徐 敏 黃沛霖 燕 瑛

(北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京100191)

李五洲

(陸軍航空兵學(xué)院 訓(xùn)練部，北京101116)

在概念設(shè)計(jì)階段，飛機(jī)總體外形通常需要多輪迭代才能確定.為有效提高總體設(shè)計(jì)效率，遺傳算法、粒子群算法等多目標(biāo)優(yōu)化方法都被引入飛機(jī)總體優(yōu)化設(shè)計(jì)中[1－3].

與單目標(biāo)優(yōu)化方法唯一的最優(yōu)解相比，多目標(biāo)優(yōu)化方法能夠獲得一組非劣解，可以通過(guò)對(duì)所有設(shè)計(jì)目標(biāo)同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化，來(lái)尋找各種滿足設(shè)計(jì)目標(biāo)與約束條件的設(shè)計(jì)方案[4].飛機(jī)總體設(shè)計(jì)方案涉及氣動(dòng)、隱身、結(jié)構(gòu)及重量等多個(gè)學(xué)科中的多個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)，采用多目標(biāo)優(yōu)化方法尋找多個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)均較優(yōu)的折衷優(yōu)化方案，是飛機(jī)總體方案設(shè)計(jì)過(guò)程的一個(gè)重要環(huán)節(jié).

在多目標(biāo)優(yōu)化方法中，重點(diǎn)在面向多個(gè)目標(biāo)的快速尋優(yōu)方法，其關(guān)鍵問(wèn)題在于多目標(biāo)方案的優(yōu)劣評(píng)價(jià).對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題來(lái)講，盡可能多的目標(biāo)達(dá)到或接近最優(yōu)是優(yōu)化目的[5]，因此對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化方向加以引導(dǎo)使所有目標(biāo)均接近最優(yōu)并提高多目標(biāo)優(yōu)化效率是多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題值得研究的一個(gè)方面.

本文針對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的多個(gè)目標(biāo)均衡尋優(yōu)問(wèn)題，提出了基于動(dòng)態(tài)指標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化方法，通過(guò)對(duì)多目標(biāo)遺傳算法(MOGA，Multi-Objective Genetic Algorithm)的尋優(yōu)過(guò)程進(jìn)行改進(jìn)，研究了優(yōu)化過(guò)程中快速接近目標(biāo)Pareto前沿的可行方法，并以飛機(jī)總體方案設(shè)計(jì)優(yōu)化實(shí)例中的應(yīng)用對(duì)本文方法進(jìn)行了驗(yàn)證.

1 動(dòng)態(tài)指標(biāo)

對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，設(shè)計(jì)者期望所有目標(biāo)值都能達(dá)到最優(yōu).但是由于往往多個(gè)目標(biāo)所屬的不同學(xué)科之間會(huì)存在制約甚至矛盾，使得所有目標(biāo)很難同時(shí)達(dá)到最優(yōu)[6].因此通常多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題往往需要在多個(gè)目標(biāo)之間尋求一種折衷，即保證主要目標(biāo)盡可能最優(yōu)，而其余目標(biāo)盡可能接近最優(yōu)，而不能有某個(gè)目標(biāo)較差影響整體性能.但實(shí)際上，優(yōu)化結(jié)果中某個(gè)目標(biāo)最優(yōu)而另一個(gè)目標(biāo)很差這樣的非劣解存在的可能性是非常大的，而這樣的非劣解是違背了多目標(biāo)優(yōu)化的初衷的，必須在優(yōu)化過(guò)程中予以嚴(yán)格控制，并盡量避免優(yōu)化方向偏向這些不理想的非劣解.

