彭 麗， 丁 虎， 陳立群,3

(1. 上海大學 上海市應用數(shù)學和力學研究所，上海 200072；2. 上海師范大學 建筑工程學院，上海 201418；3. 上海大學 力學系，上海 200444)

彈性地基梁作為很多工程元件的模型，如公路、跑道、鐵路、輸油管道等，其振動特性一直是科學以及工程應用中廣受關(guān)注的問題[1-3]。

Wang等[4]通過分離變量方法研究了多種經(jīng)典邊界下的橫向振動固有頻率，研究發(fā)現(xiàn)，計入了剪切模量影響的Pasternak型基礎梁的頻率要大于Winkler基礎梁的頻率。Tsiatas[5]通過線性加立方非線性剛度的地基梁響應，比較了Pasternak地基梁模型和Winkler地基梁模型，研究發(fā)現(xiàn)，梁的響應對Pasternak地基參數(shù)非常敏感。上述研究均基于彈性基礎梁并未考慮工程實際中的阻尼因素的影響。?alIm[6]通過無限長黏彈性Pasternak地基梁模型，研究了集中脈沖激勵下基礎梁的動力學響應，發(fā)現(xiàn)地基中的黏性影響顯著。截至目前，對于有限長黏彈性Pasternak地基梁模型的研究工作還很少，且已有的研究方法主要局限于采用假設模態(tài)的Galerkin截斷或者有限元仿真等數(shù)值方法分析，缺少解析或者近似解析的研究工作。復模態(tài)解析方法可有效解決黏彈性系統(tǒng)的振動問題，在有阻尼離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)振動問題中應用已較廣泛[7-9]。本文將該解析方法推廣至地基梁的研究，分析不同邊界條件的黏彈性Pasternak地基梁的橫向自由振動特性。

本文將復模態(tài)方法推廣至地基梁系統(tǒng)的振動分析中。運用復模態(tài)方法近似分析黏彈性Pasternak地基梁在不同邊界條件下的振動特性。通過具體算例，分析了剛度、黏性系數(shù)等對固有頻率和模態(tài)函數(shù)的影響。但復模態(tài)方法得到的頻率方程是以超越方程形式表達的，需要通過數(shù)值方法求解，其精度也需要進一步驗證。微分求積法作為一種數(shù)值求解方法，已成功應用于連續(xù)梁的振動特性數(shù)值分析，計算結(jié)果表明，這種方法具有明顯的高精度和低耗時[10-11]。本文用微分求積法得到的數(shù)值解驗證了復模態(tài)的近似解析解。

1 振動控制方程

黏彈性Pasternak地基梁的物理模型如圖1所示。

其振動控制方程為：

(1)

式中：ρA為單位長度梁的質(zhì)量，EI為梁的剛度，k1為彈性模量，k2為剪切模量，c為地基黏性系數(shù)。

圖1 黏彈性Pasternak地基梁模型

取無量綱化變量和參數(shù)

(2)

式中:l和ρ分別表示地基梁的長度和密度，x和t分別表示空間和時間坐標。kf、k1、k2和c分別為無量綱后對應的剛度系數(shù),彈性系數(shù)，剪切系數(shù)和黏性系數(shù)。

無量綱化后的振動控制方程為

(3)

2 復模態(tài)近似分析

對于黏彈性Pasternak地基梁，設

(4)

其中,λn=-δn+iωn，(n=1,2,3,…)，δn是衰減系數(shù)，ωn是振動頻率。將(4)式代入控制方程(3)，得到:

(5)

利用指數(shù)形式特解

ψn(x)=eγnx

(6)

代入方程(5)后，導出本征方程

(7)

4個本征值為

(8)

因此，方程(5)的通解可寫作

ψn(x)=C1neγ1nx+C2neγ2nx+C3neγ3nx+C4neγ4nx

(9)

2.1 簡固支邊界條件下的固有頻率和模態(tài)函數(shù)

考慮梁的一端簡支一端固支的邊界條件

y(0,t)=y(1,t)=0,
y″(0,t)=y′(1,t)=0

(10)

代入式(4)后，得:

(11)

將式(9)代入式(11)得到:

(12)

根據(jù)有非零解的要求，得到的頻率方程為超越方程

(13)

式(13)無法得到精確解，必須通過數(shù)值方法求解。

由式(12)可得到用C1n表示的Cjn(j=2, 3, 4)，代入(9)式后得到模態(tài)函數(shù)表達式:

(14)

2.2 固支邊界條件下的固有頻率和模態(tài)函數(shù)

考慮兩端固支的邊界條件：

y(0,t)=y(1,t)=0,y′(0,t)=y′(1,t)=0

(15)

代入式(4)后，得：

(16)

與簡固支邊界相似，得到頻率方程：

(eγ2n-eγ3n)(eγ1n-eγ4n)(-γ2nγ3n-γ1nγ4n)+(eγ1n-eγ3n)(eγ2n-eγ4n)(γ1nγ3n+γ2nγ4n)+

(eγ1n-eγ2n)(eγ3n-eγ4n)(-γ1nγ2n-γ3nγ4n)=0(17)

繼而得到模態(tài)函數(shù)表達式：

(18)

2.3 自由邊界條件下的固有頻率和模態(tài)函數(shù)

考慮兩端自由的邊界條件

y″(0,t)=y″(1,t)=0
y′″(0,t)=y″′(1,t)=0

(19)

代入(4)式后，得

(20)

