王 泉，張金成，張納溫，呂方旭，王 鈺，陳可偉

（空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西 西安710051）

0 引 言

壓縮感知［1］針對(duì)稀疏信號(hào)或可壓縮信號(hào)，提出一種邊采樣邊壓縮得到一組觀測(cè)數(shù)據(jù)，而后根據(jù)信號(hào)在變換域上的稀疏特性將其精確重構(gòu)的信號(hào)處理思想，信號(hào)的稀疏表達(dá)是壓縮感知理論的基礎(chǔ)和前提，然而在數(shù)據(jù)壓縮采樣過程中引入的噪聲影響了信號(hào)在變換域上的稀疏特性，降低了信號(hào)重構(gòu)的準(zhǔn)確度，而一些抗噪重構(gòu)算法［2，3］增加了信號(hào)重構(gòu)的復(fù)雜度，存在計(jì)算量大的問題。本文研究信號(hào)重構(gòu)的過程，對(duì)傳統(tǒng)的傅里葉稀疏基進(jìn)行改進(jìn)，提出由對(duì)稱頻點(diǎn)原子構(gòu)成的傅里葉稀疏基，該稀疏基將傳統(tǒng)傅里葉基中的雙邊頻帶對(duì)稱頻點(diǎn)合二為一作為單獨(dú)的原子，提高信號(hào)重構(gòu)過程中原子匹配的精確度，減少稀疏基原子個(gè)數(shù)從而降低重構(gòu)信號(hào)過程中的運(yùn)算量。

在信號(hào)識(shí)別［4］和寬帶頻譜檢測(cè)［5，6］等應(yīng)用中，壓縮感 知也逐漸成為一個(gè)有力工具，基于壓縮感知的多頻帶信號(hào)頻譜測(cè)量的傳統(tǒng)方法是認(rèn)為信號(hào)在頻域仍是稀疏信號(hào)，通過傳統(tǒng)傅里葉稀疏基的壓縮重構(gòu)得到粗略的頻譜估計(jì)，然后通過小波邊緣檢測(cè)的方法得出頻譜信號(hào)的奇異點(diǎn)從而獲得各頻帶位置［7－9］。然而多頻帶信號(hào)在頻域中的稀疏度數(shù)值往往很大，在一定頻帶范圍均有較強(qiáng)能量分布，此時(shí)如果仍然采用傳統(tǒng)傅里葉基作為信號(hào)稀疏基，會(huì)給壓縮感知過程帶來很多困難：由于信號(hào)稀疏度的增加，重構(gòu)信號(hào)所需觀測(cè)值的數(shù)量必然增加，進(jìn)而使重構(gòu)算法迭代運(yùn)行時(shí)間增加；各種突發(fā)的隨機(jī)噪聲破壞了信號(hào)在頻域的稀疏性，并且給邊緣檢測(cè)造成了干擾，并且各頻帶形狀并不固定，這使得這種傳統(tǒng)的多頻帶信號(hào)頻譜測(cè)量方法性能降低。本文針對(duì)多頻帶信號(hào)在頻域內(nèi)呈帶狀分布的特征，提出一種傅里葉頻域子帶字典作為稀疏基來對(duì)多頻帶信號(hào)頻譜進(jìn)行壓縮重構(gòu)。

1 改進(jìn)傅里葉基下的多諧波稀疏信號(hào)壓縮感知

為將壓縮感知理論應(yīng)用于連續(xù)時(shí)間模擬信號(hào)的采樣過程中，Tropp等提出多諧波稀疏 （multi－tone sparse，MTS）信號(hào)模型［10］，該模型將連續(xù)時(shí)間模擬信號(hào)表征為有限維度的離散稀疏信號(hào)。對(duì)于MTS模型，信號(hào)由K 個(gè)頻率有界的諧波構(gòu)成，這是一種較為簡(jiǎn)單的信號(hào)稀疏模型，如式（2），其中 α0＝K。對(duì)MTS信號(hào)壓縮感知，采用傳統(tǒng)離散傅里葉變換基 （discrete fourier transform，DFT）作為稀疏變換基