在優(yōu)化過(guò)程中，大量非劣解的存在也使得優(yōu)化搜索方向多元化，導(dǎo)致尋優(yōu)效率較低.基于排序的多目標(biāo)遺傳算法(NSGA，Non-dominated Sorting Genetic Algorithm)是通過(guò)對(duì)每一代種群中的個(gè)體進(jìn)行Pareto排序，不斷篩選出支配解(即最優(yōu)解)和非支配解(即非劣解)，逐步逼近最優(yōu)解或最優(yōu)解集.而基于矢量評(píng)價(jià)的多目標(biāo)遺傳算法(VEGA，Vector Evaluated Genetic Algorithm)是通過(guò)分別以每個(gè)目標(biāo)作為評(píng)價(jià)準(zhǔn)則來(lái)產(chǎn)生組合的新個(gè)體種群，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)所有優(yōu)化目標(biāo)的逼近搜索[7].

1.1 基準(zhǔn)指標(biāo)

為解決搜索效率問(wèn)題，并避免不理想的非劣解出現(xiàn)，本文引入基準(zhǔn)指標(biāo)概念，對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化模型中的適應(yīng)度模型進(jìn)行改進(jìn).基準(zhǔn)指標(biāo)，是指在多目標(biāo)方案優(yōu)化中被設(shè)置為目標(biāo)評(píng)價(jià)基準(zhǔn)的一組目標(biāo)值.作為評(píng)價(jià)新方案目標(biāo)優(yōu)劣的基準(zhǔn)指標(biāo)，在優(yōu)化過(guò)程中所有新生成方案均通過(guò)與該基準(zhǔn)的比較結(jié)果大小進(jìn)行優(yōu)劣評(píng)價(jià)，并根據(jù)評(píng)價(jià)結(jié)果確定新方案的適應(yīng)度，從而以適應(yīng)度大小影響優(yōu)化方向.

基準(zhǔn)指標(biāo)的基本思想是立足于設(shè)計(jì)指標(biāo)，構(gòu)建一個(gè)所有新方案的比較評(píng)價(jià)基準(zhǔn).基準(zhǔn)指標(biāo)是由作為基準(zhǔn)的所有目標(biāo)構(gòu)成的一個(gè)指標(biāo)集合，該指標(biāo)集合并不一定對(duì)應(yīng)一個(gè)具體的真實(shí)的設(shè)計(jì)方案，而只是代表著設(shè)計(jì)方案能夠達(dá)到的一種可能性.模型在所有目標(biāo)方面均具有較優(yōu)指標(biāo)，以這些指標(biāo)作為新生成方案的比較基準(zhǔn)，可以在較高的起點(diǎn)上篩選新方案.同時(shí)，由于新方案只與作為基準(zhǔn)指標(biāo)的方案進(jìn)行比較而不必再進(jìn)行所有方案兩兩比較，可以節(jié)約優(yōu)化時(shí)間，從而更快地進(jìn)行方案的優(yōu)化方向搜索以及非劣方案篩選.

1.2 基于基準(zhǔn)指標(biāo)的動(dòng)態(tài)指標(biāo)

為保證基準(zhǔn)指標(biāo)總是優(yōu)于新生成的設(shè)計(jì)方案，必須對(duì)其進(jìn)行不斷的更新，為此引入了動(dòng)態(tài)指標(biāo)概念.

動(dòng)態(tài)指標(biāo)是指在優(yōu)化過(guò)程中，不斷由新生成方案的各單項(xiàng)目標(biāo)的更優(yōu)值進(jìn)行更新的基準(zhǔn)指標(biāo).每一輪優(yōu)化迭代中，由新產(chǎn)生方案的單獨(dú)目標(biāo)值中高于基準(zhǔn)指標(biāo)的最大值對(duì)基準(zhǔn)指標(biāo)進(jìn)行對(duì)應(yīng)更新，從而保證基準(zhǔn)指標(biāo)始終為所有方案中指標(biāo)最優(yōu)的.動(dòng)態(tài)更新的基準(zhǔn)指標(biāo)模擬了多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題可能達(dá)到的最優(yōu)解，而新方案不斷逼近基準(zhǔn)指標(biāo)的過(guò)程也就是優(yōu)化逐步逼近最優(yōu)解的過(guò)程，從而可以引導(dǎo)優(yōu)化搜索方向，提高優(yōu)化效率.

