楊曉超 劉宏偉 王 勇 糾 博

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 西安 710071)

1 引言

空時(shí)自適應(yīng)處理(Space-Time Adaptive Processing, STAP)技術(shù)是機(jī)載 SIMO(Single-Input Multi-Output)雷達(dá)(即相控陣?yán)走_(dá))為了更好地抑制空時(shí)耦合的地雜波，檢測(cè)地面動(dòng)目標(biāo)而提出的[1]。STAP中雜波協(xié)方差矩陣的秩，是SIMO雷達(dá)是否可以有效抑制雜波的重要指標(biāo)[2]。典型的 STAP場(chǎng)景中，不僅包括雜波還包含有源干擾[2,3]，文獻(xiàn)[4]研究了在正側(cè)陣時(shí)SIMO雷達(dá)雜波加有源干擾的協(xié)方差矩陣的結(jié)構(gòu)，證明了雜波加干擾協(xié)方差矩陣秩的上界為兩者秩之和減去有源干擾個(gè)數(shù)。一般情況下，在雜波加有源干擾協(xié)方差矩陣非滿秩時(shí)，理論上SIMO雷達(dá)可以有足夠的自由度來(lái)有效地抑制雜波和有源干擾，取得良好的性能。

相比于SIMO雷達(dá)，MIMO(Multi-Input Multi-Output)雷達(dá)有更多的空間自由度[5]，將 MIMO 雷達(dá)用于機(jī)載平臺(tái)，結(jié)合STAP技術(shù)來(lái)檢測(cè)動(dòng)目標(biāo)成為近幾年的研究熱點(diǎn)[5-11]。文獻(xiàn)[5]分析了發(fā)射正交波形時(shí)，機(jī)載MIMO雷達(dá)雜波子空間和雜波的秩；文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]分別分析了發(fā)射任意波形時(shí)機(jī)載MIMO雷達(dá)雜波的秩及雜波空時(shí)譜分布特性；文獻(xiàn)[8]研究了發(fā)射相位編碼正交信號(hào)和多載頻信號(hào)時(shí)的MIMO雷達(dá) STAP信號(hào)模型和雜波模型。文獻(xiàn)[9]研究了采用頻分正交信號(hào)的機(jī)載 MIMO雷達(dá)對(duì)地面動(dòng)目標(biāo)的角度和多普勒估計(jì)的CRB(Cramer-Rao Bound)。文獻(xiàn)[10]對(duì)MIMO雷達(dá)進(jìn)行子陣劃分，然后再進(jìn)行空時(shí)處理；文獻(xiàn)[11]提出一種先時(shí)域多普勒濾波，然后再在空域采用雙迭代算法進(jìn)行降維的方法。

與SIMO雷達(dá)相似，MIMO雷達(dá)雜波加干擾協(xié)方差矩陣的秩也是其是否可以有效地抑制雜波和有源干擾的重要指標(biāo)。文獻(xiàn)[5]分析了MIMO雷達(dá)雜波協(xié)方差矩陣的秩，但目前還沒(méi)有文獻(xiàn)分析存在有源干擾時(shí)，MIMO雷達(dá)雜波加有源干擾協(xié)方差矩陣的秩。本文將文獻(xiàn)[4]中SIMO雷達(dá)雜波加有源干擾協(xié)方差矩陣秩的結(jié)論推廣到MIMO雷達(dá)，得到了正側(cè)陣時(shí) MIMO雷達(dá)雜波加有源干擾協(xié)方差矩陣秩的上界為兩者秩之和減去有源干擾個(gè)數(shù)，文獻(xiàn)[4]中的結(jié)論可以看作此結(jié)論在SIMO雷達(dá)時(shí)的特殊情況。由此結(jié)論進(jìn)而得到一個(gè)有源干擾個(gè)數(shù)的范圍，當(dāng)有源干擾個(gè)數(shù)增加到此范圍內(nèi)時(shí)，SIMO雷達(dá)雜波加有源干擾協(xié)方差矩陣滿秩，雜波和干擾不能被有效抑制引起性能嚴(yán)重下降，但此時(shí)MIMO雷達(dá)雜波加有源干擾協(xié)方差矩陣的秩要小于數(shù)據(jù)維數(shù)，MIMO雷達(dá)仍然可以有效地抑制雜波和有源干擾，有較好的理論性能，體現(xiàn)了MIMO雷達(dá)相對(duì)于SIMO雷達(dá)的優(yōu)越性。

