陳正隆,李同杰,李曉貞

(安徽科技學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院,安徽 鳳陽 233100)

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,仿生學(xué)和智能機(jī)器人技術(shù)越發(fā)成熟,關(guān)節(jié)作為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的重要部件,結(jié)構(gòu)和尺寸越來越精密,由仿生學(xué)引起的機(jī)器人熱點(diǎn)分類——柔性機(jī)器人,被學(xué)術(shù)界視為最有可能的新一代機(jī)器人發(fā)展方向[1-2]。傳統(tǒng)關(guān)節(jié)主要是以剛性結(jié)構(gòu)為主,靈活性、安全性較差,基于此原因人們開始研究具有彎曲性、靈活性的關(guān)節(jié),并將這類關(guān)節(jié)稱為柔性關(guān)節(jié)[3-4]。

柔性關(guān)節(jié)廣泛地在工業(yè)、醫(yī)療等各個(gè)領(lǐng)域內(nèi)應(yīng)用,驅(qū)動(dòng)繩和形狀記憶合金是目前廣泛采用小型柔性關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)方式[5]。Dong等[6]已研制一種由3根柔性的繩索來驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的蛇形臂機(jī)器人;李法民等[7]利用指數(shù)積(POE)公式建立繩驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型;薛贊等[8]提出一種具有更強(qiáng)環(huán)境適應(yīng)性、更高自由度和更大工作空間的冗繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂。在形狀記憶合金方面,王魯炳等[9]基于形狀記憶合金絲設(shè)計(jì)了一種多關(guān)節(jié)可彎曲柔性機(jī)械臂。形狀記憶合金由于制造復(fù)雜、安裝要求高,所以在工程化開發(fā)中一般使用繩驅(qū)動(dòng)作為小型柔性關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)方式[10-11]。

繩驅(qū)動(dòng)的結(jié)構(gòu)原理是將驅(qū)動(dòng)繩的一端固定在綁線機(jī)構(gòu)上,另一端固定在運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)上,并在二者之間設(shè)置驅(qū)動(dòng)繩的限位通道,限位通道使得驅(qū)動(dòng)繩按照設(shè)定的方向運(yùn)動(dòng);通過綁線機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng),帶動(dòng)驅(qū)動(dòng)繩在限位通道中的運(yùn)動(dòng),驅(qū)動(dòng)繩在綁線機(jī)構(gòu)中的繩長發(fā)生變化,從而使得運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)中的驅(qū)動(dòng)繩繩長發(fā)生變化,進(jìn)而帶動(dòng)運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)發(fā)生運(yùn)動(dòng)。繞圓運(yùn)動(dòng)的特性導(dǎo)致綁線機(jī)構(gòu)在彎曲運(yùn)動(dòng)時(shí)內(nèi)側(cè)和外側(cè)的驅(qū)動(dòng)繩長的變化值不同,使得運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)中對(duì)應(yīng)綁線機(jī)構(gòu)的彎曲內(nèi)外側(cè)的驅(qū)動(dòng)繩長變化值也不同,即彎曲一側(cè)的驅(qū)動(dòng)繩繃緊,另一側(cè)放松,導(dǎo)致綁線機(jī)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)存在運(yùn)動(dòng)不同步的情況[12-13]。因此,需要對(duì)綁線機(jī)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)優(yōu)化,使用三維軟件建數(shù)學(xué)模型,Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬等方法來分析模型[14],旨在減少綁線機(jī)構(gòu)造成的驅(qū)動(dòng)繩繩長變化差值,提高運(yùn)動(dòng)的同步性。

