黃小林,李糧杰,張燕寧,馬 彬

(桂林電子科技大學(xué) 建筑與交通工程學(xué)院,廣西 桂林 541004)

0 引 言

石墨烯增強功能梯度復(fù)合材料(Functionally Graded Graphene Platelets Reinforced Composites,FG-GPLs)是由石墨烯納米片作為增強相沿一個或多個方向梯度分布于基體材料而制成的復(fù)合材料[1-3].相比于傳統(tǒng)材料,FG-GPLs結(jié)構(gòu)具有更加優(yōu)異的物理機械性能,重量更輕,承載能力更高,可用于航天航空飛行器、潛艇、高速列車等工程結(jié)構(gòu).

目前關(guān)于FG-GPLs殼體穩(wěn)定性的研究有有限元、Galerkin法等解析法和數(shù)值法.由于彈性模量等材料的物性參數(shù)在厚度等某一個/多各方向連續(xù)變化,用有限元分析往往需采用三維有限元,節(jié)點很多,計算量較大,故對于形狀規(guī)則的FG-GPLs殼體結(jié)構(gòu),在建立其靜/動力穩(wěn)定的控制方程后用Garleikin法等解析法更簡便.例如,Ansari等[4]用解析法研究了FG-GPLs圓筒殼的后屈曲問題,討論了長徑比和石墨烯分布模式對臨界屈曲荷載的影響.Sun等[5]用辛分析法研究了多層FG-GPLs圓筒殼的扭轉(zhuǎn)屈曲,發(fā)現(xiàn)殼體長度對臨界屈曲荷載的影響較大,而殼體厚度的影響較小.此外,Chen等[6]分析過彈性介質(zhì)中FG-GPLs夾心圓筒殼的屈曲特性,發(fā)現(xiàn)彈性介質(zhì)對殼體屈曲行為有顯著影響.由于制備技術(shù)的不足,FG-GPLs材料中常存在孔隙,且孔隙會影響結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性[7].因此,孔隙對殼體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響是研究者們關(guān)注的焦點.基于Garleikin法,Shahgholian等[8]通過研究軸向荷載激勵下含孔隙的FG-GPLs圓筒殼的屈曲特性,發(fā)現(xiàn)殼體邊界條件和石墨烯納米片的幾何尺寸對臨界屈曲荷載有較大影響.Zhou等[9]通過數(shù)值法和實驗分析含孔隙的FG-GPLs圓筒殼的非線性屈曲,發(fā)現(xiàn)殼體的邊界條件和面內(nèi)約束對屈曲行為有顯著影響.基于最小勢能原理,Li等[10]研究了均勻徑向荷載下含孔隙的FG-GPLs圓筒殼屈曲失效機理,得出孔隙會降低圓筒殼的臨界屈曲壓力.文獻(xiàn)[11-12]采用一階剪切變形理論研究了多孔FG-GPLs圓筒殼的屈曲行為,結(jié)果發(fā)現(xiàn)側(cè)向壓力和孔隙分布模式對圓筒殼臨界屈曲荷載有較大影響.

綜上所述,目前關(guān)于FG-GPLs殼體穩(wěn)定性的研究大都集中于圓筒殼的屈曲,對圓錐殼特別是多孔截錐殼動力穩(wěn)定性的研究很少,而且對多孔FG-GPLs材料的物性參數(shù)均直接假定了物性參數(shù)的分布.因此,本文根據(jù)孔隙的分布假定孔隙的體積組分,基于Halpin-Tsai微觀力學(xué)模型計算物性參數(shù),并通過Boltin法分析軸向激勵和彈性介質(zhì)作用下FG-GPLs截錐殼的動力穩(wěn)定性,為該類殼體結(jié)構(gòu)的設(shè)計提供理論基礎(chǔ).

1 截錐殼模型

圖1 彈性介質(zhì)中FG-GPLs截錐殼 Fig.1 FG-GPLs truncated conical shell in elastic medium

如圖1所示,采用正交曲線坐標(biāo)系(s,θ,z),彈性介質(zhì)中的石墨烯增強復(fù)合材料截錐殼受沿s軸方向均勻分布的周期荷載Fs(t)作用:

Fs(t)=FS+FDcos(ξt)

(1)

式中,FS為靜載荷部分,FD為動載荷部分,ξ為激勵頻率.

