姚 毅，來弘鵬，張 秦，劉禹陽

(1.長安大學 公路學院，陜西 西安 710064；2.中鐵第一勘察設計院集團有限公司，陜西 西安 710043；3.長安大學 建筑工程學院，陜西 西安 710064)

深埋圓形隧道的彈塑性分析是一個經典問題,國內外學者開展了大量研究工作,Kastner解和Fenner解就是其中最具代表性的研究之一[1]。后續(xù)學者在求解過程中,通過應用不同的強度準則、本構關系、流動規(guī)則、限定條件等,得出了不同的解析解。文獻[2-6]基于Hoek-Brown準則進行求解。侯公羽等[7]基于Levy-Mises本構關系進行理想彈塑性材料的求解,并和Kastner解、基于D-P準則的求解以及數(shù)值模擬進行對比。Park等[8]采用不相適應的流動規(guī)則,通過在塑性區(qū)定義三個不同的彈性應變進行求解,并分別對硬巖和軟巖工況進行驗證。文獻[9-10]考慮了圍巖的應變軟化特性進行求解。Li等[11]推導了深埋圓形富水隧道應力與位移分布的彈塑性解,并通過FLAC3D軟件進行了驗證。蔡燕燕等[12]考慮圍巖蠕變全過程與擴容效應,推導了深埋圓形隧洞非線性位移解。張丙強等[13]探討了非達西滲流效應影響下的深埋隧道彈塑性解。

上述所有學者在求解中是將隧道開挖簡化為“厚壁圓筒”問題,見圖1?！皥A筒”內徑即隧道開挖內徑,外徑可視為無限大[10]。經典厚壁圓筒模型忽略了掌子面約束效應,所得解為圍巖塑性區(qū)半徑的上限解。實際工程中,隧道開挖較“厚壁圓筒”模型多了掌子面處的約束,見圖2。文獻[14]表明,該約束效應使得隧道掌子面附近一定范圍的圍巖塑性區(qū)為類似于“子彈頭”的形狀,塑性區(qū)半徑將隨著隧道掘進而不斷發(fā)展。在同等圍巖和支護參數(shù)條件下,不同的開挖進尺(如單次開挖0.5 m或1 m)所產生的圍巖變形和塑性區(qū)擴展規(guī)律是不同的。此外,從動態(tài)設計和施工的角度,當塑性區(qū)發(fā)展至某一狀態(tài)時,可根據工程實際改變支護參數(shù)和開挖進尺,塑性區(qū)將沿著新的路徑發(fā)展。經典上限解不能完全解釋這種特性,在動態(tài)設計和施工的理論支撐方面仍需進一步研究,因此,必須考慮掌子面空間約束效應影響進行修正。

圖1 “厚壁圓筒”塑性區(qū)示意

圖2 隧道開挖模型塑性區(qū)示意

在求解時的強度準則方面,Mohr-Coulomb準則[15]和廣義Hoek-Brown準則[16]分別是文獻中針對土質和石質隧道應用較多的兩個二維準則。因此,本文主要基于Mohr-Coulomb和廣義Hoek-Brown準則進行研究。

首先建立空間約束效應的等效模型,通過等效函數(shù)將約束效應簡化為沿隧道縱向分布的虛擬支護力,并結合彈塑性理論進行兩個強度準則下塑性區(qū)應力和半徑公式的修正。然后,通過3種代表性巖體進行修正公式的算例應用,歸納和揭示了約束效應的本質屬性及約束范圍的求解方法,構建了約束效應、巖體參數(shù)和隧道支護力之間的動態(tài)關系。此外,本文通過巖體參數(shù)(c、φ)轉換,探討了空間約束效應影響下,Mohr-Coulomb和廣義Hoek-Brown準則在計算塑性區(qū)方面的差異。

