摘 "要：針對永磁同步電機(jī)傳統(tǒng)滑模觀測器在零點切換過程中由于使用符號函數(shù)引起高頻震蕩以及相位滯后現(xiàn)象，引入改進(jìn)sigmoid函數(shù)替換符號函數(shù)以減小零點切換過程中的高頻抖振，同時在使用鎖相環(huán)的基礎(chǔ)上加入角度補(bǔ)償算法估計轉(zhuǎn)子位置以減小高頻抖振產(chǎn)生的角度估計誤差，基于Simulink建立模型并進(jìn)行仿真。仿真結(jié)果表明，與傳統(tǒng)觀測器相比，新的控制方法在抖振抑制和魯棒性方面均有較大提升。

關(guān)鍵詞：永磁同步電機(jī)；無傳感器控制；滑模觀測器；鎖相環(huán)

中圖分類號：TM341 " " " " " " " " " " " " " " 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-5483（2024）02-0042-05

Sensorless Control of PMSM Based on Enhanced Sigmoid Function

Cai Shuo， Lu Jun， Huang Haibo， Lü Wenju

（School of Electrical amp; Information Engineering， Hubei University of Automotive Technology， Shiyan 442002， China）

Abstract： In traditional sliding mode observers for permanent magnet synchronous motor （PMSM）， high-frequency jitters and phase lags caused by using sign function during zero-point switching are observed. To address these issues， an enhanced sigmoid function was introduced to replace the sign function， so as to mitigate high-frequency jitters during zero-point switching. At the same time， an angle compensation algorithm was used in conjunction with a phase-locked loop （PLL） to estimate rotor position and reduce angle estimation errors caused by high-frequency jitters. A model was constructed in Simulink for simulation. The simulation outcomes indicate that the new control method greatly suppresses jitter and improves robustness compared to conventional observers.

Key words： PMSM; sensorless control; sliding mode observer; PLL

永磁同步電機(jī)（permanent magnet synchronous motor，PMSM）因其高效率、高功率密度、高精度控制以及低維護(hù)成本等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用在工業(yè)、交通、家電等領(lǐng)域［1］。傳統(tǒng)電機(jī)控制方式分有傳感器控制和無傳感器控制，前者依靠傳感器件檢測電機(jī)參數(shù)，后者根據(jù)電機(jī)繞組中的電信號利用算法估算電機(jī)位置等信息。由于傳感器控制方式的成本較高，同時傳感器容易受到環(huán)境、振動等因素的影響從而降低系統(tǒng)的可靠性，因此為了解決上述問題，無傳感器控制被廣泛研究。在電機(jī)控制中常見的無傳感器控制方法有反電動勢估計［2］、高增益觀測器［3］、滑模觀測器（sliding mode observer， SMO）［4］、模型預(yù)測控制［5］、機(jī)器學(xué)習(xí)等，其中滑模觀測器因具有抗干擾性強(qiáng)、高速響應(yīng)、較少的參數(shù)依賴、可擴(kuò)展性強(qiáng)的特點被各大研究人員研究。文獻(xiàn)［6］用積分滑模面代替?zhèn)鹘y(tǒng)滑模面的方式提高了電流誤差值收斂到零的速度，從而增強(qiáng)了系統(tǒng)抗干擾能力。文獻(xiàn)［7］使用SMO與變趨近律相結(jié)合的方式緩解了傳統(tǒng)SMO在估計轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速時存在的抖動問題，但是并沒有改善傳統(tǒng)SMO由于切換函數(shù)不連續(xù)帶來的抖振現(xiàn)象。文獻(xiàn)［8］使用具備連續(xù)性的雙曲線函數(shù)作為PMSM無傳感器控制系統(tǒng)中的控制函數(shù)，一定程度上抑制了抖振現(xiàn)象。文獻(xiàn)［9］將傳統(tǒng)滑模觀測器中基于反正切函數(shù)的轉(zhuǎn)子位置估計優(yōu)化為基于鎖相環(huán)的位置估計，在SMO系統(tǒng)中對高頻抖振有一定的抑制效果，同時系統(tǒng)的動態(tài)性能和精度也有一定的提高。在上述研究的基礎(chǔ)上，文中將傳統(tǒng)滑模觀測中的不連續(xù)的切換函數(shù)[sgn]替換為光滑連續(xù)的改進(jìn)sigmoid函數(shù)，采用觀測精確度和抗干擾能力更強(qiáng)的鎖相環(huán)進(jìn)行位置估計，并在此基礎(chǔ)上加入角度補(bǔ)償算法，從而提升控制系統(tǒng)的整體性能。

