◇周 琳（福建：廈門實驗中學 小學部）

2022年版《義務教育數學課程標準》明確地將“三會”提升為學生核心素養(yǎng)進行培養(yǎng)，其中“會用數學的語言表達現實世界”是最能體現時代特征的一個目標，而數學建模則是數學語言表達的最高層次。當下，義務教育階段雖未將數學建模直接明確地引入學生核心素養(yǎng)培養(yǎng)任務，但是學會用數學語言表達世界已經充分體現數學建模最重要的教育價值。通過概括總結，可將小學數學語言簡化表達為數據意識、模型意識、應用意識。如何進行小學數學模型意識的培養(yǎng)，以優(yōu)化課堂教學環(huán)節(jié)、提高課堂教學實效？筆者結合自己的教學實踐經驗談幾點策略。

一、觸形找模——從現實到抽象，初步感知模型

數學模型離不開數學語言，使用抽象的、概括的、近似的描述方法描述現實世界中研究對象的特征、數量關系和空間形式，構成了數學模型的獨特數學結構。使用模型的描述方法，將數學中所創(chuàng)造的語言、符號和方法用之于現實世界中的問題，從而搭建起數學與現實世界的直接聯系，宛若知識海洋的擺渡舟。具體到小學數學教學中，數學之中所使用的文本概念、數量關系式、方程、圖表、運算法則、計算公式等都是數學模型。不難發(fā)現，我們所稱的“數學教學”，其本身即包含數學模型的指導運用，模型概念并未懸浮于數學概念的天空中，其定義簡單至來源于隨處可見的生活。所以，我們在培養(yǎng)學生模型意識的時候，要從現實到抽象，讓學生初步感知模型。

從日常生活原型到數學模型，需要經歷簡化、抽象的過程。對于小學生，教師更應采用循序漸進的教學方法，從真實的情境出發(fā)，從現實到抽象，讓其初步感知模型，為后續(xù)模型的建立做好鋪墊。培養(yǎng)學生的模型意識，要以學生知識經驗為基礎，創(chuàng)設貼近學生生活的情境，讓學生從中感受到生活中的原型，再慢慢抽象出來。

以教學《周長的認識》為例，在學生認識周長概念時，教師可以創(chuàng)設運動會的情境，喚醒學生記憶，將已有的生活經驗作為基礎，觸摸到生活中的形。教師可以結合動畫展示，通過對幾位運動員的運動路線對比，讓學生能夠充分感知：什么是泳池的一圈？一圈有什么特點？學生結合自己體育課上跑步的經驗，用自己的語言進行生動描述，如小鴨沒有沿著邊運動，小兔沒有跑完泳池的一圈，小貓多跑了一點、超過了一圈，只有小豬跑的路線才是完整的一圈，等等。這時候，學生通過觀察對比，將生活中的原型逐步抽象出來，初步感知一周，為之后周長模型的建立奠定了基礎。

緊接著，教師追問學生一周有著怎樣的特點。學生通過觀察，以形觸型，并用數學的語言表達：“要從起點回到起點，這樣才算一周。且不論從哪一點出發(fā)，只要最終回到起點，就是它的一周?！碑攲W生有了一周的模型后，再讓學生理解物體表面一周的長度叫作周長，他們對這一概念的理解便簡單了許多。當學生有了初步的模型，教師再從生活中具體的物體，抽象到圖形，讓學生閉眼想象、充分感知：如果拿掉這些物品，只剩下圖形，這些圖形的一周在哪里？

學生通過觀察、對比、描、摸、指等多元動作表征過程，充分經歷由具象到表象、再到抽象的過程，周長的模型呼之欲出。這為之后學生解決周長計算問題打好了基礎，同時為其日后學習面積模型做好示范，避免了兩種模型混淆。學生通過觸現實的形，抽象出了數學的型，這體現了從現實到抽象的模型感知教育方法。

二、立型建模——從猜想到驗證，充分建立模型

史寧中教授提出：現代數學得以健康發(fā)展的重要源泉，離不開數學模型的構建與應用。具體而言，數學教學的重要任務在于幫助學生建立起“數學模型”思想，將一系列的數學模型的理解、把握過程，貫穿到學生的課堂學習之中，從而極大地提高學生模型意識的建立。小學階段的模型意識不能過分地追求復雜化概念的滲入，而應當培養(yǎng)起學生普遍而扎實的初步模型思想感悟。因此，在小學課堂中，教師可以讓學生在公式、法則推導的過程中感悟模型的普遍意義。同時，可以將數學模型用于解決一類具體而明確問題的思想，引入數學教學應用的基本路徑之中，培養(yǎng)起學生日常生活的數學模型思想，啟發(fā)學生處理生活中的方方面面問題，真正行之有效地將數學概念與現實生活相結合。

比如，在教學《平行四邊形的面積》時，教師可以從貼近學生生活的現實情境中引入。例如：學校勞動實踐基地中有兩塊菜地，它們分別是長方形和平行四邊形，要比較兩塊菜地誰大誰小，就要求它們的面積。學生根據已有的知識基礎，能夠快速答出長方形的面積等于長乘寬，但是對于平行四邊形的面積，他們卻不太確定。此時，不妨放心地讓學生先行研究“如何得出平行四邊形的面積”這一問題，學生可能會提出鄰邊相乘或者底乘高的想法。這時教師可以通過“數一數”的方式，借用方格紙格數，讓學生數出平行四邊形的面積。采用對比觀察的方式，引導學生進一步啟發(fā)公式猜想：平行四邊形面積的計算方式為底乘高。再進一步引導學生探究：究竟平行四邊形的面積計算方式是不是底乘高？是不是所有的平行四邊形都適用呢？此時，再讓學生將方格紙畫一畫、剪一剪、拼一拼，學生會發(fā)現，將平行四邊形轉化成長方形后，雖然它的形狀變了，但是面積不變，轉化后長方形的長是原來平行四邊形的底，長方形的寬是轉化前平行四邊形的高。由此，學生可以推導出平行四邊形的面積公式模型確實是底乘高，之前的猜想得以驗證。

