文| 溫樹禮

在高中數(shù)學課堂中，教師應聚焦學生全面發(fā)展，適當引導學生探索知識，使學生探索知識的興趣與綜合學習能力得到進一步提升，成功構(gòu)建高效的數(shù)學課堂。

一、創(chuàng)設情境，揭示課題

（一）情境創(chuàng)設

以情境為載體，帶領(lǐng)學生思考與探討集合。教師會借助多媒體等設備展示非洲大草原的圖片，同時又播放角馬群吃草、奔跑與休憩的視頻內(nèi)容，引導學生觀察并了解集合。

教師設計如下問題：①觀察這張非洲大草原圖片，列舉你知道的集合。②思考“到定點的距離等于定長的點，它們組成的圖形一定是圓嗎？”引導學生回顧所學數(shù)學知識，重溫獲取知識的過程并懂得如何驗證想法。

針對問題①，學生認真觀察并獨立思考，認為斑馬群、角馬群為同一類型，是角馬與斑馬集中在一起形成的，同時憑借發(fā)散思維拓展知識，認為馬群隸屬非洲動物，是非洲動物的一部分。所以學生列舉出自己認為的集合是斑馬群與角馬群等。針對問題②，學生從平面與空間的角度入手，明確動點軌跡不同，也理解研究特定對象或者確定研究范圍時會用到的集合語言與工具。

（設計意圖：通過直觀圖片讓學生看到什么是集合，使學生對所學內(nèi)容有大致的了解，保證學生的學習質(zhì)量與效率。）

（二）揭示課題

教師講述《三國志》中記載的內(nèi)容“布有良馬曰赤兔”，思考下面幾句話里的“是”表示什么意思：①關(guān)羽千里走單騎的坐騎是赤兔馬；②赤兔馬是紅色的馬；③紅馬是馬。①中“是”表示“=”，請問②③中“是”表示什么？

學生從不同角度思考，感受“是”表示等于，又對比后兩句并回答出“屬于關(guān)系”，紅馬屬于馬。

教師追問：小學和初中我們接觸過與集合相關(guān)的知識，你能舉出一些集合的例子嗎？

學生思考并回顧小學和初中的自然數(shù)的集合、整數(shù)集合和負數(shù)集合等知識。

教師提問：這些集合的研究對象是什么？

學生結(jié)合所學知識，明白負數(shù)集合研究的是小于0 的所有數(shù)，整數(shù)集合研究的是所有正整數(shù)、零與負整數(shù)。

（設計意圖：通過舊知回顧引入新知，借助回憶幫助學生快速理解知識，提高學習效率。）

二、列舉實例，總結(jié)含義

（一）列舉實例

通過豐富的例子去探索數(shù)學知識，引導學生運用數(shù)學知識解決實際問題，從而輕松發(fā)現(xiàn)與學習數(shù)學。

教師給出思考題：①在單詞element 中出現(xiàn)的字母能否組成一個集合？e 是集合中的什么？②太陽系里有八大行星，它們也組成一個集合，那么地球是集合中的什么？

學生在問題的指引下明白e 實際上是集合中的一個元素，通過類推明白，地球也是集合中的一個元素，發(fā)現(xiàn)集合論中的關(guān)系是集合與它的元素，它們之間是一種屬于關(guān)系。

教師出示表達歸屬關(guān)系的符號∈，讀作“屬于”。

（設計意圖：通過實際案例幫助學生理解集合與元素的關(guān)系，看到數(shù)學知識中的集合是抽象概括所得到的，培養(yǎng)其抽象思維能力。）

（二）總結(jié)含義

理解集合的真正含義，鼓勵學生嘗試用嚴謹?shù)臄?shù)學語言去總結(jié)簡單集合的含義。

教師提出思考問題：“我們在思考問題的時候，需要把特定對象放在一起進行整體考慮，這些對象就是我們所了解的什么？”

學生馬上思考并明確這些對象就是集合，是這些對象的總稱。

教師：請用嚴謹?shù)臄?shù)學語言去表達你所知道的集合，引導學生正確使用數(shù)學語言，讓其概括出集合的概念。

學生嘗試表達，把一些對象放在一起考慮，這些對象組成的是一個集合，其中的每一個對象就是集合的元素。

教師隨之提出新問題，知道了集合的概念，那你知道它有什么屬性嗎？比如，在同一集合中的元素相同還是不同？集合中的元素是按順序排列的嗎？

學生根據(jù)教師提示總結(jié)出：①同一集合中的元素是互不相同的；②集合中的元素沒有順序，同時也發(fā)現(xiàn)集合中的元素是確定的，這也是它的一個屬性，從而總結(jié)出第三個屬性，即集合中的元素是確定的。