繩驅(qū)動(dòng)作為小型柔性關(guān)節(jié)的一種驅(qū)動(dòng)方式,應(yīng)用的結(jié)構(gòu)中柔性關(guān)節(jié)的直徑普遍小于20 mm,由于結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì),驅(qū)動(dòng)繩直徑選擇在1 mm以下,應(yīng)用的結(jié)構(gòu)受力不超過50 N,已知直徑0.3 mm的尼龍線拉力為187 N,遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出結(jié)構(gòu)最大受力,產(chǎn)生的拉伸變形可以忽略不計(jì);由于運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方向是由若干個(gè)限位通道的軸線方向擬合而成的弧線,驅(qū)動(dòng)繩安裝在限位通道中,運(yùn)動(dòng)方向沿著限位通道的軸線方向前后運(yùn)動(dòng),驅(qū)動(dòng)繩對(duì)限位通道壁的壓力可以忽略,即忽略摩擦力。本研究在模型的建立和計(jì)算結(jié)果的分析中均設(shè)為理想狀態(tài)下,不考慮驅(qū)動(dòng)繩拉伸變形和驅(qū)動(dòng)繩與綁線結(jié)構(gòu)之間摩擦的情況。

1 繩驅(qū)動(dòng)萬向關(guān)節(jié)綁線機(jī)構(gòu)數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 綁線機(jī)構(gòu)的三維模型

綁線機(jī)構(gòu)由1個(gè)二自由度球關(guān)節(jié)作為主要部分,如圖1所示,為限制三自由度球關(guān)節(jié)的自由度,球關(guān)節(jié)底座上的球體單方向在徑向處設(shè)有凹槽讓位腔,球關(guān)節(jié)搖桿上的外球體相對(duì)應(yīng)位置處設(shè)有凸臺(tái)限位塊[15-17];球關(guān)節(jié)底座運(yùn)動(dòng)時(shí)固定,球關(guān)節(jié)搖桿在平面兩方向上自由運(yùn)動(dòng),疊加形成萬向運(yùn)動(dòng),控制萬向關(guān)節(jié)的萬向運(yùn)動(dòng);萬向關(guān)節(jié)一般由4根驅(qū)動(dòng)繩控制,驅(qū)動(dòng)繩的穿線點(diǎn)分布在萬向關(guān)節(jié)圓截面上,4個(gè)穿線點(diǎn)均分由穿線點(diǎn)到關(guān)節(jié)圓心為半徑的圓,1組穿線點(diǎn)之間的連線經(jīng)過凹槽讓位腔和凸臺(tái)限位塊的對(duì)稱中心;軸截面上的2根驅(qū)動(dòng)繩為1組控制1個(gè)方向,球關(guān)節(jié)搖桿單向運(yùn)動(dòng)時(shí),同組的2根驅(qū)動(dòng)繩同步運(yùn)動(dòng),處于萬向關(guān)節(jié)彎曲內(nèi)側(cè)的繩子收緊變短,彎曲外側(cè)的繩子放松變長,使得萬向關(guān)節(jié)同步彎曲。球關(guān)節(jié)因?yàn)榘疾圩屛磺缓屯古_(tái)限位塊的存在不發(fā)生相對(duì)自轉(zhuǎn),不打亂驅(qū)動(dòng)繩的分布;凹槽讓位腔和凸臺(tái)限位塊使得球關(guān)節(jié)在萬向運(yùn)動(dòng)時(shí)2個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)軌跡并不相同,2組驅(qū)動(dòng)繩繩長的變化也不同,因此建立數(shù)學(xué)模型時(shí)將2組驅(qū)動(dòng)繩分別計(jì)算分析。

