摘 要：圖形與幾何領(lǐng)域中的度量分為一維、二維、三維，每個維度的度量對象都可以看作相應(yīng)度量單位的累加——這是度量本質(zhì)上的一致性。因此，《角的度量》一課教學(xué)，教師帶領(lǐng)學(xué)生在遷移中感知度量本質(zhì)，在操作中體驗(yàn)度量本質(zhì)，在關(guān)聯(lián)中感悟度量本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；度量；度量單位；《角的度量》

《角的度量》一課不是度量的起始課，學(xué)生在學(xué)習(xí)角的度量之前有著豐富的測量經(jīng)驗(yàn)。如何有效遷移學(xué)生原有的測量經(jīng)驗(yàn)？教師可以引導(dǎo)學(xué)生感悟度量的本質(zhì)，探尋度量的一致性：測量前，使學(xué)生感受到統(tǒng)一度量標(biāo)準(zhǔn)的必要性，即確定度量單位；確定度量標(biāo)準(zhǔn)后，通過任務(wù)引導(dǎo)學(xué)生用統(tǒng)一的度量單位制作度量工具，讓學(xué)生在制作度量工具的過程中逐漸感受到度量就是數(shù)一數(shù)度量對象中含有多少個度量單位。具體的教學(xué)過程及思考如下：

一、教學(xué)過程

（一）類比遷移

師 在之前的學(xué)習(xí)中，我們都測量過什么？

生 長度、面積……

師 回憶一下，我們是怎樣測量線段長度的？

生 用直尺測量線段的長度。

師 （課件展示測量線段的動畫）

仔細(xì)觀察，用直尺測量線段的長度就是看什么？

生 看被測量的線段中有幾個1厘米。

師 是的，我們在測量線段的長度時，就是看被測量的線段中有幾個1厘米這樣的長度單位。那我們在學(xué)習(xí)面積時，又是怎樣測量圖形面積大小的呢？

生 數(shù)一數(shù)被測量的圖形里有幾個1平方厘米的小正方形。

師 是的，我們在測量面積時，就是看被測量的圖形里有幾個1平方厘米這樣的面積單位。帶著這樣的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，猜測一下，怎樣測量角的度數(shù)？