2 MIMO雷達(dá)STAP信號(hào)模型

考慮一個(gè)收發(fā)同置的機(jī)載MIMO雷達(dá)，發(fā)射陣有M個(gè)天線，接收陣有N個(gè)天線，都為均勻線陣，正側(cè)陣放置。載機(jī)速度為v。目標(biāo)，雜波，有源干擾相對(duì)雷達(dá)處于遠(yuǎn)場(chǎng)。各發(fā)射陣元發(fā)射相互正交信號(hào)，并且為窄帶信號(hào)，發(fā)射脈沖重復(fù)周期為T(mén)r。假設(shè)一個(gè)相參處理間隔(Coherent Processing Interval,CPI)共有K次脈沖。接收經(jīng)過(guò)混頻至基帶后，用發(fā)射信號(hào)矩陣對(duì)每個(gè)接收陣元回波信號(hào)進(jìn)行匹配濾波處理后排成列向量得到MN×1的輸出，將K次脈沖的輸出首尾相接排成更長(zhǎng)的列向量，得到目標(biāo)的輸出為

其中γ=dt/dr為發(fā)射陣元間距與接收陣元間距之比。

假設(shè)場(chǎng)景中存在J個(gè)相互獨(dú)立的有源干擾，和雷達(dá)發(fā)射信號(hào)相互獨(dú)立，并且在時(shí)域上各時(shí)刻之間也相互獨(dú)立。其協(xié)方差陣可以表示為

3 MIMO雷達(dá)雜波加干擾協(xié)方差矩陣秩的分析

對(duì)于正側(cè)陣放置的SIMO雷達(dá)，在沒(méi)有雜波內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，由 Brennan條件[2]，可以得到雜波協(xié)方差矩陣的秩rC,SIMO=rank(RC,SIMO) =N+β(K-1)。而其干擾協(xié)方差矩陣的秩為rJ,SIMO= r ank(RJ,SIMO)=JK[2]。但雜波加干擾協(xié)方差矩陣秩的上界并不等于雜波協(xié)方差矩陣的秩和干擾協(xié)方差矩陣的秩之和，文獻(xiàn)[4]證明其上界為兩者之和再減去干擾的個(gè)數(shù)，即

但目前還沒(méi)有文獻(xiàn)研究 MIMO雷達(dá)雜波加干擾協(xié)方差矩陣的秩，下面證明其上界為雜波協(xié)方差矩陣的秩與干擾協(xié)方差矩陣的秩之和再減去干擾的個(gè)數(shù)。

對(duì)于MIMO雷達(dá)，雜波協(xié)方差矩陣的秩為[5]

與文獻(xiàn)[4]構(gòu)造SIMO雷達(dá)雜波基向量的方法相似，可以構(gòu)造MIMO雷達(dá)MKN× 1維的雜波基向量為

每個(gè)有源干擾對(duì)應(yīng)MK個(gè)基向量，J個(gè)有源干擾一共有JMK個(gè)干擾基向量。與SIMO雷達(dá)雜波基向量和有源干擾基向量的關(guān)系[4]相似，可以驗(yàn)證對(duì)于MIMO雷達(dá)，第p個(gè)有源干擾的基向量和雜波的基向量有如下關(guān)系：

