蔣秋晴， 王正攀

西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400715

Leavitt代數(shù)是文獻(xiàn)[1]給出的不滿足基數(shù)不變性的一個(gè)典型例子, 一般記作LK(1,n), 其中n是正整數(shù), K是一個(gè)域． Leavitt路代數(shù)是基于有向圖定義的滿足一定生成關(guān)系的一類代數(shù), 是Leavitt代數(shù)的自然推廣, 由文獻(xiàn)[2-3]各自獨(dú)立引入． Leavitt路代數(shù)與Bergman代數(shù)、 圖C*-代數(shù)、 半群等若干類代數(shù)有著密切聯(lián)系, 近些年受到了廣泛關(guān)注, 有限維Leavitt路代數(shù)是一類半單代數(shù)[4-8]．

Hopf代數(shù)的分類, 是代數(shù)學(xué)者長期關(guān)注的重要問題, 近年來, Hopf代數(shù)也在組合研究領(lǐng)域中嶄露頭角[9]． 有限維半單代數(shù)上有豐富的Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)[10-11], 相關(guān)研究在Hopf代數(shù)的分類中舉足輕重, 有向圖也是研究Hopf代數(shù)分類問題的手段之一[12-13]． 有限維Leavitt路代數(shù)作為半單代數(shù)自然也有Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu), 但Leavitt路代數(shù)同時(shí)具有整數(shù)分次結(jié)構(gòu)(Z-分次結(jié)構(gòu))[14], 其上是否具有Z-分次的Hopf代數(shù)結(jié)構(gòu)尚不清楚, 本文給出了有限維Leavitt路代數(shù)具有Z-分次雙代數(shù)結(jié)構(gòu)的充要條件．

(a) 結(jié)合性:m(I?m)=m(m?I);

(b) 單位性:m(I?μ)=s2,m(μ?I)=s1;

(c) 余結(jié)合性: (I?Δ)Δ=(Δ?I)Δ;

(d) 余單位性:s2(I?)Δ=I=s1(?I)Δ;

則稱B是一個(gè)K-雙代數(shù), 記μ(1K)=1, 則1是B的單位元[15]． 若B=?n∈ZBn是K-雙代數(shù), 且滿足:

(i)BiBj?Bi+j(?i,j∈Z);

(ii) ΔBn??i+j=nBi?Bj(?n,i,j∈Z);

則稱B是Z-分次K-雙代數(shù)．

r′(e)=r(e)r′(e*)=s(e)s′(e)=s(e)s′(e*)=r(e)

(V)uv=δu,vv(?u,v∈Γ0);

(E1)s(e)e=er(e)=e(?e∈Γ1);

(E2)r(e)e*=e*s(e)=e*(?e∈Γ1);

(CK1)e*e′=δe,e′r(e)(?e,e′∈Γ1);

稱Γ為LK(Γ)的底圖． 對?v∈Γ0,e∈Γ1, 定義

deg(v)=0 deg(e)=1 deg(e*)=-1

則LK(Γ)形成Z-分次K-雙代數(shù)．

一些簡單的底圖上的Leavitt路代數(shù)同構(gòu)于我們熟知的若干代數(shù)． 例如, 全矩陣代數(shù)Mn(K)同構(gòu)于LK(Γ1), 其中n為正整數(shù),Γ1為有向n-線性圖, 即由n個(gè)頂點(diǎn)、n-1條首尾相連的邊形成的有向圖． 又如, 勞倫多項(xiàng)式代數(shù)K[x,x-1]同構(gòu)于LK(Γ2), 其中(Γ2)0={v}, (Γ2)1={e}, 且s(e)=r(e)=v． 再如, Leavitt代數(shù)LK(1,n)同構(gòu)于LK(Γ3), 其中n為大于1的正整數(shù), 且(Γ3)0={v}, (Γ3)1={e1, …,en}, 對?i=1,…,n, 有s(ei)=r(ei)=v．

另外, 有限維Leavitt路代數(shù)含有單位元, 且同構(gòu)于某一個(gè)分塊矩陣代數(shù)[5,16]．

引理2若Leavitt路代數(shù)LK(Γ)是有限維K-代數(shù), 則必存在?！涫怯邢迋€(gè)有限線性圖的并, 使得LK(Γ)?LK(Γ′)．

引理3若Γ是有限個(gè)有限線性圖的并, 則B={ρ,ρ*:ρ∈Path(Γ)}是LK(Γ)的一個(gè)K-基．

定理1有限維Leavitt路代數(shù)形成Z-分次雙代數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)其底圖含有孤立點(diǎn)．

證據(jù)引理2、 引理3, 假設(shè)Γ是有限個(gè)有限線性圖的并, 且B是由Γ的路徑形成的LK(Γ)的K-基．

必要性已知LK(Γ)具有Z-分次雙代數(shù)結(jié)構(gòu)． 因?yàn)槭谴鷶?shù)同態(tài), 所以

(v)=1

且對?v∈Γ0, 有(vv)=(v)(v)=(v), 即(v)∈{0, 1}． 故存在唯一的u∈Γ0, 使得對?v∈Γ0, 有(v)=δuv． 下證u是孤立點(diǎn), 否則, 必存在e∈Γ1, 使得s(e)=u或r(e)=u． 不妨假設(shè)s(e)=u． 注意到u≠r(e), 有(ee*)=(e)(e*)=(u)=1, 即(e)≠0． 另一方面(e)=(er(e))=(e)(r(e))=0, 矛盾． 因此,u為孤立點(diǎn)．

充分性若Γ含孤立點(diǎn), 令B=B1∪ + B2, 其中B1={v1, …,vt}為Γ的孤立點(diǎn)集． 任取β∈B{vt}, 定義

(vt)=1(β)=0

(1)

以下僅需分別驗(yàn)證雙代數(shù)的定義中的(c),(d),(e)3條．

(d)任取vi∈B1, 有

任取β∈B2, 有

即s1(?I)Δ=I=s2(I?)Δ．

任取β∈B2, 基于(1)式可得

即(Δ?I)Δ=(I?Δ)Δ．

Δ是代數(shù)同態(tài)． 任取λ,γ∈B, 若λ,γ∈B1, 則

即Δ(λγ)=Δ(λ)Δ(γ)． 若λ,γ∈B2, 當(dāng)λγ=0時(shí), 顯然Δ(λγ)=0=Δ(λ)Δ(γ); 當(dāng)λγ≠0時(shí), 則存在κ∈B2使得κ=λγ, 且

即Δ(λγ)=Δ(κ)=Δ(λ)Δ(γ)． 當(dāng)λ,γ不同時(shí)在B1或B2時(shí), 顯然Δ(λγ)=0=Δ(λ)Δ(γ)． 總之, 對?λ,γ∈B, Δ(λγ)=Δ(λ)Δ(γ)．

綜上所述, (LK(Γ),m,μ, Δ,)可形成Z-分次雙代數(shù)．