浙江省杭州市富陽(yáng)區(qū)新登中學(xué) (311404)

于德強(qiáng)

我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常會(huì)遇到很難的題目，按照常規(guī)的思考方法可以解答，但要花費(fèi)大量的時(shí)間，在限時(shí)完成的考試中不適用.一種選擇就是放棄，因?yàn)殡y題往往是在每種題型的最后部分出現(xiàn)；另一種就是把平時(shí)積累的思維方法提升，站在更高的角度看問(wèn)題，讓思維飛起來(lái)，從而解決問(wèn)題.要做到既快速又準(zhǔn)確，需要長(zhǎng)時(shí)間的訓(xùn)練，也要養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣.

不拘泥于問(wèn)題的形式，而是細(xì)致分析問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，從意想不到的角度去思考問(wèn)題，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的與效果，這樣的思維方式既培養(yǎng)了良好的解題習(xí)慣，又開(kāi)拓了學(xué)生視野與見(jiàn)識(shí)，讓人智慧得到鍛煉與進(jìn)步.這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題在近年來(lái)的高考或模擬卷中經(jīng)常出現(xiàn).

一、抓住內(nèi)在聯(lián)系，讓思維飛起來(lái)

1.原題呈現(xiàn)

圖1

例1 如圖1，正四面體ABCD的棱CD在平面α上，E為棱BC的中點(diǎn).當(dāng)正四面體ABCD繞CD旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線AE與平面α所成最大角的正弦值為.

1.1 命題背景：本試題考察立體幾何中的線面角，通過(guò)幾何圖形為背景給定已知條件，要求空間角的最大值.

1.2 難度分析：從已知條件可知，正四面體ABCD的棱CD在平面α上，整個(gè)幾何體旋轉(zhuǎn)，導(dǎo)致直線AE與平面α的交點(diǎn)位置隨之變化，斜線(長(zhǎng))、垂線(長(zhǎng))都發(fā)生變化，甚至無(wú)法做出這個(gè)角的平面圖，因此難度較大.

2.嘗試解答

2.2 函數(shù)法：設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為x，由于直線AE的射影不斷變化，二者均呈變化趨勢(shì)，無(wú)法建立有效的函數(shù)關(guān)系式，基本無(wú)法解決.

3.思維突破

圖2

經(jīng)過(guò)思維遷移，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)圓錐母線與軸截面成角最大的問(wèn)題，相對(duì)于以上幾種解法，思考方式難了一些，但是掌握了以后，可以使問(wèn)題解決的更具創(chuàng)造性.

二、抓住變化規(guī)律，讓思維飛起來(lái)

1.原題呈現(xiàn)

圖3

1.1 命題背景：本試題考察平面向量的數(shù)量積，通過(guò)幾何圖形給定已知條件，去求兩個(gè)不定向量的數(shù)量積.

2.嘗試解答

3.化動(dòng)為靜

圖4

經(jīng)過(guò)化動(dòng)為靜，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)應(yīng)用基本不等式求一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題，相對(duì)于以上幾種解法，思考方式更難，但運(yùn)算量更小，放縮更自然.

三、抓住問(wèn)題本質(zhì)，讓思維飛起來(lái)

面對(duì)較難的高中問(wèn)題，使用常規(guī)方法即使可以解答，但所花精力實(shí)在太大.不能呈現(xiàn)高效課堂，不能以最小的投入使學(xué)生獲得最大的收益.在某些特定的環(huán)境下，出奇制勝也很重要，如果經(jīng)過(guò)細(xì)致分析，通過(guò)轉(zhuǎn)換與化歸，讓思維飛起來(lái)，可以使解決問(wèn)題的過(guò)程成為享受，從容面對(duì)高考的考驗(yàn).同樣的，對(duì)于各種不同背景的問(wèn)題，也可采用一些方法抓住問(wèn)題的本質(zhì),“他山之石，可以攻玉”讓問(wèn)題的解決變得相對(duì)容易，進(jìn)而給學(xué)生的收益無(wú)限放大，培養(yǎng)學(xué)生思考問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的素養(yǎng)，提高學(xué)生解數(shù)學(xué)題的能力.

1.他山之石，可以攻玉

分析：初看本題，直覺(jué)就是進(jìn)行三角變換，轉(zhuǎn)化為某類三角函數(shù)求值域.但是考慮到分式的結(jié)構(gòu)以及分子分母的聯(lián)系，可利用向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，另辟它徑，給予解決.

圖5

解：已知函數(shù)f(x)=

反思：充分發(fā)揮知識(shí)的橫向聯(lián)系，起到意想不到的效果，可謂是它山之石，可以為銼；它山之石，可以攻玉.

2.構(gòu)造函數(shù)，巧妙解決

例4(2012年高考浙江理)設(shè)a>0,b>0.下列命題正確的是( ).

A．若2a+2a=2b+3b,則a>b

B．若2a+2a=2b+3b,則a

C．若2a-2a=2b-3b,則a>b

D．若2a-2a=2b-3b,則a

解：條件是一個(gè)等式結(jié)構(gòu)，左右兩邊的系數(shù)有小的差異，消除差異，可得：若2a+2a=2b+3b,必有2a+2a>2b+2b.則可構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x+2x,因?yàn)閒′(x)=2x·ln2+2>0恒成立,故有函數(shù)f(x)=2x+2x在x>0上單調(diào)遞增,即a>b成立.其余選項(xiàng)可用同樣方法排除.