即第p個(gè)有源干擾的MK個(gè)基向量中至少有一個(gè)基向量可以用其他MK-1個(gè)基向量和N+β(K-1)+γ(M- 1 )個(gè)雜波基向量線性表示。對(duì)于每一個(gè)有源干擾，與其對(duì)應(yīng)的基向量和雜波的基向量都有如式(11)的關(guān)系。所以，在總的有源干擾協(xié)方差矩陣的JMK個(gè)基向量中，至少有J個(gè)基向量可以由其他J(MK- 1 )個(gè)基向量和N+β(K- 1) +γ(M- 1 )個(gè)雜波基向量線性表示。由此可以得到MIMO雷達(dá)雜波加有源干擾協(xié)方差矩陣的秩滿足

即 MIMO雷達(dá)雜波加有源干擾協(xié)方差矩陣秩的上界為雜波協(xié)方差矩陣的秩和有源干擾協(xié)方差矩陣的秩之和減去有源干擾的個(gè)數(shù)。

在SIMO雷達(dá)中，各發(fā)射陣元發(fā)射相同的信號(hào)，可以認(rèn)為式(12)中M=1。此時(shí)式(12)與文獻(xiàn)[4]的式(7)有相同的形式。因此，結(jié)論式(12)可以看作對(duì)文獻(xiàn)[4]的結(jié)論式(7)的推廣。

4 SIMO雷達(dá)和MIMO雷達(dá)在有源干擾條件下的性能比較

對(duì)于機(jī)載SIMO雷達(dá)，一般其收發(fā)天線共用，發(fā)射接收陣元間距相同[12]。為了在相同情況下對(duì)比SIMO雷達(dá)與MIMO雷達(dá)的性能，假設(shè)SIMO雷達(dá)與MIMO雷達(dá)均為收發(fā)陣元間距相同，即γ=1。

雜波加干擾協(xié)方差矩陣的秩，是SIMO雷達(dá)和MIMO雷達(dá)是否能夠有效抑制雜波和干擾的重要指標(biāo)。對(duì)于SIMO雷達(dá)，由于其協(xié)方差矩陣秩的最大值為數(shù)據(jù)維數(shù)NK，由式(7)可以得到在有源干擾個(gè)數(shù)J≥N-β時(shí)，有源干擾加雜波協(xié)方差矩陣秩的上界達(dá)到NK，此時(shí)雜波和有源干擾的抑制性能會(huì)受到很大的影響。而在有源干擾個(gè)數(shù)J=N-β-1時(shí)，有源干擾加雜波協(xié)方差矩陣秩的上界為NK-(K-1)，此時(shí)SIMO雷達(dá)仍然有足夠的自由度抑制雜波和干擾，性能不會(huì)有很大的下降。

由式(13)可以看出，此時(shí)，MIMO雷達(dá)雜波加有源干擾協(xié)方差矩陣秩的上界與 MIMO雷達(dá)的數(shù)據(jù)維數(shù)NMK相差(K- 1 )(M-β)，而當(dāng)干擾個(gè)數(shù)J＜N- 1時(shí)，與NMK相差更大，此時(shí) MIMO雷達(dá)有足夠的自由度來(lái)抑制雜波和干擾，性能不會(huì)有很大損失。所以可以得到，在干擾個(gè)數(shù)滿足N-β≤J≤N- 1時(shí)，SIMO雷達(dá)的性能會(huì)有明顯的下降，而 MIMO雷達(dá)的性能不會(huì)有很大的影響，顯示了MIMO雷達(dá)相對(duì)于SIMO雷達(dá)的優(yōu)勢(shì)。

