魏 旭, 唐 童

(1.河海大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 南京 210098; 2.揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225002)

0 引 言

在宏觀描述中,氣體可以看作是一個(gè)連續(xù)統(tǒng)一體,在給定的時(shí)間t∈R和區(qū)域Ω∈Rn,氣體的狀態(tài)方程完全可以由密度ρ=ρ(t,x)速度u=u(t,x),溫度θ=θ(t,x)和質(zhì)量分?jǐn)?shù)Z=Z(t,x)表示,這里x∈Ω?Rn,n=3.氣體的運(yùn)動(dòng)方程可以被Navier-Stokes方程控制,本文中,筆者研究如下氣體方程:

ρt+div(ρu)=0,

(1)

(ρu)t+div(ρu?u)+?p=divT-ρ?Φ,

(2)

(ρE)t+div(ρuE+up)+divQ=div(Tu)-ρ?Φu,

(3)

(ρZ)t+div(ρuZ)=-Kf(ρ,θ)Zm+divY.

(4)

這里ρ,u,θ,p,e和K分別表示密度、速度、溫度、壓強(qiáng)、內(nèi)能和反應(yīng)速率.T表示粘性應(yīng)力張量且

T=μ(?u+(?u)T)+λ(divuI).

(5)

這里I表示單位矩陣,μ和λ分別表示粘性系數(shù)和第2粘性系數(shù)并且滿足如下條件:

(6)

為了簡(jiǎn)化表示,在本文中,只考慮多方氣體,因此氣體的狀態(tài)方程為

(7)

為了方便計(jì)算,令A(yù)=1,則壓力可以表示為

p=(γ-1)ρe.

(8)

從物理角度來(lái)說(shuō),Φ表示引力勢(shì)能具有如下形式:

(9)

它是由 Poisson 方程決定的,即

ΔΦ=4πGρ,G≥0.

(10)

如果考慮地球引力,則G>0表示萬(wàn)有引力常數(shù).在本文中,用G=0表示無(wú)地球引力.能量E表示為

(11)

這里q≥0表示生成氣體產(chǎn)生的熱量差.Q表示熱流,具有如下形式:

Q=-κ?θ-qY,

(12)

這里κ≥0表示導(dǎo)熱系數(shù),并且假設(shè)物質(zhì)的擴(kuò)散速度Y由Fick定律給出,即Y=dρ?Z反應(yīng)函數(shù)f決定了燃燒的性質(zhì),假設(shè)f滿足著名的Arrhenius-type 定律,即

(13)

這里c0,c1>0,r≤4,l≥1,θI≥0 表示引燃溫度.當(dāng)實(shí)際溫度大于引燃溫度時(shí),燃燒將會(huì)發(fā)生.

近些年來(lái),對(duì)于系統(tǒng) (1)～(4) 的研究有許多結(jié)果,請(qǐng)讀者閱讀文獻(xiàn)[1-12].本文中,筆者在空間C1([0,T],Hm(Rn))中研究系統(tǒng) (1)～(4) 光滑解的爆破,在這里補(bǔ)充系統(tǒng) (1)～(4)的初值:

(ρ,u,θ,Z)(x,t=0)=(ρ0(x),u0(x),θ0(x),Z0(x))∈Hm(Rn).

(14)

suppρ0(x)?BR0,

(15)

其中BR=BR(0)表示在Rn中以原點(diǎn)為中心,R0為半徑的球.則在這個(gè)條件下得到密度ρ=ρ(t,x)在空間中存在緊支集.因此,R(t)=inf{r|suppρ(x,t)?Br}是有明確定義的并且對(duì)于t∈[0,T]是有限的.

目前,在流體力學(xué)中,爆破問(wèn)題是一個(gè)非常重要的研究領(lǐng)域.許多的文獻(xiàn)都致力于研究常系數(shù)下系統(tǒng)的爆破現(xiàn)象.在1985年,Sideris[13]證明了當(dāng)初值在有界集外為常數(shù)且初始速度有緊支集時(shí),可壓縮Euler方程的解是有限的.Xin[14]在假設(shè)密度的緊支集隨著時(shí)間次線性增長(zhǎng)及熵有下界的條件下,證明了初始密度有緊支集條件下可壓縮NS方程的Cauchy問(wèn)題光滑解的爆破,其結(jié)果被認(rèn)為是一個(gè)突破性的成果.Jiu等[15]證明了粘性系數(shù)依賴于密度的可壓縮流體的爆破現(xiàn)象.讀者也可以參見(jiàn)文獻(xiàn)[16-17]及其所引文獻(xiàn).