生 看角里有幾個“小角”。

生 我覺得角的大小是看一個角里含有多少個單位角。

師 （出示幾個角）

老師這里有幾個角，如果把它們看作單位角，觀察一下，它們有什么不一樣？

生 大小不同。

師 是的，利用單位角可以幫助我們測量角的大小。那我們該如何選擇單位角呢？請同學(xué)們用桌面上的小角來量大角，看看大角里面有幾個小角。

（學(xué)生測量。教師指名學(xué)生上臺邊擺邊匯報(bào)。）

生 這個角有3個∠A這么大。

生 這個角有2個∠B這么大。

師 結(jié)果為什么不一樣？

生 標(biāo)準(zhǔn)不一樣。

師 怎么解決？

生 需要統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。

（二）動手操作

師 人們將圓平均分成360份，將其中的1份所對的角作為度量角的單位，它的大小就是1度，記作1°。仔細(xì)觀察1°的角，你有什么感覺？

生 太小了，角的兩條邊只張開一點(diǎn)點(diǎn)。

師 閉上眼睛想象一下1°的角有多大。1°的角讓你想到了生活中的什么？

生 針尖。

生 牙簽尖。

師 一小格是1°，（指兩小格的角）

這是幾度？

生 2°。

師 你是怎么知道的？

生 有兩小格，2個1°是2°。

師 （指五小格的角）

這個角是幾度？

生 有五小格，5個1°是5°。

師 回憶一下測量長度的工具長什么樣？

生 測量長度的工具像線段，長長的。

師 現(xiàn)在老師給大家提供了一些1°的單位角，你們能利用單位角制作一個量角工具嗎？在紙上畫一畫。

（學(xué)生獨(dú)立操作，全班展示交流。部分學(xué)生作品如圖1—圖3所示。）

師 同學(xué)們利用單位角制作成了許多不同的量角工具。仔細(xì)觀察這些量角工具，它們有什么相同的地方？它們都是如何測量角的大小的？

生 都是用許多個1°的單位角疊加起來得到的。

生 測量時都是數(shù)測量的角里有幾個1°的單位角。

師 是的，雖然三個作品看起來不一樣，其實(shí)都是用許多個1°的單位角累加起來得到的。在測量時，只要數(shù)一數(shù)單位角的個數(shù)，有幾個就是幾度。同學(xué)們和數(shù)學(xué)家們想到一塊了，我們的量角工具——量角器就是由許多個1°的單位角組成的。（課件出示量角器）

你能在量角器上找到這些單位角嗎？同桌間找一找。

（教師介紹量角器及使用方法。）

（三）梳理對比

師 回顧我們剛剛的學(xué)習(xí)過程——確定度量單位、創(chuàng)造度量工具、用量角器量角的大小，通過這些環(huán)節(jié)，你有哪些體驗(yàn)和收獲？

生 不管是度量長度、面積還是角度，都需要先選擇統(tǒng)一的度量單位。

生 角的測量和我們以前學(xué)習(xí)的長度測量、面積測量有些相似，都是數(shù)有幾個這樣的單位。

生 度量工具的制造上也存在相同的地方，度量工具都是由很多個度量單位疊加在一起得到的。

師 （出示圖4）

是的，以前學(xué)習(xí)的度量長度、面積和今天學(xué)習(xí)的度量角度，在本質(zhì)上是一樣的，都需要先確定度量的單位，再數(shù)圖形中包含多少個度量單位。我們以后也將用這樣的方法去探究其他的度量知識。

二、教學(xué)思考

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中，數(shù)是數(shù)出來的，數(shù)的是計(jì)數(shù)單位；圖形與幾何領(lǐng)域中，度量幾何對象，其實(shí)也是數(shù)出來的，只不過數(shù)的是度量單位。圖形與幾何領(lǐng)域中的度量分為一維、二維、三維，每個維度的度量對象都可以看作相應(yīng)度量單位的累加——這是度量本質(zhì)上的一致性。因此，教學(xué)《角的度量》一課時，教師立足度量本質(zhì)，帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)度量。

（一）在遷移中感知度量本質(zhì)

學(xué)生在學(xué)習(xí)角的度量之前，已經(jīng)學(xué)過長度的度量、面積的度量。教師需要引導(dǎo)學(xué)生在已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，將其遷移運(yùn)用到角的度量上。這樣的類比遷移，有助于學(xué)生初步感知度量的本質(zhì)。

因此，《角的度量》一課課始，教師引導(dǎo)學(xué)生回憶長度和面積的度量方法，喚醒學(xué)生對度量單位、度量工具和度量方法的經(jīng)驗(yàn)。進(jìn)而，在度量兩個角的大小中發(fā)現(xiàn)統(tǒng)一度量標(biāo)準(zhǔn)的必要性。“知道度量的意義，能夠理解統(tǒng)一度量單位的必要性”^［1］是發(fā)展量感的具體內(nèi)容之一。學(xué)生以前學(xué)過的長度、面積的度量經(jīng)驗(yàn)，與角的度量本質(zhì)上是一致的，都是相同度量單位的累加。抓住度量的本質(zhì)，喚醒學(xué)生對長度、面積的度量記憶，進(jìn)而遷移到角的度量的學(xué)習(xí)上。這樣，將知識建立起聯(lián)系，使得學(xué)生學(xué)習(xí)時能達(dá)成事半功倍的效果。

（二）在操作中體驗(yàn)度量本質(zhì)

