江蘇省宜興外國語學(xué)校

裴 姣

“獲得的知識，如果沒有完滿的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)在一起，那是一種多半會被遺忘的知識.”[1]布魯納的這句話告訴我們，知識要互相聯(lián)系，架構(gòu)成知識體系，才能更好地被我們理解和運用.在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生經(jīng)歷完整的概念生成過程，也要重視知識之間的相互聯(lián)系，挖掘知識點之間的相通之處，把知識串起來思考與認知.由點到面理解概念，更有助于學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)概念，認識概念的本質(zhì)，進而培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).下面，筆者以蘇科版九年級下冊第七章第1節(jié)“正切”(第1課時)的教學(xué)為例，談?wù)劵诮Y(jié)構(gòu)化理解數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實踐與思考.

1 教學(xué)準(zhǔn)備

1.1 教材分析

“正切”是在學(xué)生已有相似三角形相關(guān)知識的基礎(chǔ)上，從感受臺階的傾斜程度這一實際生活問題中，提煉出角度與三角函數(shù)值之間一一對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，建立了直角三角形中銳角和邊的關(guān)系，是對勾股定理邊和邊關(guān)系的補充.本章內(nèi)容分為銳角三角函數(shù)的概念、用銳角三角函數(shù)知識解直角三角形及其應(yīng)用兩個部分.正確理解“正切”的概念，既是學(xué)習(xí)“正弦、余弦”概念的基礎(chǔ)，也是理解、利用直角三角形中邊、角之間的關(guān)系解直角三角形，進而最終解決生活中測量、工程、物理等問題的關(guān)鍵.

1.2 教學(xué)目標(biāo)

(1)從生活問題中探究正切的概念，認識直角三角形中銳角的正切.

(2)會求特殊角度的正切值.

(3)初步感悟模型思想、數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)抽象思維能力.

1.3 教學(xué)重點、難點

重點：掌握銳角的正切概念，會求銳角的正切值.

難點：理解角度與正切函數(shù)值之間的一一對應(yīng)關(guān)系.

1.4 學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似三角形的知識，具備運用相似的性質(zhì)來解釋只要銳角確定，這個銳角在不同直角三角形中對邊與鄰邊的比值也是確定的.學(xué)生已經(jīng)具備了借助圖形找出直角三角形中邊、角之間關(guān)系的能力.

2 教學(xué)過程

2.1 情境化感知概念

情境引入：圖1中哪個臺階更陡？

圖1

通過觀察，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)右圖更陡，因為它的傾斜角度更大.

設(shè)計意圖：從熟悉的生活情境入手，根據(jù)生活經(jīng)驗，學(xué)生能感知到，傾斜角度越大斜坡越陡.教師引導(dǎo)，除了角度外還能根據(jù)直角邊來考慮傾斜程度，把實際問題數(shù)學(xué)化，抽象出直角三角形模型，從而把焦點轉(zhuǎn)移到直角三角形中兩條直角邊的關(guān)系上.

2.2 探究中觸及概念

探究一：圖2-1，2-2，2-3中哪個臺階更陡？你是如何判斷的？

圖2-1 圖2-2 圖2-3

學(xué)生比較圖2-1,2-2，發(fā)現(xiàn)水平距離都是8時，垂直高度大的臺階陡些；比較圖2-2，2-3，當(dāng)垂直高度都是6時，水平距離短的臺階陡些；從而可以得出圖2-2中的臺階最陡.教師追問,圖2-1，2-3中沒有一條直角邊相同該怎么比較呢？學(xué)生聯(lián)想到可以構(gòu)造有一邊相同的相似三角形，且不改變臺階的傾斜角度.如圖3，在圖2-3中作出水平長度為8的相似三角形，運用相似比算出水平高度是4.8，得出圖2-3中的臺階比第圖2-1中的臺階略陡些.同樣，把圖2-1中的水平距離放大為10，運用相似比計算出水平高度是5，也能得到相同的結(jié)果.

圖3

圖4

追問：已知兩條直角邊，你有比較的方法嗎？

通過上面的思考，學(xué)生知道需在一條直角邊相等的情況下，再比較另一條直角邊，相似是轉(zhuǎn)化的知識支撐.引導(dǎo)學(xué)生把圖2-1，2-2，2-3都轉(zhuǎn)化為水平長度為1的直角三角形，運用相似比算出各自的垂直高度.當(dāng)水平長度都是1時，圖2-1，2-2，2-3中三個臺階的垂直高度分別為0.5,0.75,0.6，如圖4.在同一幅圖中，哪個臺階更陡，結(jié)果更為直觀.進一步發(fā)現(xiàn)，計算出的垂直高度就是直角三角形兩直角邊的比值，通過比值的大小就能比較“陡”的程度高低.

設(shè)計意圖：提供三個邊長不同的直角三角形，意在讓學(xué)生感受直角邊長度能影響臺階“陡”的程度，在逐步探究中明晰思路，除了傾斜角外，兩條直角邊的比值也能確定臺階“陡”的程度.