在此需要說(shuō)明的是，由于有源干擾為干擾機(jī)發(fā)射的干擾信號(hào)，并非雷達(dá)發(fā)射信號(hào)的回波，所以有源干擾的抑制，不論對(duì)于SIMO雷達(dá)還是MIMO雷達(dá)，都只與接收的空間自由度有關(guān)，這也可以從MIMO 雷達(dá)有源干擾的協(xié)方差矩陣式(6)看出。而MIMO雷達(dá)相對(duì)于SIMO雷達(dá)更多的自由度來(lái)自于發(fā)射的空間自由度，并不能用來(lái)抑制有源干擾。沒(méi)有雜波時(shí)，SIMO雷達(dá)和MIMO雷達(dá)抑制有源干擾的能力是相同的，最多為N-1個(gè)。但對(duì)于雜波，由于其為雷達(dá)發(fā)射信號(hào)被后向散射的回波，發(fā)射的空間自由度可以用來(lái)進(jìn)行雜波抑制，由于機(jī)載雷達(dá)雜波的空時(shí)耦合性，所以機(jī)載MIMO雷達(dá)可以聯(lián)合發(fā)射，接收空間自由度和時(shí)間自由度來(lái)抑制雜波，而機(jī)載SIMO雷達(dá)則只能聯(lián)合接收空間自由度和時(shí)間自由度來(lái)抑制雜波。所以在雜波和有源干擾同時(shí)存在的環(huán)境中，MIMO雷達(dá)聯(lián)合發(fā)射，接收自由度和時(shí)間自由度來(lái)抑制雜波，相比于SIMO雷達(dá)只能用接收自由度和時(shí)間自由度來(lái)抑制雜波，可以有更多的接收自由度來(lái)抑制有源干擾，所以在有源干擾個(gè)數(shù)增加到使得SIMO雷達(dá)性能嚴(yán)重下降時(shí)，MIMO雷達(dá)仍然有足夠的自由度來(lái)抑制雜波和有源干擾，有較好的性能。

5 仿真實(shí)驗(yàn)

5.1 仿真條件

考慮一個(gè)雷達(dá)系統(tǒng)，發(fā)射陣元數(shù)M=5，接收陣元數(shù)N=8，發(fā)射和接收陣元間距為半波長(zhǎng)，收發(fā)同置，正側(cè)陣放置。一個(gè)CPI中的脈沖數(shù)K=8。載機(jī)高度9 km，目標(biāo)在正側(cè)視方向。有源干擾的方向分別 為θ1=20o,θ2=-2 0o,θ3=30o,θ4=-3 0o,θ5=40o,θ6=-4 0o,θ7=50o，且各干擾間相互獨(dú)立，干噪比均為 70 dB。噪聲為高斯白噪聲，其協(xié)方差矩陣為單位矩陣I。

MIMO雷達(dá)與SIMO雷達(dá)仿真條件的區(qū)別僅在于發(fā)射信號(hào)的不同。對(duì)于MIMO雷達(dá)，各發(fā)射陣元發(fā)射正交信號(hào)。而SIMO雷達(dá)，各發(fā)射陣元發(fā)射相同信號(hào)，且每個(gè)陣元發(fā)射信號(hào)能量與MIMO雷達(dá)的相同，發(fā)射加權(quán)均為 1。假設(shè)每個(gè)發(fā)射陣元的陣元功率方向圖相同，且均為余弦調(diào)制[12]，后向衰減為60 dB，其形式如下：其中be代表后向衰減系數(shù)。對(duì)于 SIMO雷達(dá)和MIMO雷達(dá)，考慮相同的雜波背景，均為遠(yuǎn)距離雜波，每個(gè)距離環(huán)上獨(dú)立雜波點(diǎn)個(gè)數(shù)Nc= 3 60，位置均勻分布，且同一距離單元內(nèi)雜波點(diǎn)的RCS為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，不同距離單元雜波點(diǎn)的RCS也獨(dú)立同分布。下面說(shuō)明對(duì)于SIMO雷達(dá)和MIMO雷達(dá)，進(jìn)入單個(gè)接收陣元的單次脈沖的雜波能量是相同的。