圖1 綁線機(jī)構(gòu)三維模型Fig.1 Three-dimensional model of the wire tying mechanism

1.2 綁線機(jī)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型

1.2.1 三維模型簡化 將綁線機(jī)構(gòu)的三維模型進(jìn)行分析、簡化,簡化后的模型如圖2所示,三維模型中繩長轉(zhuǎn)換成簡化模型中2點(diǎn)之間的距離,數(shù)學(xué)模型中體現(xiàn)為距離的數(shù)值大小。簡化后的綁線機(jī)構(gòu)模型由綁線球、限位圓盤、驅(qū)動(dòng)線組成,綁線球是半徑為r的球體,位于XaYaZa坐標(biāo)系中,球心為XaYaZa坐標(biāo)系原點(diǎn),原模型中凹槽讓位腔和凸臺(tái)限位塊位于XaZa平面。XaYa平面圓周均分設(shè)4個(gè)綁線點(diǎn)A1、B1、C1、D1。綁線球正下方放置1個(gè)限位圓盤,圓盤的半徑為R,圓盤的圓心和球體的球心的距離為L,設(shè)圓盤平面為XY平面,限位圓盤指向綁線球的方向?yàn)閆軸正方向,XY平面上圓周均分4個(gè)出線點(diǎn)A、B、C、D。在XaYaZa坐標(biāo)系的坐標(biāo)為：A(0,-R,-L)、B(R,0,-L)、C(0,R,-L)、D(-R,0,-L)。XaYaZa坐標(biāo)系經(jīng)過繞Ya軸和Xb軸分別旋轉(zhuǎn)α度和β度后變換為XbYbZb坐標(biāo)系、XcYcZc坐標(biāo)系,綁線點(diǎn)A1在旋轉(zhuǎn)后為點(diǎn)A2、A3,B1、C1、D1點(diǎn)同理。驅(qū)動(dòng)繩為連接對(duì)應(yīng)綁線點(diǎn)和出線點(diǎn)之間的線段,根據(jù)角度變換導(dǎo)致驅(qū)動(dòng)繩繩長的變化。將驅(qū)動(dòng)繩分為BD側(cè)驅(qū)動(dòng)繩和AC側(cè)驅(qū)動(dòng)繩：B和D點(diǎn)的驅(qū)動(dòng)繩經(jīng)過1次角度的變化,控制1個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)且位于同一軸截面上;A和C點(diǎn)的驅(qū)動(dòng)繩經(jīng)過2次角度的變化,控制1個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)且位于同一軸截面上。

圖2 簡化后的綁線機(jī)構(gòu)模型Fig.2 Simplified model of the wire tying mechanism

1.2.2 數(shù)學(xué)模型建立 使用旋轉(zhuǎn)矩陣求A3點(diǎn)在XaYaZa坐標(biāo)系的坐標(biāo)：A3點(diǎn)在XcYcZc坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(0,-r,0),首先通過繞Xc軸旋轉(zhuǎn)β度得到XbYbZb坐標(biāo)系,其次通過Yb軸旋轉(zhuǎn)α度得到XaYaZa坐標(biāo)系;用齊次方程法將A3點(diǎn)在XcYcZc坐標(biāo)系中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成(0,-r,0,1),寫成矩陣的格式。

(1)

XcYcZc坐標(biāo)系繞Xc軸旋轉(zhuǎn)β度得到A3點(diǎn)在XbYbZb坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：

A3b=RX×A3

(2)

XbYbZb坐標(biāo)系繞Yb軸旋轉(zhuǎn)α度得到A3點(diǎn)在XaYaZa坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：

A3a=RY×A3b

(3)

聯(lián)立式(2)～(3)得：

A3a=RY×RX×A3=R×A3

(4)

總的旋轉(zhuǎn)矩陣R：

(5)

聯(lián)立式(1)、(4)、(5)得：

(6)

即A3點(diǎn)在XaYaZa坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：

A3：(-rsinαsinβ,-rcosβ,-rcosαsinβ)

同理可得B1、C1、D1等3點(diǎn)在經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換后的B3、C3、D3等3點(diǎn)的坐標(biāo)：

B3：(rcosα,0,-rsinα)

C3：(rsinαsinβ,rcosβ,rcosαsinβ)

D3：(-rcosα,0,rsinα)

三維坐標(biāo)系中兩點(diǎn)之間的距離公式：

(7)

將得到的4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)帶入式(7),得到經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換后4個(gè)綁線點(diǎn)對(duì)應(yīng)圓盤出線點(diǎn)的距離：

(8)

(9)

(10)

(11)

聯(lián)合式(8)、(10)得到AC側(cè)2根驅(qū)動(dòng)繩繩長變化值的差值：

(12)

聯(lián)合式(9)、(11)得到BD側(cè)2根驅(qū)動(dòng)繩繩長變化值的差值：

(13)