1 PMSM數(shù)學(xué)模型

在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系[d-q]下PMSM的定子電壓方程為

[ud=Rid+Lddid dt-ωeLqiquq=Riq+Lqdiq dt+ωe（Ldid+ψf）] （1）

式中：[ud]、[uq]分別是定子電壓的[d-q]軸分量；[id]、[iq]分別是定子電流的[d-q]軸分量；[R]是定子的電阻；[ψd]、[ψq]是定子磁鏈的[d-q]軸分量；[ωe]是電角速度；[Ld]、[Lq]分別是[d-q]軸電感分量；[ψf]代表永磁體磁鏈。將式（1）中的[ωe（Ldid+ψf）]拆開，改寫為[u]與[i]的矩陣形式：

[uduq=R+dLd dt-ωeLqωeLdR+dLq dtidiq+0ωeψf] （2）

由于在滑模觀測器設(shè)計中會涉及計算擴(kuò)展反電動勢，需要將靜止坐標(biāo)系[α-β]下的電機(jī)模型中與電感有關(guān)的量都打包到一起，為此需要在[d-q]軸旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下將電感矩陣調(diào)整為“對稱”的形式，式（2）可轉(zhuǎn)換為

[uduq=R+dLd dt-ωeLqωeLqR+dLq dtidiq+0u0u0=ωeψf+（Ld-Lq）（ωeid-dLq dt）] （3）

目前，大多數(shù)SMO算法設(shè)計都是基于靜止坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型，所以要想得到靜止坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型只需對式（3）定子電壓方程通過反Park變換即可變換到靜止坐標(biāo)系下

[uαuβ=R+dLd dtωe（Ld-Lq）-ωe（Ld-Lq）R+dLd dt× " " " " " " "iαiβ+0u0-sinθecosθe] （4）

式中：[μα]、 [μβ]、[iα]、[iβ]分別為靜止坐標(biāo)系[α]-[β]下的定子電壓和定子電流；[θe]為電角度。

2 滑模觀測器設(shè)計

2.1 傳統(tǒng)滑模觀測器設(shè)計

文中以表貼式PMSM作為研究目標(biāo)，根據(jù)表貼式PMSM的特性，式（4）可以建立數(shù)學(xué)模型如下：

[uαuβ=R+dLd dt00R+dLd dtiaiβ+EαEβ] （5）

[EαEβT=ωeψf -sinθecosθeT] （6）

式中：[EαEβT]為擴(kuò)展反電動勢。為了便于應(yīng)用SMO來觀測擴(kuò)展反電動勢，將式（5）的定子電壓方程改寫為電流的狀態(tài)方程形式：

[ddtiαiβ=Aiαiβ+1LSuαuβ-1LSEαEβA=1LS-R00-R] （7）

由式（9）可設(shè)計觀測器如下：

[ddtiαiβ=Aiαiβ+1LSuαuβ-1LSvαvβ] （8）

式中：[iα]、[iβ]為觀測器估計的電流值；[uα]、[uβ]為設(shè)計的SMO的控制輸入信號端口。結(jié)合式（7）～（8）可以得到傳統(tǒng)SMO定子電流的誤差方程：

[ddtiαiβ=ddtiα-iαiβ-iβ=Aiαiβ+1LSEα-vαEβ-vβ] （9）

式中：[iα]、[iβ]為觀測器的電流觀測誤差。傳統(tǒng)滑?？刂坡蔀?/p>

[vαvβT=ksgniαsgniβT， " kgt;0] （10）

式中：[sgn]為符號函數(shù)，正數(shù)取1，負(fù)數(shù)取-1；[k]為滑模增益，決定了[iα]、[iβ]的收斂速度以及是否收斂于[iα]、[iβ]。定義滑模面函數(shù)：