2 動(dòng)態(tài)指標(biāo)改進(jìn)的MOGA

2.1 改進(jìn)的多目標(biāo)遺傳算法

在多目標(biāo)遺傳算法中引入動(dòng)態(tài)指標(biāo)，作為個(gè)體適應(yīng)度的評(píng)價(jià)依據(jù)，形成基于動(dòng)態(tài)指標(biāo)改進(jìn)的多目標(biāo)遺傳算法(DIMOGA，Dynamic Index based MOGA).通過(guò)個(gè)體目標(biāo)向量與動(dòng)態(tài)指標(biāo)向量之間的歐氏距離大小來(lái)計(jì)算個(gè)體適應(yīng)度，衡量個(gè)體的優(yōu)劣.這樣做的優(yōu)點(diǎn)有兩條:一是個(gè)體適應(yīng)度的意義更為明確，即個(gè)體距離最優(yōu)解的差距程度的衡量標(biāo)準(zhǔn);二是能夠避免畸形非劣解對(duì)優(yōu)化尋優(yōu)進(jìn)程的干擾，即目標(biāo)值極優(yōu)與極差同時(shí)存在的解將因?yàn)榫嚯x基準(zhǔn)指標(biāo)較大而導(dǎo)致適應(yīng)度較小，從而降低參與優(yōu)化的概率.

基于動(dòng)態(tài)指標(biāo)改進(jìn)的多目標(biāo)優(yōu)化遺傳算法流程如圖1所示，其基本步驟如下:

1)設(shè)置初始種群數(shù)量為N，根據(jù)待優(yōu)化各目標(biāo)可能達(dá)到的水平合理地設(shè)置初始基準(zhǔn)指標(biāo)(m為優(yōu)化目標(biāo)數(shù)).

2)計(jì)算種群中所有個(gè)體的目標(biāo)向量ui(x)(i=1，2，…，N)，由當(dāng)前種群中最佳的一組目標(biāo)值構(gòu)成當(dāng)前最優(yōu)解向量u*，并判斷u*是否具備更新基準(zhǔn)指標(biāo)的條件:若 u*存在單個(gè)目標(biāo)值大于基準(zhǔn)指標(biāo)中對(duì)應(yīng)的目標(biāo)值的，則將更新為，否則不更新.

按照距離從小到大排序，距離最小個(gè)體目標(biāo)向量x'是個(gè)體中最接近最優(yōu)個(gè)體的，該個(gè)體作為精英直接進(jìn)入下一代種群，同時(shí)保存進(jìn)入精英池中作為最優(yōu)解的備選.

4)為保證非劣解集的規(guī)模足夠大，選擇位于排序隊(duì)列中前10%的個(gè)體補(bǔ)充進(jìn)精英池中，同時(shí)對(duì)精英池中個(gè)體進(jìn)行優(yōu)劣比較，刪除劣解，保留非劣解.

5)判斷是否滿足停止條件，一般設(shè)置停止條件為達(dá)到規(guī)定的遺傳代數(shù)，達(dá)到條件則停止迭代，否則繼續(xù)執(zhí)行優(yōu)化迭代.

6)根據(jù)個(gè)體與基準(zhǔn)指標(biāo)的歐氏距離Di計(jì)算個(gè)體的適應(yīng)度:

由式(2)可以看出，歐氏距離越小，則分母越小，適應(yīng)度越大.

7)采用小生境技術(shù)[8]對(duì)適應(yīng)度進(jìn)行改造，保證種群多樣性.將共享函數(shù)引入個(gè)體適應(yīng)值，對(duì)群體中聚積成小塊的個(gè)體可以通過(guò)施加共享函數(shù)進(jìn)行懲罰，使其適應(yīng)值減小，從而使群體相具有良好分布特性的方向進(jìn)化.具體而言，通過(guò)先設(shè)置一個(gè)小生境半徑，計(jì)算每一個(gè)個(gè)體附近的小生境數(shù)，然后用小生境數(shù)對(duì)個(gè)體的適應(yīng)度進(jìn)行改造，實(shí)際上就是降低該個(gè)體的適應(yīng)度，使之遺傳進(jìn)入下一代的概率降低，從而控制該小生境的繁衍規(guī)模.