1 空間約束效應及其等效模型

隧道掘進本質上是由開挖引起的圍巖應力動態(tài)調整過程[1]。初始應力狀態(tài)下,圍巖既是荷載本身也是承載主體,可視為未開挖部分的圍巖承擔了荷載,隧道開挖后荷載逐漸從圍巖向支護結構轉移。圍巖壓力非一次性釋放,而是沿隧道縱向與掌子面不同距離處的開挖斷面有不同的釋放程度,一般情況下,開挖斷面離掌子面越遠,圍巖變形和應力釋放越充分。隨著隧道掘進,掌子面與某個開挖斷面的距離隨時間增大,對該斷面處的圍巖約束逐漸減弱,圍巖壓力不斷釋放,在時間與空間上體現(xiàn)出約束效應,即掌子面約束效應[17],該效應可視為由掌子面虛擬承擔了部分圍巖未釋放的荷載[18-19]。

借用這種虛擬支護力表達,本文提出一種空間等效模型,見圖3。與掌子面前方距離x1的A截面,荷載全部由圍巖承擔,與掌子面后方距離x2的C截面,圍巖傳遞的荷載全部由支護結構承擔,那么其間的任意B截面上由掌子面虛擬支撐的荷載等同于圍巖尚未釋放的荷載。

圖3 約束效應等效模型

用系數(shù)λ表征距掌子面x的B斷面處圍巖應力或位移的釋放程度,即

( 1 )

式中:px、ux分別為與掌子面距離x時釋放的應力和位移;p∞、u∞分別為可釋放的應力和位移最大值。

則對應斷面處圍巖未釋放的比例為1-λ,即掌子面對該斷面提供的等效虛擬支護力為

pi(x)=p0(1-λ)=p0-p0f(x)

( 2 )

式中:pi(x)為與掌子面距離x斷面的虛擬支護力;p0為圍巖初始應力。

系數(shù)λ沿隧道軸向的函數(shù)曲線f(x)決定了等效模型的準確性,由式( 1 )的定義可知,f(x)等價于收斂-約束法中的縱向位移曲線(LDP),文獻[14,20-22]等學者對此已開展相關研究。

一般情況下硬巖隧道開挖后,圍巖應力釋放速率快,軟巖隧道釋放慢,因此f(x)函數(shù)應反映出圍巖特征的差異性[23]。對比發(fā)現(xiàn),文獻[20-22]的曲線基于某種特定圍巖下隧道收斂值的非線性擬合,有一定的局限性,而Vlachopoulos等[14]引入最大塑性區(qū)過程值Rpmax,表征不同的圍巖特性。對半徑為r0的隧道,圍巖條件不同則Rpmax不同,最終體現(xiàn)出不同的函數(shù)值,進一步研究發(fā)現(xiàn)Vlachopoulos等[14]曲線在某個特定圍巖參數(shù)下可與其他三個曲線相重合,因而本文選定的f(x)函數(shù)為

( 3 )

式中:Rpmax為最大塑性區(qū)半徑;r0為隧道開挖半徑。

掌子面前方(x<0)為復雜的三向應力狀態(tài),因此,本文的等效主要指式( 3 )中x≥0部分。聯(lián)立式( 1 )～式( 3 )可實現(xiàn)空間約束效應沿隧道軸線的等效虛擬支護力縱向分布,該虛擬支護力看作隧道支護力的一部分,則距掌子面x斷面處的總支護力可近似看作

pi(x)=pi+p0(1-λ)

( 4 )

式中:pi為由隧道結構提供的支護力;λ取值為式( 3 )中x≥0部分。

2 考慮空間約束效應的塑性區(qū)求解

2.1 塑性區(qū)半徑求解過程

二維簡化力學模型見圖4。以Fenner解和Kastner解為代表的深埋圓形隧道塑性區(qū)半徑有成熟的求解過程[1],一般通過以下假定來簡化力學模型:

圖4 二維簡化力學模型

(1)圍巖均勻、連續(xù)、各向同性。

(2)圍巖初始應力為靜水壓力分布。

(3)隧道有足夠的深埋,且圓形截面尺寸沿軸線保持不變。

首先,塑性區(qū)范圍應力求解。列出平衡方程為

( 5 )

式中:切向應力σθ和徑向應力σr分別被視為第一主應力σ1和第三主應力σ3。

將擬選用的強度準則帶入式( 5 ),考慮空間約束效應,此時r=r0處的邊界條件由σr=pi∣r=r0變?yōu)槭? 4 ),即σr=[pi+(1-λ)p0]∣r=r0,則塑性區(qū)范圍應力解為