[s=s1s2=iαiβ=iα-iαiβ-iβ] （11）

根據(jù)李雅普諾夫定理選擇滑模面函數(shù)的李雅普諾夫候選函數(shù)：

[V=V1V2T=sTs2=12s21s22T] （12）

對式（12）求導(dǎo)可得：

[V=V1V2T=sTdsdt] （13）

根據(jù)李雅普諾夫定理的定義可知，系統(tǒng)穩(wěn)定時需要滿足條件：

[V（x）gt;0， " x≠0] （14）

[Vlt;0] （15）

由式（12）知，式（14）成立。根據(jù)式（9）和式（15）可得

[V1=iαddtiα=iα-RLSiα+EαLS-kLSsgniαlt;0] （16）

對式（16）整理得：

[kgt;-Ria+Eα， " iagt;0kgt;-Ria+Eα， " ialt;0] （17）

引入符號函數(shù)sgn，式（17）可整理為

[kgt;-Riα+Eα sgniα] （18）

同理，對[V2]進(jìn)行求解分析可得：

[kgt;-Riβ+Eβ sgniβ] （19）

結(jié)合式（18）～（19）可知，k的取值：

[kgt; max-Riα+Eα sgniα，-Riβ+Eβ sgn iβ] （20）

當(dāng)[k]滿足式（20）時，式（15）成立，系統(tǒng)收斂。函數(shù)[V]將收斂到0，且保持在該狀態(tài)，此時[iα]為0，結(jié)合式（9）～（10）及滑?？刂频牡刃Э刂圃恚梢缘玫剑?/p>

[EαEβT=vαvβT=ksgn iαsgn iβT] （21）

可以看出實際的控制量是不連續(xù)的高頻切換信號，會產(chǎn)生較大的紋波，因此需要加入低通濾波器，濾波器表達(dá)式：

[EαEβT=wc wc+s-1EαEβT] （22）

式中：[ωc]為濾波器的截止頻率。

2.2 改進(jìn)滑模觀測器設(shè)計

在傳統(tǒng)滑模觀測器中，符號函數(shù)[sgn]作為系統(tǒng)控制函數(shù)常用于滑模控制和狀態(tài)估計。但這種方法會在控制過程中引起高頻的切換，在某些情況下會導(dǎo)致控制器的輸出出現(xiàn)“抖動”現(xiàn)象，引起系統(tǒng)震蕩，影響控制系統(tǒng)的性能。除外，符號函數(shù)的輸出變化非常陡峭，這會導(dǎo)致控制器的輸入含有高頻分量，增加電機(jī)的磨損，降低系統(tǒng)的可靠性和壽命。為了解決上述問題，文中提出了基于改進(jìn)sigmoid的連續(xù)函數(shù)逼近方法，它可以在某個范圍內(nèi)具有符號函數(shù)的特性，使系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性，同時該函數(shù)的連續(xù)光滑特性可以減少系統(tǒng)抖動和高頻分量。改進(jìn)后的sigmoid函數(shù)表達(dá)式為

[sigm（s）=21+e-αs-1] （23）

式中：[α]為斜率參數(shù)，決定了sigm（）函數(shù)的變化速率。選擇適當(dāng)?shù)腫α]值，可以實現(xiàn)sigm（）函數(shù)在某個范圍內(nèi)表現(xiàn)出符號函數(shù)的特性，同時也避免了符號函數(shù)導(dǎo)致的抖動問題。sigm（）函數(shù)隨[α]變化曲線如圖1所示。

根據(jù)式（10）重新設(shè)計改進(jìn)的滑?？刂坡蔀?/p>

[vavβT=ksigmiαsigmiβT] （24）

結(jié)合式（11）～（13）可得k的取值：

[kgt;max-Riα+Eαsigmiα，-Riβ+Eβsigmiβ] （25）

當(dāng)滑模增益[k]滿足上述條件時，滑模觀測器的觀測狀態(tài)將一直保持在滑模面上。根據(jù)滑?？刂频牡刃Э刂圃恚藭r控制量可以被看作為等效控制量，可以得到：

[EaEβT=ksigmiαsigmiβT] （26）

由于sigm（）函數(shù)是連續(xù)光滑的，避免了高頻抖振，因此不需要加入低通濾波器。

3 轉(zhuǎn)子位置估計選擇

傳統(tǒng)SMO?；诜凑泻瘮?shù)對轉(zhuǎn)子位置進(jìn)行估計，它的精度受到電機(jī)參數(shù)誤差、噪聲以及電流和電壓的精度影響，且不適合低速和零速的應(yīng)用場景。文中采用的是基于鎖相環(huán)的改進(jìn)轉(zhuǎn)子位置估計，并在轉(zhuǎn)子位置估計的基礎(chǔ)上加上角度補(bǔ)償。系統(tǒng)通過檢測電機(jī)的電流或電壓信號，并根據(jù)與電機(jī)頻率的比較結(jié)果調(diào)整估計轉(zhuǎn)子位置?；诟倪M(jìn)鎖相環(huán)的SMO實現(xiàn)框圖如圖2所示，包含鑒相器、環(huán)路濾波器和反饋調(diào)節(jié)器。