下面我們給出壓縮感知中信號(hào)重構(gòu)的基本過程。在壓縮感知基本理論中，時(shí)域可壓縮信號(hào)x 通過觀測(cè)矩陣Φ ∈RM×N（M N）實(shí)現(xiàn)非適應(yīng)線性壓縮投影觀測(cè)

式中：矩陣Ψ∈RN×N即是信號(hào)x 的稀疏表示基，得到的線性投影觀測(cè)值y ∈RM×1包含了重構(gòu)信號(hào)的足夠信息，信號(hào)的重構(gòu)是利用y ∈RM×1以及信號(hào)x 的稀疏性先驗(yàn)條件恢復(fù)信號(hào)稀疏系數(shù)θ 的過程。目前常見的重構(gòu)算法有凸優(yōu)化算法和貪婪匹配算法兩大類，由于貪婪匹配算法具有算法復(fù)雜度低、實(shí)現(xiàn)容易的特點(diǎn)得到了更為廣泛的應(yīng)用。

貪婪匹配算法的核心思想是：從感知矩陣Acs＝Φ·Ψ中選擇與觀測(cè)向量最匹配的一組原子 （列向量）作為信號(hào)重構(gòu)的支撐集。而匹配原子的選擇是以原始觀測(cè)向量或殘差觀測(cè)向量跟感知矩陣所有原子的內(nèi)積大小為依據(jù)的，每次迭代將相關(guān)性最好 （內(nèi)積最大）的原子選入支撐集并更新殘差向量。式 （3）中λt是第t 次迭代所取的原子索引，rt－1是殘差向量，而aj代表感知矩陣Acs的每一個(gè)列向量

傳統(tǒng)離散傅里葉變換 （DFT）基是由頻域空間標(biāo)準(zhǔn)正交基I∈RN×N作IDFT 得到的復(fù)矩陣Ψf

由于傅里葉變換的共軛對(duì)稱性，MTS信號(hào)在傅里葉域中的頻譜圖應(yīng)為雙邊譜［11］，使用式 （4）中的傳統(tǒng)傅里葉基作為MTS信號(hào)稀疏基，在原子的選擇過程中將 “正頻域”與 “負(fù)頻域”割裂開來，容易使的稀疏表示失配并且易受信號(hào)噪聲的干擾。

本文結(jié)合傅里葉變換共軛對(duì)稱性這一特點(diǎn)，提出將傅里葉頻域?qū)ΨQ頻點(diǎn)合為一個(gè)原子的方法，得到改進(jìn)后的傅里葉稀疏基

改進(jìn)后的傅里葉稀疏基Ψf＿improve 具有以下優(yōu)點(diǎn)：①將傳統(tǒng)傅里葉稀疏基共軛頻點(diǎn)原子組合減少了稀疏基的原子個(gè)數(shù)，減少了信號(hào)重構(gòu)的計(jì)算量，同時(shí)依然保持稀疏基的完備性與正交性；②在原子選擇過程中，由于這種對(duì)稱性與實(shí)際相符，使得實(shí)際頻率在式 （2）中的結(jié)果比噪聲更有區(qū)分度，可以提高信號(hào)重構(gòu)的抗噪性能，同時(shí)避免了前面提到的稀疏表示失配問題。本文在第3節(jié)將對(duì)改進(jìn)傅里葉稀疏基和傳統(tǒng)傅里葉稀疏基在信號(hào)重構(gòu)性能方面做出對(duì)比分析。

2 基于頻域子帶字典的多頻帶信號(hào)頻譜測(cè)量

在無線通信系統(tǒng)中，一般使用多頻帶信號(hào)進(jìn)行信息傳輸。典型的多頻帶無線通信信號(hào)頻譜如圖1所示，信號(hào)在某個(gè)或幾個(gè)頻帶上具有較大幅值，并且?guī)拰挾扰c幅值可能各不相同，其中Bnyq代表奈奎斯特采樣帶寬。由于MTS信號(hào)模型要求所有諧波都非常精確地處于傅里葉網(wǎng)絡(luò)上，當(dāng)表示脫離傅里葉網(wǎng)格的頻率成分時(shí)，就會(huì)導(dǎo)致頻譜泄露，此時(shí)仍然使用傳統(tǒng)DFT 變換基作為稀疏基會(huì)引入較大的測(cè)量誤差。對(duì)此，本文提出了一種頻域子帶字典作為多頻帶信號(hào)的稀疏基，能夠有效地刻畫多頻帶信號(hào)頻譜分布特征。