（設計意圖：通過思考問題，減輕學習難度與壓力，讓學生快速掌握所學知識，透徹理解集合的概念與基本屬性，提高整體教學質(zhì)量，實現(xiàn)真正的“提質(zhì)”與“增效”。）

三、探究知識，實際運用

（一）知識探究

教師設計相應的問題，飯店里的菜單、班級學生成績名單、計算機文件夾里的所有文檔等，它們的相同之處是什么？引導學生思考集合與元素的關(guān)系，感受列舉法。

學生認識到這些在生活中較為常見，而且都是展示出集合中的每一個元素，思考并推測這是一種方法。

教師引入列舉法，即把集合中的元素交代清楚，用圖文的方式讓學生看到列舉法的格式，注意大括號里是每個元素的名字，用逗號進行分隔，如{2，4，6，}8 ，同時布置例題讓學生學習使用列舉法，如用列舉法表示由方程的所有實數(shù)解構(gòu)成的集合S。

學生結(jié)合剛才了解的列舉法的格式，思考注意事項，寫出集合S，即S= {1，-1 }。教師設問，剛才的情況是可以展示出集合中的所有元素，那么如果遇到無限集，還可以使用列舉法嗎？如果元素非常多，根本沒有辦法叫出每一個元素的名字，那么你會使用什么辦法描述這個集合？通過問題引導學生學習描述法。

學生嘗試用列舉法表示無限集的元素，發(fā)現(xiàn)列舉法并不適合，從而思考其他辦法，考慮將集合元素中的一部分相同元素進行組合，再確定集合。

教師糾正學生的表述，加入“集合中共有元素”“也只有該集合中元素才有的屬性描述出現(xiàn)”，用嚴謹?shù)恼Z言總結(jié)描述法的概念。

（設計意圖：依托實例分析與探討，讓學生了解與學習列舉法與描述法兩種方法。在該過程中，學生積極探索、思考、嘗試與總結(jié)。）

（二）實際運用

基于對集合概念與列舉法、描述法的理解，引導學生靈活運用所學知識。

教師引導學生用正確的方式表示集合，給出例題，由方程的所有整數(shù)解組（x、y）構(gòu)成的集合S。

學生回顧列舉法與描述法的異同，分析例題中的已知條件，認為可以用描述法與列舉法表示：①用描述法表示S，即S={（x，y）|x2+y2=100，x∈Z，y∈Z }；②用列舉法表示，S={（0，10），（0，-10），（10，0），（-10，0），（6，8），（-6，8），（6，-8），（-6，-8），（8，6），（-8，6），（8，-6），（-8，-6）{，靈活運用兩種不同方法。

（設計意圖：通過實際問題引導學生鞏固集合概念與列舉法、描述法，使學生準確與快速地寫出集合。）

四、布置作業(yè)，鞏固知識

（一）設計作業(yè)，控制題量

作業(yè)是對課堂練習的一種延伸，教師需要結(jié)合“雙減”改變傳統(tǒng)作業(yè)內(nèi)容，精簡必做內(nèi)容，控制好題量。

教師設計鞏固練習、常規(guī)作業(yè)，豐富作業(yè)類型，減少作業(yè)總量。其中鞏固練習有填空、選擇等內(nèi)容，如填空題：①把集合中的元素一一列舉出來表示集合的方法叫列舉法；②對于無限集，一般采用描述法。鞏固練習題為用自然語言描述下列集合：①{1，3，5，7，9 }，（答：由數(shù)1，3，5，7，9 組成的集合）；②{x∈R│3x＞2}（答：滿足不等式3x＞2，即x＞的全部實數(shù)x的集合），通過填空題幫助學生快速鞏固知識，再用鞏固練習發(fā)散學生思維，高效完成作業(yè)。

（設計意圖：通過多種題型滿足學生不同需要，同時控制作業(yè)總量，使用經(jīng)典題型來幫助學生鞏固與運用知識，減輕學生作業(yè)負擔，實現(xiàn)減負與增效。）

