三角形形狀的判定是解三角形的重要內(nèi)容，也是高考的一個(gè)重要考點(diǎn)，本文從常見的幾種類型分析三角形形狀的判定。

一、利用三角函數(shù)

例1.在△ABC中，已知：sinA×tanB<0，那么這個(gè)三角形是

（ ）

A.直角三角形 B.銳角三角形

C.鈍角三角形 D.以上結(jié)論都不對(duì)

解析：因?yàn)閟inA×tanB<0，所以sinA和tanB異號(hào)，

又0°0，tanB<0，

所以∠B為鈍角，故△ABC為鈍角三角形。應(yīng)選C。

例2.在△ABC中，已知cosA·cosB>sinA·sinB，則△ABC是

（ ）

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.等腰三角形

解析：cosA·cosB>sinA·sinB？圳cos（A+B）>0，

∴ A+B<90°，∴C>90°，C為鈍角。應(yīng)選C。

例3.在△ABC中，如果sinAsinB+sinAcosB+cosAsinB+cosA

cosB=2，則△ABC是（ ）

A.等邊三角形 B.鈍角三角形

C.等腰直角三角形 D.直角三角形

解析：由已知，得cos（A—B）+sin（A+B）=2，

又cos（A—B）≤1，sin（A+B）≤1，

故cos（A—B）=1且sin（A+B）=1，

即A=B且A+B=90°，故選C。

二、利用平面向量

三、利用正弦、余弦定理

例6.（2012年上海理）在△ABC中，若sin2A·sin2B

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.不能確定

解析：由條件結(jié)合正弦定理，得a2+b2

例7.在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，則△ABC為（ ）

A.直角三角形 B.等腰直角三角形

C.等邊三角形 D.等腰三角形

解析：sin2A=sin2B+sin2C？圳（2R）2sin2A=（2R）2sin2B+（2R）2sin2C，即a2=b2+c2，由勾股定理的逆定理得△ABC為直角三角形。故選A。

A.直角三角形 B.等邊三角形

C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形

例9.在△ABC中，a=2bcosC，則這個(gè)三角形一定是（ ）

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形

解析：由a=2bcosC得，sinA=2sinBcosC，

∴ sin（B+C）=2sinBcosC，

∴ sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，

∴ sin（B—C）=0，∴B=C，故選A。

A.正三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形

利用正、余弦定理判斷三角形形狀主要有以下兩種途徑：

（1）利用正、余弦定理，把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，然后通過因式分解、配方等方法，得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀。

（2）利用正、余弦定理，把已知條件轉(zhuǎn)化為角角關(guān)系，然后通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀。

四、利用二次函數(shù)性質(zhì)

例11.設(shè)∠A、∠B、∠C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，∠C是銳角，若關(guān)于x的方程x2—（2sin∠C）x+sinAsinB=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，且 4sin2∠C+4cos∠C—5=0，求證：△ABC為等邊三角形。

證明：因?yàn)榉匠蘹2—（2sin∠C）x+sinAsinB=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，所以？駐=（2sinC）2—4sinAsinB=0，

根據(jù)正弦定理，得：c2—ab=0，所以c2 = ab，

由4sin2∠C+4cos∠C—5=0，

得：4（1—cos2C）+4cosC—5=0，即：4cos2C—4cosC+1=0，

又因?yàn)椤螩為銳角，

所以：∠C=60°

再根據(jù)余弦定理，得：c2=a2+b2—2abcos60°，

即c2=a2+b2—ab，所以a2+b2—ab=ab，故（a—b）2=0，所以a=b，

所以△ABC為等邊三角形。

綜上所述，判定三角形的形狀時(shí)，必須熟練掌握三角形邊與邊、邊與角之間的關(guān)系，在具體解題時(shí)要分析清楚題目所給的條件與課本所學(xué)過的知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，從而正確使用所學(xué)知識(shí)，以達(dá)到解決問題的目的。

（作者單位 江西省宜春三中）