圖1 多頻帶信號(hào)頻譜分布

傳統(tǒng)的多頻帶信號(hào)頻譜測(cè)量使用DFT 變換基作為信號(hào)稀疏基，由于在活動(dòng)頻帶內(nèi)頻譜較為密集，這大大增加了信號(hào)在DFT 基下的稀疏度，根據(jù)壓縮感知理論可知，信號(hào)稀疏度增加意味著重構(gòu)信號(hào)所需觀測(cè)值數(shù)量就越多［1］，同時(shí)，上文提到傳統(tǒng)DFT 稀疏基易受噪聲干擾的缺陷直接影響后續(xù)子頻帶邊緣檢測(cè)。考慮到傳統(tǒng)多頻帶信號(hào)頻譜測(cè)量方法的種種不足，本文將所探測(cè)頻譜范圍劃分成互不重疊、兩兩相鄰的若干個(gè)頻譜子帶，將每個(gè)子帶作為一個(gè)原子，所有子帶構(gòu)成多頻帶信號(hào)的稀疏表示基，即頻域子帶字典，如圖2所示。

圖2 頻譜子帶劃分

根據(jù)待測(cè)量信號(hào)頻帶寬度和頻譜測(cè)量精度的要求選擇合適的子帶寬度，假設(shè)頻域子帶字典原子頻寬為τ，則各原子bi可表示為

式中：gτ（f）——寬度為τ的頻域門函數(shù)，由于各原子互不重疊，則滿足

將各子帶聯(lián)合B ＝［b1，b2，…，bL］并作IDFT 變換即可得到頻域子帶字典Ψband如式 （8），L 代表字典原子的個(gè)數(shù)，即子頻帶數(shù)量L ＝Bnyq／2τ。由式 （7）可知，頻域子帶之間是兩兩正交的，考慮到離散傅里葉變換 （DFT）及其逆變換 （IDFT）均為正交變換，所以Ψband滿足壓縮感知規(guī)定的信號(hào)稀疏基的正交性要求

使用頻域子帶字典是對(duì)多頻帶信號(hào)的近似表征，隨著子帶寬度τ的減小，刻畫信號(hào)頻譜細(xì)節(jié)的能力越強(qiáng)。當(dāng)τ→0時(shí)，頻域門函數(shù)gτ（f）→δ（f），頻域子帶字典原子相當(dāng)于一對(duì)共軛傅里葉頻點(diǎn)，而頻域子帶字典退化為第1節(jié)中的改進(jìn)傅里葉基，如式 （9）所示。此時(shí)，各原子之間仍然滿足式 （7），即各子帶原子之間仍然正交

假設(shè)待觀測(cè)信號(hào)頻譜分布為X（f），使用頻域子帶字典對(duì)其近似刻畫，如式 （10）所示，其中θi為子帶bi的系數(shù)，θ即為子帶系數(shù)向量，并且 θ0＝K（K N），K 為信號(hào)在頻域子帶字典下的稀疏度

考 慮 到 時(shí) 域 信 號(hào)X（n）＝IDFT［X（f）］，并 將 式（10）、式 （8）代入得到

感知過程中對(duì)一個(gè)檢測(cè)周期內(nèi)X（t）的N×1維離散形式X（n）進(jìn)行觀測(cè)，得到的觀測(cè)值y 與子帶稀疏向量θ 有如下關(guān)系

根據(jù)壓縮感知重構(gòu)過程，通過觀測(cè)值y 與感知矩陣A ＝Φ·Ψband求解子帶稀疏向量θ，再根據(jù)式 （10）完成對(duì)信號(hào)頻譜分布的測(cè)量。仿真實(shí)驗(yàn)中，選取隨機(jī)高斯矩陣作為觀測(cè)矩陣，計(jì)算其與頻域子帶稀疏基的相關(guān)系數(shù)u（Φ，Ψband），經(jīng)計(jì)算得，u（Φ，Ψband）＜0.23，滿足精確重構(gòu)的要求［12］。