( 6 )

式中:塑性區(qū)的切向應力σθp和徑向應力σrp分別可看作半徑r和掌子面距離x的函數(shù)g1(r,x),g(r,x)。

其次,彈性區(qū)范圍應力求解?？芍苯硬捎媒浀涞暮癖趫A筒問題彈性解[1],即

(7)

式中:σθe和σre分別為彈性區(qū)切向和徑向應力;σR為彈塑性界面處的徑向應力,考慮掌子面約束效應影響,該值也為x和r的函數(shù),即σR=f(r,x);Rp為塑性區(qū)半徑。

再次,在彈塑性界面上所求的塑性區(qū)和彈性區(qū)的徑向和切向應力分別相等。

( 8 )

最后,聯(lián)立式( 8 )中兩個方程消去σR,得

(σrp+σθp)|r=Rp=(σre+σθe)|r=Rp=2p0

( 9 )

聯(lián)立式( 6 )和式( 9 )即可求得對應強度準則下的塑性區(qū)半徑公式。

假定圍巖參數(shù)已知,如Hoek-Brown準則中的mb、a、s、σci、GSI或Mohr-Coulomb準則中的c和φ,經典平面應變模型中的隧道塑性區(qū)半徑公式可看作支護力pi和隧道半徑r0的函數(shù),即

Rp=G(r0,pi)

(10)

考慮空間約束效應相當于引入了掌子面距離x這個變量,則該效應影響下的塑性區(qū)半徑公式可表示為

Rp=G(r0,pi,λ)=G(r0,pi,x)

(11)

隧道圍巖條件和開挖半徑一旦確定,不同的掘進尺寸、結構支護強弱即決定了某一斷面的塑性區(qū)范圍和發(fā)展路徑,后續(xù)結合強度準則進行詳細說明。

2.2 Mohr-Coulomb準則下的求解

Mohr-Coulomb準則描述了破壞面上正應力σn和切應力τ間的線性關系,其形式簡潔,僅有黏聚力c和內摩擦角φ兩個參數(shù),成為土木工程領域應用最廣泛的準則之一[15],其主應力表達式為

σ1-σ3=(σ1+σ3)sinφ+2ccosφ

(12)

按照前文求解過程,式(12)帶入平衡方程,并聯(lián)立空間約束效應影響下的邊界條件σr=[pi+(1-λ)p0]∣r=r0,則空間約束效應影響下的塑性區(qū)應力為

(13)

聯(lián)立式(13)和式(9),得

(14)

化簡式(14)并求解,則考慮空間約束效應的塑性區(qū)解析解為

(15)

式(15)為顯式解,若不考慮約束效應,即λ≡1,該式退化為經典的Kastner解,即

(16)

(17)

式中:σcm為巖體強度;c、φ為巖體的兩個參數(shù),但巖體由于結構面的存在,無法通過室內試驗直接獲取,需進行等效代換。

2.3 廣義Hoek-Brown準則下的求解

Hoek-Brown準則反映了巖石單軸抗壓強度和巖體強度間的非線性關系,因而在隧道工程中廣泛應用。該準則自提出后經過多次修正,其中廣義Hoek-Brown準則[16]引入了地質強度指數(shù)GSI和擾動系數(shù)D,因而能較好反映隧道鉆爆開挖過程,其表達式為

(18)

(19)

式中:σci為巖石的無側限抗壓強度;s、a、mi、mb為材料常數(shù),和巖體性質與結構面情況相關;D為擾動系數(shù),在0(未擾動)～1(劇烈擾動)之間取值。

同理,按照2.1節(jié)的求解過程,參照上文Mohr-Coulomb準則,考慮空間約束效應的塑性區(qū)解析解為

(20)

式(20)為隱式解,若不考慮約束效應,即λ≡1,該解析解可退化為曾錢幫等[5]、侯公羽等[7]的求解。

3 圍巖Mohr-Coulomb參數(shù)的等效

Mohr-Coulomb準則下的解析解式(15)在計算時均需代入巖體參數(shù)c、φ。巖體本身由于結構面的存在,其值不能通過室內試驗直接獲取,需要間接等效。Hoek-Brown準則最大的貢獻在于建立了完整巖石和巖體間的關系,因而Mohr-Coulomb參數(shù)一般都是通過Hoek-Brown來等效。