8)對(duì)剩余的個(gè)體執(zhí)行遺傳操作:選擇、交叉和變異.采取隨機(jī)性選擇策略輪盤賭方法，交叉和變異均采用均勻性交叉和變異方法，保證種群數(shù)量維持不變并生成新的種群.

9)轉(zhuǎn)至第2)步.

圖1 基于動(dòng)態(tài)指標(biāo)改進(jìn)的多目標(biāo)遺傳算法流程圖

2.2 DIMOGA性能分析

為研究動(dòng)態(tài)指標(biāo)(DI，Dynamic Index)對(duì)MOGA的改進(jìn)效果，分別采用DIMOGA和不采用動(dòng)態(tài)指標(biāo)的MOGA對(duì)某輕型戰(zhàn)斗機(jī)概念設(shè)計(jì)方案進(jìn)行了重量和氣動(dòng)兩個(gè)學(xué)科的雙目標(biāo)優(yōu)化.優(yōu)化目標(biāo)為保持載荷不變的情況下降低飛機(jī)起飛總重WTO，同時(shí)提高飛機(jī)的升阻比K.

在遺傳操作相同的情況下，種群規(guī)模為30個(gè)體、遺傳20代之后的優(yōu)化結(jié)果對(duì)比如圖2所示，其中為保持優(yōu)化方向一致，重量目標(biāo)取為負(fù)值.從圖2中可以看到，經(jīng)過(guò)DI改進(jìn)的多目標(biāo)遺傳算法比改進(jìn)前擁有更優(yōu)的Pareto前沿.而圖3表明隨著種群數(shù)量的增加，DIMOGA的優(yōu)化結(jié)果向著更優(yōu)的Pareto前沿在移動(dòng).在硬件資源允許并且計(jì)算時(shí)間在合理范圍的情況下，適當(dāng)增加種群規(guī)模是可以有效提升優(yōu)化能力的.

通過(guò)上面的分析可以看到，采用動(dòng)態(tài)指標(biāo)后，優(yōu)化的重點(diǎn)逐漸向接近所有目標(biāo)最優(yōu)的方向進(jìn)行，配合精英保存、小生境等操作，使得算法在保持遺傳算法固有的全局搜索能力的基礎(chǔ)上，增大了對(duì)多目標(biāo)最優(yōu)解的搜索力度，能夠促使優(yōu)化較快地向較高水平的Pareto前沿移動(dòng).

圖2 經(jīng)過(guò)20代后DIMOGA與MOGA優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

圖3 種群數(shù)量分別10，20和30代的DIMOGA優(yōu)化結(jié)果

3 飛機(jī)概念方案多目標(biāo)優(yōu)化實(shí)例

輕型戰(zhàn)斗機(jī)概念設(shè)計(jì)方案LF是以輕型多用途、中空高機(jī)動(dòng)性為設(shè)計(jì)目標(biāo)的假想方案，因此方案的優(yōu)化目標(biāo)主要有氣動(dòng)、隱身及重量等學(xué)科，其中氣動(dòng)目標(biāo)主要考慮巡航升阻比，隱身目標(biāo)主要考慮頭向和地面雷達(dá)威脅的因素，而重量目標(biāo)主要考慮飛機(jī)的起飛總重.幾個(gè)學(xué)科的目標(biāo)對(duì)飛機(jī)方案本身都具有較為重要的意義，巡航升阻比影響航程、機(jī)動(dòng)性能，隱身指標(biāo)決定了飛機(jī)的生存力，而重量指標(biāo)決定了載荷攜帶能力.由于飛機(jī)方案的主要設(shè)計(jì)參數(shù)即機(jī)翼的幾何外形參數(shù)與上述指標(biāo)都有密切的關(guān)聯(lián)，因此對(duì)機(jī)翼的主要設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化是獲取最佳設(shè)計(jì)方案的較好途徑.

