摘要： 地震波數(shù)值模擬的精度很大程度上決定了逆時(shí)偏移結(jié)果的分辨率，文中采用保辛近似解析離散化方法，在Birkhoffian 系統(tǒng)下求解黏滯聲波方程，并進(jìn)行振幅補(bǔ)償?shù)哪鏁r(shí)偏移（RTM）。首先，將黏滯聲波方程構(gòu)造成一個(gè)Birkhoffian 系統(tǒng)，對(duì)于該系統(tǒng)采用二階保辛Runge‐Kutta 法進(jìn)行時(shí)間推進(jìn)，分別采用Stereo‐modeling 法（STEM） 和傳統(tǒng)有限差分法進(jìn)行空間算子離散，相應(yīng)得到SSM（Symplectic Stereo‐modeling Method）和CSM（Conventional Symplectic Method）兩種方法。之后，對(duì)SSM 和CSM 進(jìn)行一系列數(shù)值性質(zhì)分析，包括數(shù)值頻散分析、與解析解比較、效率對(duì)比、穩(wěn)定性測(cè)試等。結(jié)果顯示，SSM 的最大數(shù)值頻散誤差約為9%，而CSM 約為26%； SSM 的計(jì)算效率高且長(zhǎng)時(shí)計(jì)算穩(wěn)定，計(jì)算效率約為CSM 的兩倍。最后，應(yīng)用三個(gè)模型進(jìn)行了正演數(shù)值模擬和逆時(shí)偏移試驗(yàn)。對(duì)于衰減數(shù)據(jù)，與聲波RTM 相比，黏滯聲波RTM 成像振幅更高，能獲得與無衰減數(shù)據(jù)聲波RTM 相近的成像振幅。對(duì)于油氣藏模型，SSM 比CSM 的成像精度更高、數(shù)值頻散更小。

關(guān)鍵詞： 黏滯聲波方程，振幅補(bǔ)償，保辛方法，逆時(shí)偏移，數(shù)值頻散

中圖分類號(hào)：P631 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10. 13810/j. cnki. issn. 1000‐7210. 2024. 05. 011

0 引言

社會(huì)經(jīng)濟(jì)的高速發(fā)展，帶動(dòng)了各行業(yè)的快速進(jìn)步，對(duì)于相關(guān)資源的需求也在不斷增加。石油、天然氣的開發(fā)和應(yīng)用對(duì)于中國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展有著重要影響。在油氣勘探領(lǐng)域，地震勘探技術(shù)處于核心地位，發(fā)展新型的勘探方法和偏移技術(shù)，對(duì)了解地震波傳播規(guī)律和提高地震成像分辨率具有重要意義。

逆時(shí)偏移（RTM）可為巖性儲(chǔ)層估計(jì)提供保真的、分辨率高的成像剖面，是地震成像技術(shù)的研究熱點(diǎn)[1‐2]。地震波在傳播過程中會(huì)出現(xiàn)頻散和衰減效應(yīng)。使用品質(zhì)因子（Q）描述的黏滯聲波方程將有助于補(bǔ)償能量損失，進(jìn)而獲得高分辨率的成像結(jié)果[3]。