從猜想到驗證，學生通過數、畫、剪、拼等數學操作活動，充分體驗了將平行四邊形轉化成長方形的過程。長方形與平行四邊形關系的發(fā)現，離不開學生在此體會過程中的分析、對比及概括，這將有助于學生充分建立起平行四邊形的面積模型，并且抽象成用含有字母的公式來概括表示。在此過程中，學生并非簡單地得出數學公式結論，而是在思維的激蕩中充分地進行數學表達，其相關的數學學科核心素養(yǎng)得到了進一步深化與提高。

再比如，在教學《長方形和正方形的周長》時，可以先放手讓學生思考如何計算長方形的周長。此時學生會有多種想法：有的學生認為周長的計算為長+長+寬+寬；有的則認為可以長+寬+長+寬，總之要把四條邊加起來；但是也有的學生通過觀察會發(fā)現，只要算出一組長+寬即可，然后可以將所得數值乘二。教師此時可以通過把一個長方形的四條邊展開來驗證學生的想法，逐步建立起長方形的周長模型為：（長+寬）×2。同時，通過長方形周長模型的展示，也為學生后續(xù)學習正方形周長、平行四邊形周長及其他圖形的周長，奠定了良好的模型基礎。因此，教師在日常課堂教學活動中要有意地將模型意識培養(yǎng)與知識講授相結合，給予學生充分的時間觀察、猜想、操作、驗證、表達，進而充分建立起數學模型，培養(yǎng)學生的模型意識。

三、踐行用?！獜睦斫獾竭\用，形成模型意識

新課標指出：模型意識有助于開展跨學科主題學習，增強對數學的應用意識，是形成模型觀念的經驗基礎。如何定義小學數學建模？其不僅僅是讓學生掌握新知識，更在于提高學生的創(chuàng)新能力，從而形成新思想，引導學生體驗數學活動，進行深度學習。學生在此學習過程中，將深度轉化從“學會”到“會學”，掌握學習方法；從“理解”到“運用”，真正地將知識融入生活中。體驗是新課標強調的方法重點，學生不僅應當在學習過程獲得新的數學知識，其所能收獲的數學體驗亦是教學重點。要引導學生在獲取數學體驗的基礎上，理解數學、將數學運用到生活中，學會應用模型解決實際生活中的一類問題，真正地將學生對知識被動化接受轉化成主動吸收，充分建立起學生的數學學習興趣。

在《怎樣拼，周長最短》一課的教學中，如果一下子給學生16 個小正方形拼擺，學生不易抓住本質，感覺無從下手。因此，可以化繁為簡，從較少的個數拼起，有層次地引導學生。學生通過拼、算、比等活動，逐步建立起拼成正方形或越接近正方形時周長最短的模型。學生從最簡單的4 個小正方形開始，在動手拼擺4 個小正方形的活動體驗中，通過觀察發(fā)現，隱藏的邊的組數越多，周長越短，從而抓住了周長之所以會變化，是因為重合的邊的組數在變化的本質。進而再到16 個小正方形的拼擺，學生通過在格子圖中畫一畫來模擬拼擺，在小組交流匯報中，對比不同的拼法，他們會發(fā)現拼成正方形時周長最短，因為此時重合的邊的組數最多。此時，學生會發(fā)現只要拼成正方形周長就最短的模型。如果該課只到此結束，未免可惜，因為這是對特殊個數的小正方形進行拼擺，模型并不完全。如果小正方形的個數沒有辦法拼成正方形，什么時候周長才是最短的呢？所以該課最后通過12 個小正方形的拼擺去完善模型，學生在此會有一個小小的認知沖突：如果是12 個小正方形拼擺，沒有辦法拼成正方形，但是會發(fā)現只要拼得越接近正方形，拼成圖形的周長就越短。而之所以這樣，其本質都是因為拼擺后，隱藏的邊的組數越多，周長就越短。

有了這樣一步一步有層次的模型的建立，學生在日后生活中遇到此類問題，便會用該節(jié)課學到的模型去解決。例如：對兩幅長方形的美術作品進行拼擺，怎樣拼才能讓拼成后的圖形周長最短？學生就會想到將兩條長邊藏起來，這樣隱藏的邊最長，周長就會最短。

再比如，包裝盒子時，怎樣捆繩子最節(jié)省材料？學生會發(fā)現，捆盒子的繩子其實就是在圍這些盒子的周長，要最節(jié)省材料，就是讓盒子拼擺后周長最短。學生會發(fā)現這類問題其實就是《怎樣拼，周長最短》一課的延伸，關鍵在于如何讓隱藏的邊的組數最多，它拼成后的周長便會最短。讓學生運用數學的模型和方法解釋生活中的大量現實問題，這便是培養(yǎng)學生模型意識的意義。

數學是一門抽象的學科，它起源于對現實世界的抽象，得到研究的對象及關系；數學的結論和方法來源于對現實研究對象的運算、模型建構及概括推理，引導模型意識深入滲透到學生的日常生活中，學生在收獲數學知識的基礎上，更獲得了解決現實問題的能力。不同的學段，對應階段的學生特點不同，教師應當根據學段特征、學生不同的發(fā)展水平，循序漸進地培養(yǎng)學生的模型意識，讓學生積極主動地探索、獲取新知識，并將收獲的知識運用于生活。