設(shè)置LF方案的具體優(yōu)化目標(biāo)為:在氣動(dòng)特性上，提高巡航(Ma=0.80)升阻比K;在隱身特性上降低頭向±30°角域范圍內(nèi)的RCS算術(shù)平均值 A±30，同時(shí)降低側(cè)向方位角位于 60°～120°范圍內(nèi)RCS算術(shù)平均值A(chǔ)60～120;在重量特性上保持載荷不變的情況下降低飛機(jī)起飛總重WTO.作為示例，優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量?jī)H選擇機(jī)翼的設(shè)計(jì)參數(shù)，主要包括機(jī)翼內(nèi)翼段的前緣后掠角、翼段長(zhǎng)、根弦長(zhǎng)以及外翼段的前緣后掠角和翼段長(zhǎng)共計(jì)5個(gè)外形參數(shù).優(yōu)化的主要約束條件為機(jī)翼面積不變.機(jī)翼的后緣后(前)掠角由機(jī)翼面積和其他設(shè)計(jì)參數(shù)共同決定.LF方案初始外形如圖4所示.

圖4 輕型戰(zhàn)斗機(jī)方案初始外形示意圖

采用了DIMOGA方法進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，遺傳操作分別采用了輪盤賭選擇法、算術(shù)交叉法以及均勻變異法.為了提高優(yōu)化解集的多樣性，設(shè)置了較高的交叉及變異概率，具體為選擇概率0.15，交叉概率 0.60，變異概率 0.25.種群規(guī)模為 30，考慮整機(jī)RCS計(jì)算所需時(shí)間較長(zhǎng)，出于節(jié)省時(shí)間的考慮本算例設(shè)置最大進(jìn)化代數(shù)為30.

優(yōu)化所得非劣解集經(jīng)過(guò)歸一化后采取雷達(dá)圖形式表示如圖5所示，每一個(gè)非劣解按照各自的歸一化數(shù)值分布在同一射線上，其中升阻比K為越大越優(yōu)，頭向RCS均值A(chǔ)±30由于為負(fù)值經(jīng)正規(guī)化亦為越大越優(yōu)，而起飛總重WTO與側(cè)向RCS均值A(chǔ)60～120則為越小越優(yōu).

圖5 以雷達(dá)圖表示的DIMOGA優(yōu)化所得非劣解集

可以看到非劣解集中僅有少數(shù)解存在個(gè)別目標(biāo)值較差的情況，而大多數(shù)非劣解都具有相對(duì)均衡的目標(biāo)值，選取其中部分典型結(jié)果列于表1中.與初始方案比較可以看到，優(yōu)化結(jié)果除了側(cè)向RCS平均值指標(biāo)受機(jī)翼外形變化影響較小而沒(méi)有提升，其他目標(biāo)均有較大幅度提升.選取兩種典型方案如圖6所示.

表1 LF初始值與部分優(yōu)化結(jié)果

圖6 LF優(yōu)化后兩種方案外形示意圖

4 結(jié)論

對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化中的搜索效率及消除畸形非劣解問(wèn)題進(jìn)行了研究，引入了動(dòng)態(tài)指標(biāo)對(duì)多目標(biāo)遺傳算法的適應(yīng)度模型進(jìn)行了改造，建立了基于動(dòng)態(tài)指標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化方法，經(jīng)過(guò)實(shí)例驗(yàn)證了該方法在快速搜索Pareto前沿能力方面有了較大提高.采用該方法對(duì)一種輕型戰(zhàn)斗機(jī)概念方案進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，結(jié)果表明該方法能夠應(yīng)用于具有氣動(dòng)、重量及隱身等多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的飛機(jī)概念方案優(yōu)化設(shè)計(jì)中，優(yōu)化所得的非劣解各目標(biāo)均衡，基本上避免了個(gè)別目標(biāo)值較差非劣解的出現(xiàn).由于新方法更加注重對(duì)最優(yōu)解的優(yōu)化搜索方向，在解的均勻性及總體數(shù)量上還存在不足，是下一步要解決的問(wèn)題.

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