RTM 的核心步驟是波動(dòng)方程數(shù)值求解。常用的數(shù)值模擬方法包括有限差分法、偽譜法和有限元法等。有限元法能靈活地進(jìn)行網(wǎng)格剖分、精度高、適用于復(fù)雜邊界區(qū)域的成像，但計(jì)算量大，很難高效實(shí)現(xiàn)并行計(jì)算[4]。偽譜法在指定精度下，所需網(wǎng)格數(shù)量少于有限元法和有限差分法，但其局部性能差、不易并行、邊界處理困難，并且可能出現(xiàn)吉布斯現(xiàn)象。有限差分法具有編程簡(jiǎn)單、計(jì)算速度快、存儲(chǔ)需求少、易并行等優(yōu)點(diǎn)，在地球物理領(lǐng)域的數(shù)值模擬中被廣泛應(yīng)用[5]，能求解多種波動(dòng)方程，包括聲波、彈性波和黏彈性波方程[5]。然而，傳統(tǒng)的有限差分法，例如Lax‐wendroff Correction（LWC）方法，在粗網(wǎng)格下或介質(zhì)存在較大速度反差時(shí)會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的數(shù)值頻散[6]。高階格式或加細(xì)網(wǎng)格可以壓制數(shù)值頻散，但會(huì)令計(jì)算量和存儲(chǔ)量大幅增加，從而難以滿足大規(guī)模波場(chǎng)數(shù)值模擬的需求。Yang 等[7‐9] 提出應(yīng)用Stereo‐modeling 法（STEM） 求解聲波和彈性波方程。不同于傳統(tǒng)的有限差分法，STEM 應(yīng)用位移及其空間梯度共同逼近空間高階偏導(dǎo)數(shù)，能夠有效壓制數(shù)值頻散并達(dá)到較高的數(shù)值精度。Li 等[10‐11]將STEM 應(yīng)用于逆時(shí)偏移，結(jié)果表明，相比于傳統(tǒng)有限差分法，STEM 的偏移結(jié)果分辨率更高。

以上有限差分法是在牛頓力學(xué)體系中構(gòu)造的，在格式構(gòu)造過程中較少考慮能量守恒、保持結(jié)構(gòu)不變等物理性質(zhì)，會(huì)因?yàn)閿?shù)值離散和求解過程等引發(fā)系統(tǒng)能量損失。解決的方法之一就是使用保辛方法[12]。保辛方法是一種在哈密頓系統(tǒng)下構(gòu)造的數(shù)值格式，可以保持哈密頓系統(tǒng)隨時(shí)間演化中的一系列量不變，具有長(zhǎng)時(shí)計(jì)算穩(wěn)定性。Feng 等[13]根據(jù)函數(shù)生成理論，針對(duì)常微分方程構(gòu)建了保辛方法的理論框架，發(fā)展了許多不同類型的保辛方法。Qin 等[14]提出了波動(dòng)方程的哈密頓形式，并構(gòu)造了多個(gè)時(shí)間上的多級(jí)保辛方法。Li 等[15]提出了時(shí)間上的三階保辛可分Runge‐Kutta （SPRK）法。馬嘯等[16]基于聲波方程和彈性波方程的哈密頓系統(tǒng)表述，結(jié)合STEM和SPRK 法，提出了近似解析的SPRK（NSPRK）法。Birkhoffian 系統(tǒng)比哈密爾頓系統(tǒng)能夠描述的情況更廣泛，王美霞[17]將STEM 應(yīng)用到達(dá)朗貝爾介質(zhì)中的縱波和P‐SV 波方程，構(gòu)建了廣義Birkhoffian系統(tǒng)，并提出了求解該系統(tǒng)的保辛方法SSM（SymplecticStereo‐modeling Method）。Yang等[18] 將SSM推廣至求解雙相介質(zhì)中的彈性波方程。

本文將SSM 推廣至求解黏滯聲波方程，并進(jìn)行振幅補(bǔ)償?shù)哪鏁r(shí)偏移成像。具體為：首先，將黏滯聲波方程構(gòu)造為一個(gè)廣義Birkhoffian 系統(tǒng)； 然后，采用二階保辛Runge‐Kutta 法進(jìn)行時(shí)間推進(jìn)，并采用低數(shù)值頻散的STEM 進(jìn)行空間離散，從而獲得求解黏滯聲波方程的SSM； 再通過數(shù)值頻散、計(jì)算效率和長(zhǎng)時(shí)計(jì)算穩(wěn)定性對(duì)比等分析方法的優(yōu)勢(shì)； 最后，應(yīng)用多個(gè)模型，進(jìn)行基于黏滯聲波方程的正演數(shù)值模擬和衰減補(bǔ)償?shù)哪鏁r(shí)偏移。結(jié)果表明，所提方法具有低數(shù)值頻散、成像分辨率更高的優(yōu)勢(shì)。

1 求解黏滯聲波方程的保辛格式

1. 1 方法理論

本文應(yīng)用的黏滯聲波方程為[19]