步驗證算法跟蹤性能，在整個跟蹤周期圖7及圖8分別給出了本文所提算法與UKF-GM-δ-GLMB算法、EKF-GM-δ-GLMB算法在5個高雜波密度λ=(4.0,4.5,5.0,5.5,6.0)×10-6m-2的OSPA距離對比圖及勢估計誤差對比圖。

圖7 勢估計及其誤差對比圖

圖8 OSPA距離對比圖

根據(jù)圖7和圖8，可得到以下結(jié)果：

(1) 當(dāng)雜波密度增大時，三種算法的勢估計誤差和OSPA距離均會相應(yīng)增大。

(2) 在某一雜波密度下，與UKF-GM-δ-GLMB算法與EKF-GM-δ-GLMB算法相比，本文算法的勢估計誤差要低得多，平均降低了18.8%、24.6%。

(3) 在某一雜波密度下，本文算法的OSPA距離也比其他兩種算法要低，平均降低了1.6%、3.6%。

綜上所述，當(dāng)不同高雜波密度環(huán)境下，本文所提算法的勢估計誤差和OSPA距離最小，跟蹤精度最高。

4 結(jié) 語

本文提出了基于SCKF的GM-δ-GLMB實現(xiàn)算法，在非線性高雜波密度系統(tǒng)下，該算法可以準(zhǔn)確地估計機動目標(biāo)的運動狀態(tài)與軌跡，有效提高目標(biāo)跟蹤精度。與UKF-GM-δ-GLMB、EKF-GM-δ-GLMB算法進行實驗對比，本文算法的OSPA距離最小且其勢估計最準(zhǔn)確，證明其跟蹤精度最高。本文算法在非線性模型系統(tǒng)下具有較高的跟蹤精度，下一步將致力于將其用于強機動目標(biāo)、擴展目標(biāo)和群目標(biāo)等較為復(fù)雜的多目標(biāo)跟蹤問題。