反思：我們得到一個(gè)很有用的小經(jīng)驗(yàn)：若一個(gè)等式(或不等式)兩邊結(jié)構(gòu)形式相同(系數(shù)相同、僅字母不同)，則可嘗試去構(gòu)造一個(gè)函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題.

3.透析本質(zhì)，一步到位

例5已知a2sinθ+acosθ-2=0，b2sinθ+bcosθ-2=0(a,b,θ∈R)且a≠b，直線l過(guò)點(diǎn)A(a,a2),B(b,b2)，則直線l被圓(x-cosθ)2+(y-sinθ)2=4，所截得的弦長(zhǎng)為.

解：由已知抽象出直線l的方程為xcosθ+ysinθ-2=0，圓心到直線l的距離為

反思：直線被圓截得的弦長(zhǎng)問(wèn)題，關(guān)鍵在于直線l的方程是怎樣的，摸清題意，從問(wèn)題本源出發(fā)，才能迅速找到出路.得到直線方程是大多數(shù)學(xué)生可以想到的.問(wèn)題在于快速得到是一件不太容易的事情.直線過(guò)兩點(diǎn)，先求斜率，再利用已知條件，消去字母a,b，進(jìn)而得解.這個(gè)感覺(jué)就是沒(méi)有完全掌握題意，使一道填空題變成解答題了.

4.重視方法，手段精妙

A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

5.巧妙換元，化繁為簡(jiǎn)

巧法，著眼于提高，在于能整體的把握問(wèn)題，巧妙的使用條件，是抽象、概括，發(fā)散及合情推理的產(chǎn)物.對(duì)待巧法要辯證的對(duì)待，既不輕視，又不能過(guò)多的運(yùn)用.

解析：代數(shù)式求最值的題目很多，關(guān)鍵在于向哪個(gè)方向去轉(zhuǎn)化，整體去看待問(wèn)題，讓分子分母的結(jié)構(gòu)更簡(jiǎn)單最好，這樣均值不等式就可一展身手.

反思：本題給定的代數(shù)式的結(jié)構(gòu)與特征明顯，含有兩個(gè)字母參數(shù)，一般的解題方式是先通分，把分子分母化成相同的變量，構(gòu)造函數(shù)或用均值不等式來(lái)解.但考慮到如果分母的形式更簡(jiǎn)單，那么解決起來(lái)會(huì)更容易.巧妙換元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到均值不等式，達(dá)到目的.

四、讓思維飛起來(lái)意義深遠(yuǎn)

轉(zhuǎn)變1：實(shí)現(xiàn)由重知識(shí)向重發(fā)展的轉(zhuǎn)變

通過(guò)再思考，讓學(xué)生的思維方式轉(zhuǎn)變，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，又可培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的能力，這恰是新課標(biāo)所提倡的基本理念.從這個(gè)意義上說(shuō)，教學(xué)過(guò)程既是學(xué)生掌握知識(shí)的過(guò)程，又是一個(gè)身心發(fā)展、潛能開(kāi)發(fā)的過(guò)程.當(dāng)代新基礎(chǔ)教育課程的教學(xué)應(yīng)致力于發(fā)展學(xué)生包括智力在內(nèi)的整個(gè)個(gè)性和整體素質(zhì)的提高.

轉(zhuǎn)變2：實(shí)現(xiàn)由重結(jié)果向重過(guò)程的轉(zhuǎn)變

“重結(jié)果輕過(guò)程”，這是教學(xué)中一個(gè)十分突出的問(wèn)題，就題講題，忽視了對(duì)知識(shí)點(diǎn)的歸納，導(dǎo)致很多學(xué)生課后都不知道彼此的區(qū)別與聯(lián)系.而深入思考能促使學(xué)生的學(xué)習(xí)方式由“重結(jié)論輕過(guò)程”向“過(guò)程與結(jié)果”并重的方向發(fā)展，使學(xué)生挖掘隱含問(wèn)題的本質(zhì)屬性，從而達(dá)到“做一題，通一類，會(huì)一片”的解題境界.

總之，對(duì)數(shù)學(xué)難題的重點(diǎn)研究，教師設(shè)計(jì)的時(shí)間花得多一點(diǎn),學(xué)生練習(xí)的時(shí)間就少一點(diǎn)；設(shè)計(jì)的例題精一點(diǎn)，學(xué)生就會(huì)學(xué)得活一點(diǎn)，好一點(diǎn).雖然我們經(jīng)常一節(jié)課只研究一個(gè)問(wèn)題或一個(gè)題型，有時(shí)到下課了還沒(méi)有研究結(jié)束，但這樣的教學(xué)效果特別好，學(xué)生得到的是思想方法，是情感體驗(yàn).數(shù)學(xué)解題不應(yīng)是“自古華山一條道”,而應(yīng)是“條條大路通羅馬”,這樣才能源于教材卻又高于教材，這樣的教學(xué)才能收到異曲同工之妙、殊途同歸之效.試題的解法探究對(duì)一道填空題可以從多個(gè)維度去考量,利用不同的思想方法加以思考和探究,能探究出多種解法,從而實(shí)現(xiàn)一題多解的目的.一道好的試題,不在于華麗的“包裝”,而在于本身所蘊(yùn)涵的思想方法.