設(shè)截錐殼臨界屈曲荷載為Fcr,引入靜載系數(shù)α=FS/Fcr和動載系數(shù)β=FD/Fcr,則有:

Fs(t)=[α+βcos(ξt)]Fcr

(2)

設(shè)殼體的半錐角、錐段長度和厚度分別為γ、L和h,小頭半徑和大頭半徑分別為R1和R2,撓度為w,彈性介質(zhì)的壓縮剛度和剪切剛度分別為Kw和Kp.忽略介質(zhì)中阻尼和慣性力的影響,彈性介質(zhì)對截錐殼的反作用力表示為:

式中,w為殼體中面的撓度。

由于金屬等基體材料自身的原因或現(xiàn)有材料合成技術(shù)不足,FG-GPLs往往會產(chǎn)生孔隙,孔隙的分布類型也多種多樣.為簡化起見,本文只研究沿厚度方向的3種典型分布,如圖2所示.圖2(a)中P1為孔隙由中面向內(nèi)外表面逐漸減少的類型;圖2(b)中P2為孔隙由中面向內(nèi)外表面逐漸增大的類型;圖2(c)中P3為均勻分布類型.石墨烯納米片沿厚度方向的分布有5種類型,如圖3所示:從中面向內(nèi)外表面逐漸非線性增多的G1型,從中部向內(nèi)外表面非線性減小的G2型、均勻分布的G3型,從中面到內(nèi)、外表面線性增多的G4類型和從中面向內(nèi)外表面線性減少的G5型.圖3中Si1、Si2、Si3、Si4和Si5分別為G1、G2、G3、G4和G5石墨烯分布下石墨烯體積含量的最大值.

(a) G1分布 (b) G2分布 (c) G3分布 (d) G4分布 (e) G5分布

假設(shè)孔隙的體積組分:

(4)

截錐殼的密度:

式(4)和式(5)中:κ0、κ1和λ分別為P1、P2和P3分布的孔隙系數(shù),ρ*為不含內(nèi)部孔隙石墨烯增強截錐殼的密度,χ0,χ1和λ′分別為P1,P2和P3分布質(zhì)量密度系數(shù).

截錐殼的有效彈性模量、泊松比和剪切模量可表示為:

E(z)=E*(1-VP)

(6)

v(z)=v*(1-VP)

(7)

G(z)=G*(1-VP)

(8)

式中,E*、v*和G*分別為無孔隙截錐殼的楊氏彈性模量、泊松比和剪切模量.

由泡沫金屬材料的彈性模量和密度之間的關(guān)系

由式(9)可得質(zhì)量密度系數(shù)和孔隙系數(shù)的關(guān)系:

由(10)可看出,給定孔隙體積的分布系數(shù)κ0、κ1和λ可分別計算質(zhì)量密度系數(shù)χ0、χ1和λ′.

假設(shè)不同孔隙分布?xì)さ目傎|(zhì)量相同,有:

根據(jù)式(11),給定孔隙系數(shù)(如κ0),其他孔隙系數(shù)可以確定.

無孔隙截錐殼的彈性模量、泊松比和密度分別用修正的Halpin-Tsai細(xì)觀模型和混合律表示如下:

(12)

ν*=νGPLVGPL+νm(1-VGPL)

(13)

ρ*=ρGPLVGPL+ρm(1-VGPL)

(14)

式中:Em為基體材料的彈性模量,VGPL為石墨烯的體積組分,ρGPL和νGPL分別為石墨烯的質(zhì)量密度和泊松比,而ρm和νm分別為基體材料所對應(yīng)的值.ξL,ηL,ξW和ηW定義為:

(15)

(16)

式中:aGPL、bGPL、hGPL分別為石墨烯納米片的長、寬、高.

石墨烯的體積組分VGPL假設(shè):

(17)

設(shè)5種GPL分布中石墨烯總含量相等,則有:

(18)

式中,ΛGPL為石墨烯的體積組分,可由質(zhì)量組分WGPL計算:

2 控制方程及求解

引入變量φ=θsin(γ)和應(yīng)力函數(shù)Φ.應(yīng)力函數(shù)與面內(nèi)力的關(guān)系為:

令s=S1ex,Φ=Φ1e2x,根據(jù)Donnell經(jīng)典薄殼理論和Hamilton原理,可推導(dǎo)截錐殼振動的控制方程:

(21)

H21(Φ1)+H22(w)=0

(22)

設(shè)截錐殼的邊界條件為兩端簡支,則當(dāng)x=0和x=x0時,w=Mx=0,其動撓度的形式解設(shè)為:

將式(23)代入式(22),由諧波平衡法可得應(yīng)力函數(shù)的形式解:

(24)

式中,系數(shù)K1～K4見文獻(xiàn)[13].將式(23)和(24)代入式(21),兩邊同乘以exsin(m1x)sin(n1φ),并進(jìn)行Galerkin積分可得二階線性微分方程組:

式中:M、Km和Kg分別為質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和幾何矩陣,δ為位移系數(shù)向量即為[w11(t),w12(t),…,wm1n1(t),…].