至此，給出了頻域子帶字典的構(gòu)造方法以及使用壓縮感知對(duì)多頻帶信號(hào)進(jìn)行頻譜測(cè)量的過程，在第3節(jié)中將與傳統(tǒng)的多頻帶信號(hào)頻譜測(cè)量方法在抗噪性能及運(yùn)算效能上做出對(duì)比分析。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

3.1 改進(jìn)傅里葉基在多諧波信號(hào)重構(gòu)中的性能分析

本文以無噪及含噪一維多諧波信號(hào)的壓縮感知重建過程來驗(yàn)證本文提出的改進(jìn)傅里葉基的性能。實(shí)驗(yàn)統(tǒng)一選用高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣作為壓縮感知觀測(cè)矩陣、正交匹配追蹤算法 （OMP）作為信號(hào)恢復(fù)算法。性能從準(zhǔn)確重構(gòu)概率、相對(duì)誤差、信噪比對(duì)重構(gòu)性能影響等方面與傳統(tǒng)離散傅里葉 （DFT）基進(jìn)行比較分析。

實(shí)驗(yàn)1：無噪諧波信號(hào)的壓縮感知重構(gòu)，實(shí)驗(yàn)選取10個(gè)諧波信號(hào)疊加，信號(hào)長(zhǎng)度N＝1000，規(guī)定無噪信號(hào)精確重構(gòu)條件是恢復(fù)時(shí)域信號(hào)相對(duì)誤差小于10－5，相對(duì)誤差定義如式（13），其中x表示原始時(shí)域信號(hào)，表示恢復(fù)時(shí)域信號(hào)

在不同壓縮比CSR 下，重復(fù)仿真500次分別統(tǒng)計(jì)傳統(tǒng)DFT 稀疏基與改進(jìn)DFT 稀疏基精確重構(gòu)信號(hào)成功率，如圖3所示?？梢钥闯?，隨著壓縮采樣比CSR 的提高，兩種稀疏基的精確重構(gòu)概率均相應(yīng)增加，而在同一壓縮采樣比CSR 下，使用改進(jìn)DFT 稀疏基相對(duì)傳統(tǒng)DFT 稀疏基有更高的精確重構(gòu)概率。

實(shí)驗(yàn)2：取壓縮采樣比CSR＝0.3，逐漸增加疊加信號(hào)的個(gè)數(shù)，其它條件同實(shí)驗(yàn)1一致，對(duì)比分析在不同稀疏度下兩種稀疏基恢復(fù)時(shí)域信號(hào)的相對(duì)誤差，結(jié)果見表1。

可以看出，隨著諧波個(gè)數(shù)的增加，傳統(tǒng)DFT 稀疏基與趕緊DFT 稀疏基時(shí)域重構(gòu)信號(hào)相對(duì)誤差均成上升趨勢(shì)，而在同等諧波個(gè)數(shù)條件下，改進(jìn)DFT 有更小的相對(duì)誤差。

圖3 改進(jìn)傅里葉稀疏基精確重構(gòu)信號(hào)成功率

表1 時(shí)域信號(hào)重構(gòu)相對(duì)誤差對(duì)比分析

實(shí)驗(yàn)3：在實(shí)際應(yīng)用中，采樣信號(hào)往往含有噪聲，本實(shí)驗(yàn)對(duì)含噪諧波信號(hào)進(jìn)行壓縮重構(gòu)仿真，以重構(gòu)誤差及重構(gòu)信號(hào)信噪比為參考對(duì)傳統(tǒng)DFT 稀疏基與改進(jìn)DFT 稀疏基的抗噪性能進(jìn)行比較。仿真條件：原始信號(hào)由10個(gè)不同頻率諧波疊加，信噪比從4dB～50dB變化，在不同信噪比條件下重復(fù)500次壓縮重構(gòu)過程，統(tǒng)計(jì)使用兩個(gè)稀疏基恢復(fù)信號(hào)的信噪比與重構(gòu)誤差，結(jié)果如圖4、圖5所示。