（二）及時點評，舉一反三

通過點評幫助學生了解自身優(yōu)勢與不足，激勵學生持續(xù)探索與學習。

在點評時，教師對學生答案進行講解與評價，如在上述鞏固練習②中，生1 描述的是滿足不等式3x＞2 的實數(shù)x的集合，存在描述不全面的問題，忽略了x＞和“全部”兩字。教師引導學生思考如果沒有“全部”這兩個字，會出現(xiàn)什么情況，使學生明白如果沒有“全部”，那么就可能是任意的實數(shù)，并不是一個完整的集合，從而懂得用嚴謹?shù)臄?shù)學語言描述，幫助學生正確運用所學知識。

在完成點評后，教師設計變式題型，平面E上以點A為圓心，半徑為6 的圓上所有點的集合C，請用適當?shù)姆椒ê头媳硎綜 的集合。學生思考并選擇使用描述法，即C= {P∈E││PA│=5 }。

（設計意圖：基于學生對基礎知識的理解，設計高效作業(yè)，引導學生舉一反三，提升作業(yè)完成效率與質(zhì)量，滿足“雙減”，落實需要。）

五、教學反思

（一）運用信息技術(shù)，激發(fā)學習興趣

信息技術(shù)教學可以有效調(diào)動學生探索知識的積極性。因此，教師在導入新知識時，應合理運用信息技術(shù)，讓情境創(chuàng)設更加真實與立體，幫助學生快速理解與掌握知識，提高教與學的有效性。例如，在創(chuàng)設情境，揭示課題這一環(huán)節(jié)，教師用短視頻讓學生看到更多內(nèi)容，讓集合的概念呈現(xiàn)出動態(tài)化與立體性，刺激學生感官，使學生集中注意力思考當中的集合是什么，主動探索集合的內(nèi)涵，由知識學習上升到能力提升。學生明白人們常使用集合表示部分與整體的關(guān)系，結(jié)合實例快速與準確地總結(jié)出集合的概念。

（二）優(yōu)化課堂提問，促進思維發(fā)散

在課堂提問環(huán)節(jié)，教師要圍繞“雙減”政策落實需要，引入并優(yōu)化問題，讓知識講解過程有序進行，提高教學效率，同時學生思維也在問題探索中得到拓展，通過主動學習掌握知識。那么，在列舉實例，總結(jié)含義這一環(huán)節(jié)，教師不僅要根據(jù)思考題進行提問，還應設計其他問題：①思考什么情況下必須使用列舉法，引導學生回顧之前所學的列舉法概念，思考列舉法的特點；②在不適宜用列舉法的情況下，探討描述法的重要性。教師通過問題引導學生真正理解集合、列舉法和描述法。在問題指引下，學生高效習得集合的概念和重要性，節(jié)省理論知識理解與學習的時間，讓課堂學習更加高效。

（三）借助小組合作，構(gòu)建高效課堂

在知識探究環(huán)節(jié)，教師應巧用小組合作的方式，讓學生在探討過程中自主分析、判斷、學習、交流，將學生討論獲得的內(nèi)容與教師講解內(nèi)容有機結(jié)合，高效完成新知識學習。例如，在探究知識，實際運用中，教師采用小組合作，由學生在小組方式下探討怎樣表示不等式x-7＜3 的解集？各小組開始回顧所學的不等式相關(guān)知識，通過探討發(fā)現(xiàn)解集中元素的特點，共同驗證x是實數(shù)，同時x＜10，組員分享解集表示的看法，最終統(tǒng)一答案，即解集表示為{x∈R│x＜10 }。學生通過小組合作輕松掌握知識并能夠在后續(xù)階段合理運用。

（四）組織實踐活動，實現(xiàn)減負增效

在“雙減”政策背景下，教師一方面要做好作業(yè)內(nèi)容選擇，另一方面要創(chuàng)新作業(yè)形式，如采用實踐作業(yè)幫助學生鞏固與運用知識，讓作業(yè)更加有探究意義，不再采用題海戰(zhàn)術(shù)達到鞏固目的。教師可以布置如下作業(yè)：請你閱讀相關(guān)資料，用簡單的報告闡述你對集合的認識。學生會利用資料完成學習，借助互聯(lián)網(wǎng)、自主學習、小組合作等方式提高數(shù)學學習能力，真正實現(xiàn)減負與增效。