式(25)為經(jīng)典的Mathieu-Hill方程,描述了截錐殼在周期動荷載作用下的動力穩(wěn)定行為.用Bolotin方法分析FG-GPLs殼體的動力不穩(wěn)定區(qū)域.為求某一模態(tài)(m,n)下截錐殼的動力非穩(wěn)定區(qū)域,將此模態(tài)下的δm1n1展開為奇數(shù)階傅里葉級數(shù),有:

式中:δ周期為2Tθ,Tθ=2π/ξ.

若將δ展開為偶數(shù)階傅里葉級數(shù),則有:

式(26)和(27)中,ak和bk均為待定系數(shù).

對中面對稱的混合板殼,根據(jù)非穩(wěn)定區(qū)域的計算方法,周期為2Tθ的非穩(wěn)定區(qū)域比周期為Tθ的更大[14],故本文只考慮周期為2Tθ的解.由于:

(28)

將式(28)～(29)代入式(26),由待定系數(shù)ak的正弦和余弦系數(shù)分別相等可得以下方程組:

將式(28)～(29)代入式(27),由系數(shù)bk的正弦和余弦系數(shù)分別相等可得以下方程組:

(32)

上述方程組如果有非平凡解,其系數(shù)矩陣對應(yīng)的行列式應(yīng)為零.若取一階項k=1能滿足精度要求,有:

其非平凡解應(yīng)滿足:

給定靜荷載系數(shù)α,由公式(35)可計算動荷載參數(shù)β下截錐殼的臨界激勵頻率,并得到非穩(wěn)定區(qū)域的邊界曲線β-ξ,β=0時的激勵頻率為臨界激勵頻率.

3 算例比較和參數(shù)分析

表1 各向同性截錐殼頻率參數(shù)Ω的比較

圖4顯示了石墨烯增強圓筒殼固有頻率隨全波數(shù)n的變化曲線,并與文獻(xiàn)[16]的結(jié)果進(jìn)行了對比.當(dāng)γ→0,S1→∞,S1sinγ=R,S2=S1+L,x0=L/S1時,截錐殼近似簡化為圓筒殼.其中,石墨烯的彈性模量EGPL= 1 020 GPa,泊松比vGPL=0.3,密度ρGPL= 2 300 kg/m3.基體材料彈性模量Em=3 GPa,泊松比vm=0.34,密度ρm= 1 200 kg/m3.圓筒殼厚度h=2 mm,R/h=80,L/R=5,半波數(shù)m=1,石墨烯質(zhì)量含量WGPL=1%,孔隙系數(shù)e0=0.2.圖5計算了無空隙的石墨烯增強圓筒殼在軸向動荷載作用下的非動力穩(wěn)定區(qū)域,并與文獻(xiàn)[17]的結(jié)果進(jìn)行了對比.圓筒殼的物性參數(shù)同圖4,圓筒殼尺寸h=15×10-4m,R/h=20,L/h=10,取模態(tài)(m,n)=(1,1).

從前面的3個對比算例可看出,本文計算結(jié)果與相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果是比較接近的,說明本文的計算方法比較可靠,下面討論石墨烯、孔隙等各種參數(shù)對石墨烯增強圓錐殼動力穩(wěn)定的影響.

圖4 多孔石墨烯增強圓筒殼的固有頻率

3.2 參數(shù)分析

圖6顯示了半波數(shù)m和全波數(shù)n對臨界激勵頻率ξ*的影響.由圖可看出,臨界激勵頻率ξ*隨著半波數(shù)m的增大而增大.當(dāng)全波數(shù)n從1變化到6時,臨界激勵頻率ξ*也隨之增大,而當(dāng)n大于6時,臨界激勵頻率隨n的增大而減小,可見在模態(tài)(m,n)=(1,6)時,臨界激勵頻率取得最小值.因此,后面的參數(shù)分析中取(m,n)=(1,6).