與前兩種邊界相似，得到頻率方程

(eγ1n-eγ2n)(eγ3n-eγ4n)(-γ1nγ2n-γ3nγ4n)]=0(21)

ω1=0滿足方程，因此，自由邊界條件下的一階頻率為零。除去一階頻率外，用數(shù)值方法求解時，自由和固支兩種邊界條件下，地基梁有相同的一組頻率值，但同一數(shù)值，兩種邊界對應的階數(shù)不同。

與固支邊界不同的是，自由邊界條件下的模態(tài)函數(shù)表達式為:

(22)

3 具體算例

對于振動控制方程(2)式，文獻[8]中數(shù)值無量綱化后，取kf=0.003 5，k1=0.72，k2=0.367，c=0.10，代入頻率方程。通過數(shù)值方法計算得到前八階固有頻率，如表1中原始參數(shù)對應的一組數(shù)據(jù)所示。自由邊界條件下，一階頻率為零，第n階頻率同固支邊界的第(n-1)階頻率值。簡固邊界條件下得到的頻率值比固支邊界略小，且隨著階數(shù)的升高，差值相應略有增加。其他參數(shù)不變情況下，黏性系數(shù)增大5倍后(c=0.5)對應的頻率值，比原始參數(shù)對應的頻率值略小。說明隨著黏性系數(shù)的增大，地基梁的頻率減小。剛度系數(shù)增大5倍后(kf=0.017 5)得到的頻率值，比原始參數(shù)對應的頻率值增大。尤其是第四階之后，隨著階數(shù)的增加，頻率值增大的幅度更為明顯。說明隨著剛度系數(shù)的增大，地基梁的頻率增大，尤其是高階頻率值增長明顯。

不同邊界的前四階模態(tài)函數(shù)圖，分別見圖2、圖3和圖4。由圖可見，高階模態(tài)函數(shù)的幅值較低階模態(tài)函數(shù)幅值小，且實部和虛部關(guān)于x軸對稱。也證明本文的數(shù)值計算誤差有限。簡固和固支兩種邊界的模態(tài)函數(shù)實部和虛部圖非常相似。自由邊界條件下，一階頻率為零，模態(tài)函數(shù)表達式的值也為零，故一階模態(tài)圖形對應為x軸所在的一條直線。

表1 不同邊界條件下，前八階固有頻率

4 微分求積驗證

微分求積法(DQ法)是Bellman等根據(jù)數(shù)值積分思想提出的一種求解偏微分方程的數(shù)值方法。其本質(zhì)是把函數(shù)在給定離散點上的各階導數(shù)值，近似地用全域上所有網(wǎng)點處的函數(shù)值的加權(quán)和來表示。

黏彈性Pasternak地基梁的計算區(qū)域為0≤x≤1。x方向的網(wǎng)點數(shù)為N。離散點的分布采用非均勻離散點布置，其分布形式為：

(23)

應用微分求積規(guī)則，每個網(wǎng)點處對應的函數(shù)導數(shù)為

(24)

其中權(quán)系數(shù)的定義為:

(25)

這里，xn(n=i，k，μ)為節(jié)點坐標，N為節(jié)點總數(shù)。

當r= 2，3，…，N-1時，有

(26)

將式(26)代入控制方程式(3)與簡固及固支邊界條件，得到相應網(wǎng)點的微分求積近似離散:

(27)

其中

yi(t)=y(xi,t)

(28)

簡固邊界條件下

(29)

固支邊界條件下

(30)

通過(27)式，微分求積方法數(shù)值計算固有頻率可歸結(jié)為廣義本征值問題。選取離散抽樣點數(shù)N=19。圖5、圖6給出了不同方法下，具體算例的比較。實線代表復模態(tài)分析方法的近似解析結(jié)果；黑點線代表微分求積法的數(shù)值結(jié)果。定量上，微分求積數(shù)值解與復模態(tài)分析的近似解析解非常接近；在定性上，使用微分求積法和復模態(tài)分析得到的固有頻率曲線具有相同趨勢。由圖5可見，不同邊界條件下，兩種方法所得自由振動固有頻率結(jié)果吻合的很好。

圖2 簡固邊界條件下地基梁的模態(tài)函數(shù)

圖5 固支邊界下數(shù)值和解析的比較

圖6 簡固邊界下數(shù)值和解析的比較

5 結(jié) 論

本文應用復模態(tài)近似分析方法研究Pasternak地基梁的橫向自由振動特性，得到不同邊界條件下的固有頻率和模態(tài)函數(shù)，并分析了邊界條件、剛度系數(shù)和地基黏性系數(shù)對固有頻率的影響。運用微分求積方法得到離散后的控制方程，將微分求積法得到的數(shù)值解與復模態(tài)方法的近似解析解進行比較。

通過具體算例表明，簡固和固支兩種邊界條件下的振動特性非常接近，簡固邊界的頻率值比固支邊界略有降低。兩種邊界的模態(tài)函數(shù)圖形相似。兩端自由邊界條件下，一階頻率為零，第n階頻率同兩端固支的第n-1階頻率值。隨著剛度系數(shù)的增大和黏性系數(shù)的減小，各階固有頻率均增大。定量上，微分求積數(shù)值解與復模態(tài)的近似解析解非常接近；在定性上，固有頻率的數(shù)值解與近似解析解的曲線具有相同趨勢。

綜合上述，本文證明了復模態(tài)方法適用于黏彈性地基梁的橫向自由振動分析。為將復模態(tài)方法進一步向地基梁振動問題推廣奠定基礎。

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