圖4 含噪信號(hào)時(shí)域重構(gòu)相對(duì)誤差

從圖4、圖5可以看出，隨著輸入信號(hào)信噪比的提高，兩種稀疏基重構(gòu)效果都有所提升，但在同等信噪比條件下，改進(jìn)DFT 稀疏基的重構(gòu)效果更好，尤其在信噪比較低時(shí)，改進(jìn)DFT 的優(yōu)勢(shì)更為明顯，比較表1與圖4中的信號(hào)重構(gòu)相對(duì)誤差可以發(fā)現(xiàn)，含噪信號(hào)重構(gòu)誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于無噪信號(hào)的重構(gòu)誤差，這是因?yàn)樵谛盘?hào)重構(gòu)過程中僅將頻域中模值較大的稀疏分量找到并恢復(fù)，而由噪聲引入的其它頻譜信息則被濾除，所以使得時(shí)域信號(hào)的重構(gòu)誤差大大增加。圖5表明信號(hào)在重構(gòu)后信噪比得到了相應(yīng)提升，這也是由于重構(gòu)過程中濾除了噪聲的頻率成分的作用結(jié)果。

圖5 含噪信號(hào)時(shí)域重構(gòu)信噪比

3.2 頻域子帶字典在多頻帶信號(hào)頻譜測(cè)量中的性能分析

本節(jié)以含噪多頻帶信號(hào)為測(cè)試對(duì)象，分別從頻譜重構(gòu)性能及頻帶檢測(cè)性能上對(duì)比分析傳統(tǒng)多頻帶信號(hào)頻譜檢測(cè)方法與頻域子帶字典檢測(cè)方法。

實(shí)驗(yàn)1：不同信噪比條件下頻域重構(gòu)性能對(duì)比。實(shí)驗(yàn)條件：設(shè)多頻帶信號(hào)長(zhǎng)度為N＝1000，總頻寬為B ＝（N／2）×Δf＝500Δf（其中Δf為譜分辨率），壓縮采樣比CSR＝M／N＝0.4，頻域上共有3個(gè)互不重疊的頻帶，并且能量、形狀、寬度各不相同，另外該多頻帶信號(hào)上還存在一定能量變化的背景高斯噪聲。圖6為在信噪比為87dB 時(shí)兩種方法的重構(gòu)結(jié)果對(duì)比，自上而下是原始信號(hào)頻譜、DFT 稀疏基下的頻域重構(gòu)結(jié)果、小波邊緣檢測(cè)、基于頻域子帶字典的頻譜重構(gòu)。

圖6 SNR＝62dB時(shí)多頻帶信號(hào)頻譜檢測(cè)結(jié)果

圖6可以看出對(duì)于 “矩形”頻帶，小波邊緣檢測(cè)與頻域子帶字典的檢測(cè)結(jié)果都較好，而 “拱形”與 “三角形”的頻帶，使用小波邊緣檢測(cè)的結(jié)果較差，不能得到明顯的頻帶界限，而使用頻域子帶字典重構(gòu)得到的頻譜信息較為準(zhǔn)確地反映了原始信號(hào)的頻譜分布，（再加一些原因分析）。

圖7、圖8分別為信噪比為30dB、12dB 時(shí)信號(hào)頻域恢復(fù)結(jié)果對(duì)比，可以看出，小波邊緣檢測(cè)方法性能下滑迅速，已經(jīng)不能正確檢測(cè) “矩形”頻帶的奇異點(diǎn)，這是因?yàn)樵肼晣?yán)重影響了信號(hào)在DFT 稀疏基下的稀疏度，使得重構(gòu)算法引入了很多錯(cuò)誤的頻率成分；基于頻域子帶稀疏基的重構(gòu)方法在噪聲的干擾下也收到了一定程度的干擾，對(duì)頻譜幅度與頻帶寬度的測(cè)量精度下降，但原始信號(hào)的3個(gè)主頻帶還是能夠清晰的顯示，這是因?yàn)樵谥貥?gòu)過程，各原子包含一定個(gè)數(shù)的頻率成分，使得在原子選擇過程中相關(guān)性更強(qiáng)，更能與隨機(jī)噪聲區(qū)分開。所以，基于頻域子帶字典的頻譜重構(gòu)方法能夠適應(yīng)不同形狀的頻帶并且具有更好的抗噪性能，同時(shí)，多頻帶信號(hào)在DFT 稀疏基下的稀疏度估計(jì)一直是該方法的應(yīng)用瓶頸［13］，稀疏度易受噪聲影響的特點(diǎn)使得一些自適應(yīng)稀疏度估計(jì)方法失效，而本文提出的方法使用殘余能量作為停止迭代門限自適應(yīng)估計(jì)多頻帶信號(hào)在子帶字典中的稀疏度并取得了很好的重構(gòu)效果。