對(duì)于SIMO雷達(dá)，單個(gè)陣元接收到的俯仰角為φ的距離單元的單次脈沖的雜波回波為

將式(18)代入式(17)可得

對(duì)于MIMO雷達(dá)，單個(gè)陣元接收到的俯仰角為φ的距離單元的單次脈沖的雜波回波為

其中S為發(fā)射信號(hào)矩陣，假設(shè)發(fā)射信號(hào)相互正交，并且滿足SSH=I。此時(shí)MIMO雷達(dá)發(fā)射信號(hào)能量與SIMO的相同。由式(20)可得雜波回波的能量為

可以看出，對(duì)于SIMO雷達(dá)和MIMO雷達(dá)，單個(gè)接收陣元的單個(gè)脈沖雜波能量是相同的。在仿真中，SIMO雷達(dá)和MIMO雷達(dá)單個(gè)接收陣元的單個(gè)脈沖的雜噪比均為50 dB。

5.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在仿真中，采用信雜噪比(SINR)損失作為性能評(píng)價(jià)的指標(biāo)。并且所用的雜波和有源干擾加噪聲的協(xié)方差矩陣均為理論的協(xié)方差矩陣，不考慮有限樣本數(shù)的影響。在計(jì)算SIMO雷達(dá)和MIMO雷達(dá)SINR損失時(shí)，均為全維處理，不考慮各種降維算法的影響，因此仿真中得到的SINR損失為SIMO雷達(dá)和MIMO雷達(dá)所能達(dá)到的最優(yōu)性能。

圖1為在β分別為1,2,3的情況下，SIMO雷達(dá)和MIMO雷達(dá)在不同有源干擾個(gè)數(shù)時(shí)的理論SINR損失。從圖1(a), 1(b), 1(c)可以看出，在有源干擾數(shù)J=N-β- 1時(shí)，即分別為J=6,J=5和J=4(即分別對(duì)應(yīng)β= 1 ,2,3)時(shí)，SIMO雷達(dá)的SINR損失與無(wú)干擾時(shí)的性能相差不大，在2 dB以內(nèi)；但在有源干擾個(gè)數(shù)增加到J=N-β時(shí)，即分別為J=7,J= 6 和J=5(分別對(duì)應(yīng)β= 1 ,2,3)時(shí)，SIMO雷達(dá)的 SINR損失在整個(gè)多普勒頻率區(qū)間，性能都有了很明顯的下降，尤其在低速區(qū)下降更為明顯。而MIMO雷達(dá)在干擾個(gè)數(shù)J=N-β時(shí)，仍然保持了較好的性能。并且可以看出在β= 1 ,2,3的情況下，MIMO雷達(dá)在有源干擾個(gè)數(shù)為J=N- 1即7個(gè)時(shí)，其性能相比于無(wú)干擾時(shí)雖然也有了一定的下降，但下降的程度要遠(yuǎn)低于 SIMO雷達(dá)。當(dāng)干擾個(gè)數(shù)從J=N-β- 1增加到J=N-β時(shí)，SIMO雷達(dá)性能嚴(yán)重下降，而MIMO雷達(dá)仍然有較好的性能，與本文之前的分析相一致。

為了說(shuō)明當(dāng)干擾個(gè)數(shù)J從N-β- 1增加到J=N-β時(shí)SIMO雷達(dá)性能下降的原因，圖2 給出了SIMO雷達(dá)雜波和干擾加噪聲的特征譜。由于噪聲協(xié)方差矩陣為單位陣，所以雜波加干擾協(xié)方差矩陣的特征值對(duì)應(yīng)于特征譜上大于0 dB的特征值，由此可得雜波加干擾協(xié)方差矩陣的秩為大于 0 dB的特征值的個(gè)數(shù)。在干擾數(shù)為J=N-β- 1，即分別為J= 6 ,J=5和J=4(分別對(duì)應(yīng)β= 1 ,2,3)時(shí)，從圖2可以看出，雜波加干擾協(xié)方差矩陣的秩為N+(β+J)(K- 1 ) = 5 7，而SIMO雷達(dá)全維的數(shù)據(jù)維數(shù)為64，因此有足夠的自由度來(lái)抑制雜波和干擾，此時(shí)其SINR損失相對(duì)于沒(méi)有干擾時(shí)沒(méi)有明顯的下降(見(jiàn)圖 1)。在干擾數(shù)J=N-β，即分別為J=7,J= 6 和J=5(分別對(duì)應(yīng)β= 1 ,2,3)時(shí)，雜波加干擾協(xié)方差矩陣滿秩，因?yàn)樗械奶卣髦刀汲^(guò)了噪聲水平，其秩為64 =N+ (β+J)(K- 1 )，此時(shí)SIMO雷達(dá)沒(méi)有足夠的自由度來(lái)抑制干擾和雜波，所以其SINR損失有了明顯的下降。