2 數(shù)字模型計(jì)算分析

分析數(shù)學(xué)模型發(fā)現(xiàn)同組驅(qū)動(dòng)繩繩長的差值只和綁線球半徑r、限位圓盤半徑R和綁線球球心與限位圓盤圓心之間的距離L相關(guān),原模型中綁線球半徑r和限位圓盤半徑R相等,綁線球球心與限位圓盤圓心之間的距離L在不同應(yīng)用結(jié)構(gòu)中變化,將數(shù)學(xué)模型導(dǎo)入Matlab軟件中進(jìn)行數(shù)值分析計(jì)算,計(jì)算2組驅(qū)動(dòng)繩在不同的綁線球半徑r、限位圓盤半徑R和綁線球球心與限位圓盤圓心之間的距離L之間的關(guān)系導(dǎo)致的驅(qū)動(dòng)繩繩長差值大小。綁線球半徑設(shè)為r=50,旋轉(zhuǎn)角度α和β設(shè)為0°～30°。

2.1 BD側(cè)驅(qū)動(dòng)繩繩長差值

BD側(cè)驅(qū)動(dòng)繩繩長經(jīng)過1次旋轉(zhuǎn)變換,設(shè)限位圓盤半徑R和距離L為綁線球半徑r的倍數(shù)來進(jìn)行數(shù)值分析。

2.1.1 原模型繩長差值 原綁線機(jī)構(gòu)模型中限位圓盤半徑R等于綁線球半徑r,取不同長度的距離L,得到BD側(cè)繩長差值與角度的折線圖。由圖3可知,限位圓盤半徑R等于綁線球半徑r時(shí),在同一根折線上α=30°時(shí)差值最大,隨著距離L的不斷增大,驅(qū)動(dòng)繩繩長的差值越來越小,但折線的變化趨勢不變,表示距離L不是影響結(jié)果的主要參數(shù)。

圖3 R=r時(shí)BD側(cè)驅(qū)動(dòng)繩繩長變化Fig.3 Change of BD side drive rope length when R=r

2.1.2 優(yōu)化模型繩長差值 距離L不是影響驅(qū)動(dòng)繩繩長差值變化趨勢的主要參數(shù),因此取不同的限位圓盤半徑R值來分析計(jì)算結(jié)果的變化趨勢,取限位圓盤半徑R等于1.2r和0.8r時(shí),得到差值折線圖。由圖4可知,同根折線上在α=30°時(shí)差值最大;由圖4(a)可以明顯發(fā)現(xiàn)在R=1.2r時(shí),繩長差值的變化明顯的提高了2倍以上;由圖4(b)可知當(dāng)限位圓盤半徑R等于0.8r時(shí),繩長的差值變成了負(fù)值,但繩長差值極值的絕對(duì)值與原模型接近。結(jié)合圖3～4中折線的發(fā)展趨勢和數(shù)值大小分析易知：在限位圓盤半徑R的值(0.8～1)r,BD側(cè)驅(qū)動(dòng)繩繩長變化的差值從正值變?yōu)樨?fù)值且絕對(duì)值接近,表明當(dāng)R取值范圍在此區(qū)間內(nèi)時(shí),模型的BD側(cè)驅(qū)動(dòng)繩繩長變化的差值小于原模型。該取值范圍減小了繩長差值,優(yōu)化了萬向關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的同步性。

圖4 R=1.2r和R=0.8r時(shí)BD側(cè)驅(qū)動(dòng)繩繩長變化Fig.4 Change of BD side drive rope length when R=1.2r and R=0.8r

2.1.3 二次優(yōu)化模型繩長差值 為進(jìn)一步優(yōu)化繩長的差值,將特定參數(shù)帶入數(shù)學(xué)模型,反求出R和r的關(guān)系。將L=r、α=30°帶入模型中得到折線圖(圖5),當(dāng)R和r的比值在0.9～0.95時(shí),差值存在零點(diǎn);將差值0帶入圖5,得到R=0.928r。將該參數(shù)下的模型進(jìn)行數(shù)值分析,得到差值的折線圖(圖6)。由圖3～6和表1可知,影響計(jì)算結(jié)果變化趨勢的主要參數(shù)是限位圓盤半徑R和綁線球半徑r的比值;當(dāng)R=0.928r時(shí),BD側(cè)繩長變化的差值明顯小于其他情況,也驗(yàn)證了優(yōu)化的限位圓盤半徑R的取值范圍。