圖6 半波數(shù)m和全波數(shù)n對臨界激勵頻率的影響Fig. 6 Effects of half-wave number and full-wave number on critical excitation frequency

圖7反應(yīng)了石墨烯和孔隙分布模式對非穩(wěn)定區(qū)域的影響.P1分布下5種石墨烯分布的臨界激勵頻率分別為1.028、0.952、0.981、1.012和0.970,P2分布為1.009、 0.942、 0.966、 0.995和0.957,P3分別為1.021、0.948、0.976、1.006和0.965.可見,在5種石墨烯分布中,G1分布的臨界激勵頻率最大,G2分布的最小.而在3種孔隙分布模式中,P1分布的臨界激勵頻率最大,P2分布的最小.從圖還可以得到,石墨烯和孔隙的分布模式對截錐殼的動力不穩(wěn)定區(qū)域也有影響.在5種石墨烯分布中,G2的穩(wěn)定區(qū)域最大,G1的最小.可見,G2的動力穩(wěn)定性最好.

半錐角對非穩(wěn)定區(qū)域的影響如圖8所示.半錐角為10°、30°、50° 和70°時,臨界激勵頻率分別為0.929、1.028、1.021和0.946,Δl為0.635、0.703、0.698和0.647.可見,半錐角為30°時,臨界激勵頻率和非穩(wěn)定區(qū)域最大,穩(wěn)定性最弱.

(a) P1 (b) P2 (c) P3

圖9分別考慮了靜載系數(shù)α=0,軸向壓力α=0.3和α=0.5,軸向拉力α=-0.5和α=-0.3對非穩(wěn)定區(qū)域的影響.在軸向壓力作用下,臨界激勵頻率隨軸向壓力的增大而變小,而非穩(wěn)定區(qū)域隨軸向壓力的增大而增大.在軸向拉力作用下,臨界激勵頻率和非穩(wěn)定區(qū)域均隨軸向拉力的增大而增大.

圖8 不同半錐角的非穩(wěn)定區(qū)域

圖9 不同靜載系數(shù)的非穩(wěn)定區(qū)域Fig. 9 Unstable regions under different static loads coefficients

圖10顯示了石墨烯含量對非穩(wěn)定區(qū)域的影響.隨著石墨烯質(zhì)量含量的提高,臨界激勵頻率和非穩(wěn)定區(qū)域都增大,可見,石墨烯在提高截錐殼剛度的同時削弱了其穩(wěn)定性.

如圖11所示,當(dāng)孔隙系數(shù)κ0從0.1變化到0.5時,臨界激勵頻率和非穩(wěn)定區(qū)域變化很小,對截錐殼的動力穩(wěn)定性可以忽略.

彈性介質(zhì)對非穩(wěn)定區(qū)域的影響如圖12所示.壓縮和剛度參數(shù)(Kw,Kp)取(10,0)、(0,1)時,臨界激勵頻率和非穩(wěn)定區(qū)域比(0,0)大,且剪切參數(shù)Kp比壓縮參數(shù)Kw對動力穩(wěn)定的影響更大.

圖10 不同石墨烯含量的非穩(wěn)定區(qū)域

圖11 不同孔隙系數(shù)的非穩(wěn)定區(qū)域

圖12 不同彈性介質(zhì)的非穩(wěn)定區(qū)域Fig.12 Unstable regions under different elastic medium

4 結(jié) 論

本文基于孔隙的體積組分,根據(jù)Halpin-Tsai微觀力學(xué)模型計算了多孔FG-GPLs截錐殼的物性參數(shù),用Boltin法計算了動力穩(wěn)定區(qū)域的解析解,并討論了石墨烯、孔隙等因素對截錐殼動力穩(wěn)定的影響.主要結(jié)論如下:

1)3種孔隙分布中,P1類型孔隙分布的臨界激勵頻率最大,在5種石墨烯分布中,G2分的臨界激勵頻率和非穩(wěn)定區(qū)域均最大;

2)軸向壓力降低了截錐殼的臨界激勵頻率,而軸向拉力增大了臨界激勵頻率;

3)臨界激勵頻率和非穩(wěn)定區(qū)域隨石墨烯質(zhì)量含量的增大而增大;

4)在10°、30°、50°和70°半錐角中,30°的臨界激勵頻率最大,但穩(wěn)定性最差.

5)與壓縮剛度相比,剪切剛度對截錐殼的動力穩(wěn)定性影響更顯著.