范成濤, 林 爽, 葛 琦

(延邊大學(xué) 理學(xué)院, 吉林 延吉 133002)

0 引 言

q-差分微積分在工程數(shù)學(xué)、 數(shù)學(xué)物理模型、 動(dòng)力系統(tǒng)、 量子物理和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 例如, Ernst[1-2]將q-差分理論應(yīng)用于股票收益率等問題中. 目前, 關(guān)于分?jǐn)?shù)階q-差分方程邊值問題的研究已取得很多成果[3-12]. 本文考慮如下分?jǐn)?shù)階q-差分系統(tǒng):

(1)

其中: 2<α,β≤3; 00;M,N是實(shí)數(shù);f,g: [0,1]××→是連續(xù)函數(shù).

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[11-12]Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階q-積分定義為

Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階q-導(dǎo)數(shù)定義為

其中:f(t)是定義在[0,1]上的函數(shù);m是不小于α的最小整數(shù). Caputo型分?jǐn)?shù)階q-導(dǎo)數(shù)定義為

定義2[13]設(shè)M是含有非負(fù)元素的方陣, 如果Mk→0(k→∞), 則稱方陣M收斂于零矩陣.

定義3[11,14]標(biāo)準(zhǔn)q-指數(shù)函數(shù)定義為

性質(zhì)1[11-12]設(shè)α≥0,I是包含原點(diǎn)的實(shí)區(qū)間, 且a,b∈I,f(t),g(t)是定義在I到上的函數(shù), 則：

2) [a(t-s)](α)=aα(t-s)(α),tDq(t-s)(α)=[α]q(t-s)(α-1)；

3) (Dqfg)(t)=(Dqf)(t)g(t)+f(qt)(Dqg)(t)；

這里iDq表示與變量i有關(guān)的q-導(dǎo)數(shù).

性質(zhì)4[15]設(shè)α∈+,λ∈(-1,∞), 則

性質(zhì)5[15]設(shè)α∈+