探究二：比較圖5的兩個臺階，你有什么發(fā)現(xiàn)？

根據(jù)圖中標(biāo)識的數(shù)據(jù)，學(xué)生能判定兩個三角形相似，推導(dǎo)出兩個臺階的傾斜角相等.

圖5

設(shè)計意圖：探究二提供的相似三角形是兩個直角三角形關(guān)系的特殊化，在從一般到特殊的過程中，學(xué)生鎖定的思考路徑是利用直角三角形兩條直角邊的比值來確定臺階陡的程度，為下文給出正切的概念做好了充分的鋪墊，讓學(xué)生在豐富的素材中增強感受和體驗.通過探究讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成的全過程，增強學(xué)生的體驗，符合學(xué)生的認知規(guī)律和抽象思維特點.

2.3 提煉中表征概念

探究三：如果銳角A的大小確定，我們可以做出無數(shù)個以銳角A為內(nèi)角的直角三角形.

圖6

(2)改變∠A的大小，(1)中的等式成立嗎？

(3)(1)中等式的比值隨著∠A的變化而變化嗎？

根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，(1)中的等式成立；當(dāng)∠A變化時，(2)中等式仍然成立；(3)中等式的比值隨著∠A的變化而變化.歸納：如果直角三角形的一個銳角的大小確定，那么這個銳角的對邊與鄰邊的比值也確定.

圖7

設(shè)計意圖：學(xué)生在原有知識基礎(chǔ)上，經(jīng)過觀察與分析，操作與思考，感悟出相似直角三角形的邊與邊的比值隨著銳角的變化而改變，當(dāng)銳角的大小確定時，比值也確定.初步建立起函數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系，滲透模型思想，這樣利用直角三角形來定義“正切”就水到渠成.

2.4 運用中深化概念

例1如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，求tanA.

分析：首先運用勾股定理求出直角邊BC，再根據(jù)正切概念求銳角A的正切值.

圖8

圖9

例2如圖9,已知等邊三角形ABC，求tanA.

分析：添加輔助線構(gòu)造直角三角形，運用等邊三角形“三線合一”、勾股定理求出銳角A的對邊與鄰邊之比.

設(shè)計意圖：正切概念起源于直角三角形，運用正切函數(shù)解決問題就要放到直角三角形這一幾何背景中.從例1到例2體現(xiàn)了從現(xiàn)成的直角三角形發(fā)展為構(gòu)造直角三角形，讓學(xué)生明確運用概念的條件.在例題求解中，學(xué)生認識到正切值是一個比值，沒有單位，tanA是一個整體，不能拆開，通過初步運用概念，深化對概念的理解.

2.5 結(jié)構(gòu)化理解概念

正切函數(shù)是銳角三角函數(shù)的一種，理解正切概念需有相似三角形的知識儲備，正切函數(shù)在測量等實際問題中運用廣泛.正切概念生成過程如圖10所示.

圖10

3 教學(xué)思考

3.1 豐富學(xué)生體驗，促進概念生成

數(shù)學(xué)概念課，若把只介紹概念、講清楚例題、讓學(xué)生會用作為課堂達成度的標(biāo)準(zhǔn)，那么，這樣的概念教學(xué)課只完成了知識點的教學(xué)，學(xué)生只能學(xué)到知識點和解題方法，但思維和能力并沒有得到提升.數(shù)學(xué)概念教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生從身邊熟悉的素材入手，用數(shù)學(xué)的眼光去觀察、思考問題，用數(shù)學(xué)語言表征概念和自我建構(gòu)，這樣概念的產(chǎn)生才會順理成章，學(xué)生也能欣然接受.

3.2 滲透數(shù)學(xué)思想，深化概念認知

本課中，正切概念生成后，還需要表達和運用概念，達成對概念的深層認知.在運用正切表達和解決實際問題的過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生不斷感悟模型思想，銳角的正切值隨著銳角的變化而變化，相等的銳角正切值相等，跟所在直角三角形的大小無關(guān)，從模型思想中進一步體會正切概念的本質(zhì).本課中，也處處蘊含數(shù)形結(jié)合思想，分析題意，畫出圖形，結(jié)合圖形從直觀處體會邊和角之間的關(guān)系，理解概念的實質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)與形巧妙結(jié)合，更有助于概念的形成與運用.

3.3 結(jié)構(gòu)化理解概念，培養(yǎng)學(xué)生抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)具有整體性，數(shù)學(xué)知識前后貫通，上下關(guān)聯(lián).概念教學(xué)要充分挖掘知識的生長點和延伸點，尋求新舊知識的關(guān)聯(lián)，實現(xiàn)新舊知識的轉(zhuǎn)化，構(gòu)建成知識體系.讓學(xué)生對概念的理解從表象化發(fā)展為本質(zhì)化，從形式化發(fā)展為結(jié)構(gòu)化，在建構(gòu)知識體系的同時，培養(yǎng)理性思考的習(xí)慣與創(chuàng)新意識，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).