目前,主要有兩種等效方法。一種是瞬時參數(shù)法,主要基于Balmer方程[24],通過嚴密的幾何推導求解,文獻[24-25]學者的思路都是基于此;另一種是Hoek等[16]提出的平均參數(shù)法,見圖5。圖中,σt為巖體抗拉強度。

圖5 Mohr-Coulomb參數(shù)的平均等效

通過平衡主應力面上Mohr-Coulomb和Hoek-Brown準則與坐標軸圍成的面積來求解。

(21)

(22)

σ3n=σ3max/σci

(23)

式中:σ3n是推導中的過程值,由最大圍壓σ3 max和巖石的單軸抗壓強度σci來定義。

深埋隧道巖體強度σcm和最大圍壓σ3 max間的經驗公式[16]為

(24)

(25)

式中:γ為巖體重度;H為隧道埋深。

瞬時參數(shù)法中c和φ是動態(tài)變化的,其中,隨著破壞面上正應力的增加,內摩擦角φ單調遞減,而c單調遞增,求解時需要先確定破壞面上的正應力值,過程十分復雜。平均參數(shù)法形式簡潔,本文后續(xù)的算例中通過式(21)～式(25)進行等效。

4 算例及分析

為驗證掌子面約束效應的影響,并對比兩個強度準則下隧道塑性區(qū)半徑解析解的差異性,本文從文獻[14]中選取3種代表性的圍巖進行計算。圍巖A為一種埋深約1 100 m的軟弱千枚巖,初始應力p0為通過Hoek-Brown公式預估的巖體強度σcm的10倍。圍巖C為典型的硬巖,巖體強度σcm為圍巖A的5倍。圍巖B為中硬巖,強度約為圍巖A的1.68倍。算例參數(shù)見表1[14]。

表1 圍巖參數(shù)

4.1 塑性區(qū)上限

表2 最大無量綱塑性區(qū)半徑結果

由表2可知,硬巖C情況下,Mohr-Coulomb準則和廣義Hoek-Brown準則計算出的塑性區(qū)上限值基本一致,并和Vlachopoulos等的模擬值結果較接近;中硬巖B情況下,兩個準則計算的結果均接近模擬值,最大誤差分別為8.6%、5.7%,其中采用Mohr-Coulomb準則計算的結果相對偏小;軟巖A情況下, 兩個準則間的計算結果差異較大,采用廣義Hoek-Brown準則計算的結果高出約29.3%。表2結果進一步驗證了Hoek等[16]提出的巖體c、φ等效方法,表明該等效法在硬巖和中硬巖情況下較符合,在軟巖情況下有一定偏差,應用時應慎重。若直接采用巖石試樣的室內試驗數(shù)據,由于未考慮結構面的弱化,巖體的c、φ會比等效法得出的結果大,此時采用Mohr-Coulomb準則計算的塑性區(qū)半徑將進一步減小,誤差更大。

4.2 空間約束效應的影響及范圍

取隧道支護力為初始應力的10%,分別計算3種圍巖在空間約束效應下的塑性區(qū)半徑,并和不考慮約束效應的結果進行對比,見表3和圖6～圖8。由表3可知,不考慮空間約束影響,塑性區(qū)半徑是與掌子面距離無關的固定值?？紤]約束效應影響,掌子面附近初期塑性區(qū)范圍逐步增大,見圖6～圖8。以距隧道掌子面1倍洞徑的斷面為例,A、B、C三種圍巖條件下,2個準則計算的平均塑性區(qū)半徑分別約為無約束效應下的20.3%、42.4%、76.2%,且距掌子面越近,空間約束效應的影響越大,圍巖情況越差,約束效應越明顯。