本文中,筆者將 Xin[14]的爆破結(jié)果推廣到粘性可壓縮氣體模型中.不需要假設(shè)熵是有界的,受文獻(xiàn)[15,18]的啟發(fā),利用物理量之間特殊的泛函關(guān)系及使用 H?lder不等式、柯西不等式等特殊的方法,證明了對(duì)于初始密度有緊支集的粘性可壓縮反應(yīng)氣體模型的光滑解將在有限時(shí)間內(nèi)爆破.

1 主要結(jié)果

在給出本文主要定理之前,首先給出一些基本的物理量如質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、能量以及他們之間特殊的的泛函關(guān)系.這些物理量的性質(zhì)在證明定理的過(guò)程中具有重要的作用.

假設(shè)

M(0),F(0),H(0),ε(0)-qMZ(0)<∞且M(0)>0,ε(0)-qMZ(0)>0.

(16)

初值 (14) 滿足條件 (15) 和 (16).若滿足下列條件之一:

i)κ=0; ii)κ>0,θ=0當(dāng)ρ=0時(shí).

(17)

則可以得到

1) 當(dāng)G>0時(shí),

(18)

和

(19)

2) 當(dāng)G=0時(shí)

(20)

和

(21)

2 定理1的證明

引理1對(duì)于系統(tǒng) (1)～(4),可以得到

(22)

證首先,在 (1) 兩端同乘|x|2并對(duì)得到的等式在Rn上積分,得

(23)

其次,在Rn上積分(1)和(3),由(1)和(9),得到等式:

(24)

最后,用x與(2)做內(nèi)積并在Rn上積分,推出:

(25)

在這里,使用了等式

(26)

命題1令(ρ,u,θ,Z)∈C1([0,T],Hm(Rn))是系統(tǒng)(1)～(4)的解,且初值(14)滿足條件(15)和(16).

1) 當(dāng)G>0時(shí),

(27)

和

(28)

則

(29)

2) 當(dāng)G=0時(shí),

(30)

和

(31)

則

(32)

證首先,對(duì)(3)和(4)在Rn×[0,s]上積分,得

(33)

ε(t)-R(t)≥ε(0)-qMZ(0).

(34)

因此,

(35)

n(γ-1)ε(t)-n(γ-1)R(t)≥n(γ-1)(ε(0)-qMZ(0)).

(36)

因此,

(37)

另一方面,令x(t;x0)表示當(dāng)t=0時(shí),粒子在x0的路徑,即

(38)

則由(38),用Ω(t)表示x在BR0中形成的閉域,即

Ω(t)={(x,t)|x=x(t,x0),?x0∈BR0}.

(39)

suppρ?Ω(t)?BR(t).

(40)

從 (22) 中可以估計(jì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的上界,如下所示:

(41)

因此,從(35),(37)和(41)中,可以得到命題1的第1個(gè)結(jié)論.

當(dāng)G=0時(shí),此時(shí)W(t)=0,A(t)=2Ek(t)+n(γ-1)Ei(t),ε(t)=Ek(t)+Ei(t)+R(t).

2ε(t)-2R(t)≥2(ε(0)-qMZ(0)).

(42)

由此得

H(t)≥(ε(0)-qMZ(0))t2+F(0)t+H(0).

(43)

n(γ-1)ε(t)-n(γ-1)R(t)≥n(γ-1)(ε(0)-qMZ(0)).

(44)

此時(shí),

(45)

同(41),證得命題1成立.

的解,若ρ和θ滿足如下關(guān)系式:

當(dāng)ρ=0時(shí),θ=0.

(46)

則得

u≡0,x∈BcR(t).

(47)

進(jìn)一步,可以得出當(dāng)0

證根據(jù)(2),(3),(40)和(46),在{t}×RNΩ(t)中有

(48)

由(5)計(jì)算可得

div(uT)-udivT=

(49)

這里假設(shè)λ≤0,根據(jù) (48),(49) 和柯西不等式,得到在{t}×RNΩ(t)上:

(50)

同理,對(duì)于λ>0可得

(51)

因此,由(50)和(51)可得

(52)

因此,從(52)和u∈Hn(Rn)推出

u=0在 {t}×RNΩ(t)上.

(53)

從(52)和Ω(t)的定義得出,對(duì)于x0∈?BR0,

(54)

u(x(t;x0),t)=0.

(55)

所以,對(duì)于0≤t≤T,得到R(t)=R0.

證畢.

結(jié)合命題1和引理2推斷出定理1是成立的.