假設(shè)k取[ωeψf]，根據(jù)式（6）可得：

[?E=-Eαcosθe-Eβsinθe≈ksinθe] （27）

由圖2中的框圖可得：

[θe=θe-θe] （28）

式中：[θe]為電機(jī)的電角度；[θe]為觀測器估計出來的電角度。[θe]為電機(jī)的估計誤差。根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識可知，當(dāng)[θe]小于[π/6]時，[sinθe]近似于[θe]，所以[?E]近似于[kθe]。為了彌補(bǔ)外界干擾造成的位置估計誤差，設(shè)計了角度補(bǔ)償公式：

[θe=θeq+arctan（ωe ω0）] （29）

式中：[θeq]為觀測的轉(zhuǎn)子位置信息，[θe]為補(bǔ)償后的轉(zhuǎn)子位置信息，[ωe]為觀測的電角速度。

圖2的等效框圖如圖3所示。根據(jù)圖3可以獲得由[θe]到[θe]的傳遞函數(shù)：

[Gs=θeθ=2ξωns+ωn2s2+2ξωns+ωn2ξ=kKi， " ωn=12KpkKi] （30）

計算得鎖相環(huán)的積分增益[Ki]為[ω2n/k]，比例增益[Kp]為[2ξωn/k]。

4 系統(tǒng)仿真與結(jié)果分析

為了驗證上述改進(jìn)后的新型SMO的性能，文中將改進(jìn)SMO與傳統(tǒng)SMO進(jìn)行對比實驗，均采用[id]=0的轉(zhuǎn)子磁場定向的矢量控制方式。PMSM的參數(shù)如表1所示，在MATLAB/Simulink平臺上分別搭建基于傳統(tǒng)SMO和基于改進(jìn)SMO的PMSM無傳感器控制系統(tǒng)仿真模型，基于改進(jìn)SMO的PMSM無傳感器控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖4所示。

將所有參數(shù)設(shè)置完成后，給定初始轉(zhuǎn)速為1000 r·min-1，0.05 s時加入負(fù)載6 N·m進(jìn)行仿真實驗，圖5為轉(zhuǎn)速跟蹤結(jié)果曲線，圖6為轉(zhuǎn)子位置跟蹤結(jié)果曲線。由圖5可知，傳統(tǒng)SMO在系統(tǒng)突加負(fù)載的瞬間轉(zhuǎn)速誤差達(dá)到了20 r·min-1，且估計轉(zhuǎn)速和實際轉(zhuǎn)速的誤差最大達(dá)到了18 r·min-1系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)也有10 r·min-1，同時電機(jī)在運轉(zhuǎn)過程中存在較大的抖振現(xiàn)象。改進(jìn)滑模觀測器在系統(tǒng)突加負(fù)載的瞬間轉(zhuǎn)速誤差為5 r·min-1，估計轉(zhuǎn)速和實際轉(zhuǎn)速的誤差最大為5 r·min-1，系統(tǒng)穩(wěn)定時的轉(zhuǎn)速誤差維持在2 r·min-1，與傳統(tǒng)SMO相比，控制效果改善較大。同時改進(jìn)SMO控制的電機(jī)在運轉(zhuǎn)過程中非常平穩(wěn)，抑制抖振現(xiàn)象效果明顯，并且具有更好的動態(tài)響應(yīng)能力和抗干擾能力。

通過圖6可知，傳統(tǒng)SMO的轉(zhuǎn)子估計誤差為0.04 rad，改進(jìn)SMO的轉(zhuǎn)子估計誤差為0.0083 rad，改善了79%，具有更加好的轉(zhuǎn)子位置估計能力，顯著提高了對轉(zhuǎn)子位置估計的精確度。

5 結(jié)論

文中提出了新型的滑模觀測器策略。采用在零點連續(xù)的改進(jìn)sigmoid函數(shù)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的符號函數(shù)，采用鎖相環(huán)對轉(zhuǎn)子位置進(jìn)行估計，并在此基礎(chǔ)上加入角度補(bǔ)償算法。仿真分析表明，改進(jìn)的控制策略抖振較弱，響應(yīng)速度、轉(zhuǎn)子位置的觀測精確和系統(tǒng)魯棒性均有所提升。

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