而對(duì)于MIMO雷達(dá)，從圖3的雜波和干擾加噪聲的特征譜上可以看出，在干擾數(shù)J=N-β，即分別為J=7,J=6和J=5(分別對(duì)應(yīng)β= 1 ,2,3)時(shí)，其雜波加干擾的協(xié)方差矩陣的秩為N+β(K- 1 )+γ(M- 1 ) +J(MK- 1 )，即在β= 1 ,2,3時(shí)分別為292, 260, 228。而MIMO雷達(dá)全維的數(shù)據(jù)維數(shù)為320，所以MIMO雷達(dá)有足夠的自由度來(lái)抑制雜波和干擾，仍然有較好的性能。這也體現(xiàn)了MIMO雷達(dá)相對(duì)于SIMO雷達(dá)可以利用更多的自由度來(lái)抑制雜波和干擾，在干擾較多嚴(yán)重影響SIMO雷達(dá)性能時(shí)，使得MIMO雷達(dá)還可以有效地抑制雜波和干擾，進(jìn)行動(dòng)目標(biāo)的檢測(cè)。而在干擾個(gè)數(shù)為J=N-1即7個(gè)時(shí)，MIMO雷達(dá)雜波加干擾協(xié)方差矩陣的秩在β= 1 ,2,3時(shí)分別為292, 299, 306，也與之前的分析相一致，此時(shí)MIMO雷達(dá)也有足夠的自由度來(lái)抑制雜波和干擾，盡管性能相對(duì)于無(wú)干擾時(shí)會(huì)有一定的下降，但不會(huì)嚴(yán)重下降，不同于SIMO雷達(dá)。

6 結(jié)束語(yǔ)

圖1 SIMO雷達(dá)和MIMO雷達(dá)SINR損失

圖2 SIMO雷達(dá)雜波和干擾加噪聲的特征譜

圖3 MIMO雷達(dá)雜波和干擾加噪聲的特征譜

將SIMO雷達(dá)雜波加有源干擾協(xié)方差陣秩的分析推廣到MIMO雷達(dá)，得到MIMO雷達(dá)雜波加有源干擾協(xié)方差矩陣秩的上界為雜波秩與有源干擾秩之和減去有源干擾個(gè)數(shù)。并且得到一個(gè)有源干擾個(gè)數(shù)的范圍，當(dāng)有源干擾個(gè)數(shù)在此范圍內(nèi)時(shí)，SIMO雷達(dá)雜波加有源干擾協(xié)方差矩陣滿秩，性能嚴(yán)重下降。而此時(shí)MIMO雷達(dá)雜波加有源干擾協(xié)方差矩陣非滿秩，有足夠的自由度來(lái)抑制雜波和干擾，性能沒(méi)有明顯的下降，顯示了MIMO雷達(dá)相較于SIMO雷達(dá)的優(yōu)越性。本文的分析與結(jié)論都是在比較理想的情況下得到的，可以對(duì)實(shí)際問(wèn)題提供一定的參考。但本文只考慮了發(fā)射為理想正交波形的條件，對(duì)于發(fā)射為非正交波形的情況，以及如何再結(jié)合具體的情況對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析是下一步要進(jìn)行的研究工作。

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