利用已有經(jīng)驗(yàn)喚醒學(xué)生對度量本質(zhì)的感知后，還需要借助具體的任務(wù)使學(xué)生實(shí)實(shí)在在地認(rèn)識到長度、面積的度量與角度的度量存在一致性（本質(zhì)），而這樣的一致性不是教師告知的，是學(xué)生在具身操作中積累活動經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而主動感悟到的。同時，考慮到角的大小內(nèi)容比較抽象，學(xué)生直接制作量角工具存在一定的困難，因此在讓學(xué)生操作之前，通過問題引導(dǎo)學(xué)生回憶長度的度量工具，讓學(xué)生感受到在度量長度、面積時需要找一個與度量對象長得很“像”的工具。這樣，學(xué)生就自然地推測出度量角也要找一個與角很“像”的工具，主動地構(gòu)建度量工具的一致性。教師出示兩個角讓學(xué)生觀察，也是幫助學(xué)生感受度量工具就是度量單位的累加。

“角的度量”屬于圖形與幾何領(lǐng)域中難度較大的一部分內(nèi)容，由于不少教師對規(guī)定性知識的“偏見”，教學(xué)中常常使用“規(guī)定”一詞來掩蓋知識產(chǎn)生的生動過程和背后的鮮活內(nèi)容，導(dǎo)致學(xué)生量感的缺失。部分學(xué)生對量角和畫角知識掌握得不扎實(shí)，根源就在于不理解量角器的構(gòu)造原理。

學(xué)生在本課制作角的度量工具的過程中，逐步體會到角的度量是一個個1°的單位角的累加，要度量角的度數(shù)只要數(shù)一數(shù)角里含有幾個單位角。學(xué)生清晰地建立了“度”的表象，感受到度量以及累加的思想，發(fā)展了量感。

“數(shù)”既是數(shù)出來的結(jié)果，更是量出來的結(jié)果。學(xué)生對量的體驗(yàn)，除了要建立“一個單位”的標(biāo)準(zhǔn)，更要延伸至“幾個單位”的累加。學(xué)生感受到度量角的大小就是量一量或數(shù)一數(shù)有多少個度量單位，量感的培養(yǎng)就得到了有效落實(shí)。學(xué)生在頭腦中就會深深地刻上標(biāo)準(zhǔn)計(jì)量單位，使量感的形成有了直觀立體的參照。

（三）在關(guān)聯(lián)中強(qiáng)化度量本質(zhì)

數(shù)學(xué)知識具有很強(qiáng)的系統(tǒng)性、銜接性、連貫性、邏輯性，教師在教學(xué)時應(yīng)該在知識之間建立聯(lián)系，幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系。

“角的度量”屬于圖形與幾何領(lǐng)域中的度量，與之前學(xué)習(xí)的長度、面積的度量以及后續(xù)要學(xué)習(xí)的體積的度量具有一致性?！督堑亩攘俊芬徽n中，教師通過問題引導(dǎo)學(xué)生回顧、構(gòu)建知識之間的聯(lián)系。學(xué)生通過本堂課的學(xué)習(xí)，感悟到了長度、面積和角度的度量都需要先統(tǒng)一度量標(biāo)準(zhǔn)，而且在度量工具的制作上也存在相同的地方——都是由若干個度量單位累加起來，在度量時都是數(shù)度量單位的個數(shù)。整個過程，教師不僅關(guān)注了數(shù)學(xué)知識的遷移類推，而且關(guān)注了知識點(diǎn)之間的橫向關(guān)聯(lián)，促進(jìn)了學(xué)生對度量本質(zhì)（一致性）的感知。經(jīng)過對比溝通，學(xué)生體會到度量都要經(jīng)歷相同的流程，即“明確度量對象—建立度量標(biāo)準(zhǔn)—發(fā)明度量工具—正確使用度量工具—獲得一個具體數(shù)值”。這樣，學(xué)生以后在生活中遇到其他需要度量的事物時，自然就會調(diào)動所獲得的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)來解決問題。整個過程不僅是學(xué)生“創(chuàng)造”度量工具便捷做事的智慧體現(xiàn)，更把度量技能教學(xué)的層次上升到了度量意識（量感）培養(yǎng)的高度。

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：7.