表3 不考慮約束效應的無量綱塑性區(qū)半徑結果

圖6 圍巖A無量綱塑性區(qū)范圍對比

圖7 圍巖B無量綱塑性區(qū)范圍對比

圖8 圍巖C無量綱塑性區(qū)范圍對比

隧道工程一般較關注掌子面5倍洞徑范圍的支護變形情況,認為此時已基本趨于穩(wěn)定。硬巖C較符合該認識,5r0時塑性區(qū)基本不再發(fā)展;對軟巖A則會有重大誤判,隨著掌子面向前掘進,空間效應弱化,塑性區(qū)不斷發(fā)展,直至λ=1時的塑性區(qū)上限(支護力pi=0.1p0時的上限),這在一定程度上解釋了部分軟巖隧道在掘進上百米后變形仍未穩(wěn)定的問題。就本文選取的3種代表性圍巖而言,圖6～圖8所示的約束效應作用范圍分別約為21r0、12r0、5r0,而非固定的5倍洞徑。

5 時空效應的本質屬性討論

由圖6～圖8可知,隨著掌子面向前掘進,時空效應逐漸弱化,當開挖斷面距掌子面足夠遠時,時空效應消失,塑性區(qū)半徑達到上限,掌子面約束效應本質上是決定了塑性區(qū)的發(fā)展路徑,在支護參數(shù)不變的情況下并不改變塑性區(qū)的上限值。本文進一步總結了時空效應與圍巖性質、支護力大小間的關系(pi分別取為pi1、pi2,pi2>pi1),見圖9,假定各曲線代表的隧道開挖半徑相同,則不同曲線對應不同的塑性區(qū)發(fā)展路徑。

圖9 圍巖塑性區(qū)發(fā)展路徑示意

由圖9可知,同等支護力pi1條件下,圍巖越差,塑性區(qū)上限值越大,因此OB曲線對應的圍巖條件要好于OA;同等圍巖條件下,即約束范圍相同(例如都為x0),則支護越強,塑性區(qū)越小,因此OC曲線對應的支護力pi2要大于OA曲線對應的支護力pi1?？紤]掌子面空間約束效應影響就能預測出不同施工條件下塑性區(qū)的發(fā)展路徑,并根據現(xiàn)場情況改變支護和開挖參數(shù),使塑性區(qū)沿新的路徑發(fā)展,進而為動態(tài)設計和施工提供理論支撐。

由圖6～圖8中的曲線來確定約束效應作用范圍一般計算量較大,本文從函數(shù)的角度提出另一種求解思路。一般情況下,當某個已開挖斷面與掌子面無窮遠時,圍巖應力全部釋放,對應等效函數(shù)式( 3 )的表達式,即:當x→+∞,則f(x)→1。

但從工程應用角度,x無窮遠無實際意義,當絕大部分圍巖應力(例如99%)已釋放,即可視為空間約束效應的邊界。本文按f(x)=0.99反算出A、B、C三種圍巖的約束范圍為22.48r0、10.24r0、4.32r0,與圖6～圖8中所示的約束范圍基本相同。當然也可根據工程圍巖變形控制精度要求,對f(x)賦以接近1的某個值,進而定量求解相應的約束范圍。

6 結論

(1)本文對掌子面空間約束效應進行了等效簡化,并考慮該效應的影響分別對Mohr-Coulomb和廣義Hoek-Brown準則下的塑性區(qū)半徑公式進行了修正。

(2)空間約束效應本質上決定了塑性區(qū)的發(fā)展路徑,考慮該效應影響能反映出隧道掘進和塑性區(qū)擴展間的動態(tài)關系,進而為動態(tài)設計和施工提供理論支撐。

(3)空間約束效應的影響范圍由圍巖性質決定,而非某個確定距離(例如5倍洞徑),圍巖條件越差,約束效應的范圍越廣,本文給出了約束范圍的定量求解方法。

(4)本文進一步驗證了Hoek等提出的巖體c、φ等效方法,表明該等效法在硬巖情況下準確性較好,在軟巖情況下有一定偏差,應用時應慎重。計算空間約束效應影響下的隧道塑性區(qū)半徑應根據圍巖條件選取強度準則。在圍巖c、φ等效基礎上,硬巖條件下,采用Mohr-Coulomb準則、廣義Hoek-Brown準則計算的結果差別不大;軟巖條件下,采用Hoek-Brown準則比Mohr-Coulomb準則計算的塑性區(qū)范圍偏大。