基于頻域子帶字典的壓縮頻譜測(cè)量首先獲得寬帶信號(hào)的子帶稀疏向量θ，然后通過式 （10）進(jìn)一步求取信號(hào)的功率譜密度，按照式 （13）分別求取在不同信噪比條件下兩種方法對(duì)寬帶信號(hào)功率譜恢復(fù)的相對(duì)誤差，結(jié)果見表2。

能夠看出，基于頻域子帶字典的頻譜測(cè)量方法在信號(hào)功率譜恢復(fù)精度上相比于傳統(tǒng)小波邊緣檢測(cè)方法存在較大優(yōu)勢(shì)，這是由于小波邊緣檢測(cè)方法對(duì)信號(hào)在離散傅里葉基下的稀疏度估計(jì)受噪聲影響嚴(yán)重，過多的錯(cuò)誤原子使得恢復(fù)信號(hào)的頻譜結(jié)構(gòu)與真實(shí)情況不符，而基于頻域子帶字典的頻譜測(cè)量方法通過子帶原子與觀測(cè)量向量的相關(guān)累計(jì)，能夠減少錯(cuò)誤頻率成分入選稀疏向量的概率。

圖7 SNR＝30dB時(shí)多頻帶信號(hào)頻譜檢測(cè)結(jié)果

圖8 SNR＝12dB時(shí)多頻帶信號(hào)頻譜檢測(cè)結(jié)果

表2 寬帶信號(hào)功率譜恢復(fù)相對(duì)誤差對(duì)比分析

實(shí)驗(yàn)2：不同信噪比下頻帶檢測(cè)概率對(duì)比。實(shí)驗(yàn)條件：設(shè)多頻帶信號(hào)長(zhǎng)度為N＝1000，總頻寬為B＝（N／2）×Δf＝500Δf，（其中Δf 為譜分辨率），壓縮采樣比CSR＝0.4，頻域上共有10個(gè)互不重疊的 “矩形”頻帶，每個(gè)頻帶帶寬為5Δf，信噪比由0～100dB 變化。通過蒙特卡洛仿真，每個(gè)信噪比下統(tǒng)計(jì)次數(shù)500次，得出不同算法下所有頻帶全部正確檢測(cè)的概率如圖9所示。

圖9 多頻帶信號(hào)頻帶正確檢測(cè)概率

由圖9可以看出本文提出的基于頻域子帶字典的頻譜測(cè)量方法的檢測(cè)概率明顯大于傳統(tǒng)的基于DFT 稀疏基的小波邊緣檢測(cè)方法，尤其在低信噪比時(shí)，本文的方法更為有效。

4 結(jié)束語(yǔ)

研究了壓縮感知在信號(hào)頻譜測(cè)量中的應(yīng)用，針對(duì)多諧波信號(hào)與多頻帶信號(hào)分別提出改進(jìn)DFT 稀疏基和頻域子帶字典，使用改進(jìn)DFT 基對(duì)多諧波信號(hào)進(jìn)行壓縮重構(gòu)可以得到更為精確地時(shí)域信號(hào)恢復(fù)，在相同信噪比條件下重構(gòu)信號(hào)信噪比更高。使用頻域子帶稀疏基對(duì)多頻帶信號(hào)進(jìn)行頻譜測(cè)量，可以準(zhǔn)確給出各頻帶的位置和幅值，且在低信噪比條件下與小波邊緣檢測(cè)方法相比有更好的抗噪性，算法簡(jiǎn)單而且能夠?qū)崿F(xiàn)稀疏度的自適應(yīng)處理，具有一定的應(yīng)用價(jià)值。

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