圖5 30°時(shí)差值隨R與r比值變化Fig.5 Variation of the difference with the ratio of R to r at 30°

圖6 R=0.928r時(shí)BD側(cè)驅(qū)動(dòng)繩繩長變化Fig.6 Variation of BD side drive rope length when R=0.928r

表1 不同R、L值下BD側(cè)繩長差值的極值Table 1 Extreme values of rope length difference on BD side with different values of R and L

2.2 AC側(cè)繩長差值

AC側(cè)的驅(qū)動(dòng)繩繩長經(jīng)過2次角度的變換,由于距離L不是影響結(jié)構(gòu)的主要參數(shù),因此只取L=r的參數(shù)進(jìn)行分析。

2.2.1 原模型繩長差值 取限位圓盤半徑等于綁線球半徑的情況,由圖7可知,AC側(cè)驅(qū)動(dòng)繩繩長變化的差值因?yàn)榻?jīng)過2次變化,形成的變化圖是曲面,隨著α和β角度的變大而越來越大,差值的最大值在2個(gè)參數(shù)的最大值處。

2.2.2 優(yōu)化模型繩長差值 取不同的取限位圓盤半徑R來分析結(jié)果的變化趨勢,由圖8(a)發(fā)現(xiàn),在R=1.2r時(shí),AC側(cè)繩長差值的變化趨勢明顯提高;由圖8(b)、8(c)可知,當(dāng)限位圓盤半徑R小于綁線球半徑r時(shí),繩長的差值部分變成了負(fù)值,且繩長差值的極差小于原模型,在R=0.8r和R=0.928r時(shí)繩長差值的極差接近。結(jié)合圖7～8和表2可知,AC側(cè)驅(qū)動(dòng)繩繩長變化差值的大小隨著R的變大而變大,因此R的取值應(yīng)該小于r,AC側(cè)驅(qū)動(dòng)繩分析結(jié)果驗(yàn)證了BD側(cè)驅(qū)動(dòng)繩分析的結(jié)果,反證了數(shù)學(xué)模型和數(shù)值模擬的合理性。

圖8 R=1.2r、R=0.8r和R=0.928r時(shí)AC側(cè)驅(qū)動(dòng)繩繩長變化Fig.8 Variation of AC side drive rope length when R=1.2r,R=0.8r and R=0.928r

表2 不同R值下AC側(cè)繩長差值的極差Table 2 Polar difference of rope length difference on AC side with different R values

3 結(jié)論

本研究通過將綁線機(jī)構(gòu)的三維模型簡化后重建為數(shù)學(xué)模型,并對(duì)其進(jìn)行了數(shù)值模擬計(jì)算,對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析研究從而優(yōu)化模型,發(fā)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)繩繩長變化的差值只和綁線球半徑r、限位圓盤半徑R和綁線球球心與限位圓盤圓心之間的距離L相關(guān)。距離L只影響驅(qū)動(dòng)繩繩長變化的差值數(shù)值大小,不影響變化趨勢,因此不是主要參數(shù)。限位圓盤半徑R的取值為(0.8～1)r時(shí),BD側(cè)驅(qū)動(dòng)繩繩長變化的差值比原模型的差值小;在R=0.928r時(shí)差值最小。限位圓盤半徑R的取值大于綁線球半徑r時(shí),AC側(cè)驅(qū)動(dòng)繩繩長變化的差值比原模型的差值大,且數(shù)值變化快、幅度大;限位圓盤半徑R的取值小于綁線球半徑r時(shí),AC側(cè)驅(qū)動(dòng)繩繩長變化的差值比原模型的差值小,且數(shù)值變化慢、幅度慢。限位圓盤半徑R為0.928r、距離L為機(jī)構(gòu)允許的最大值時(shí),繩長變化的差值最小,提高了萬向關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的同步性,達(dá)到優(yōu)化綁線結(jié)構(gòu)的目的。