江蘇省溧水高級中學(xué) (211200) 丁稱興

一、試題呈現(xiàn)

圖1

本題以三角形為載體、以向量為媒介，綜合考查了向量、三角形中的相關(guān)知識，著重考查了向量中的“三點共線”、向量的數(shù)量積運算及正、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用.解三角形是三角函數(shù)模塊的重點內(nèi)容之一，也是高考命題的熱點，這類試題中蘊含著極為豐富的數(shù)學(xué)思想方法，同時向量作為一種工具，為解決很多的長度、角度問題提供了方法.

二、解法探究

(2)視角1：邊角聯(lián)系，余弦牽線

視角2：向量共線，內(nèi)化結(jié)構(gòu)

圖2

視角3：形式化歸，邊角轉(zhuǎn)換

評析：通過“向量的數(shù)量積公式”將已知的“向量的數(shù)量積關(guān)系”轉(zhuǎn)化為三角形中的“邊角關(guān)系”，借助“形式化歸”轉(zhuǎn)化為兩直角三角形中的邊的關(guān)系，則問題迎刃而解.

視角4：勾股定理，化斜為直

評注：直角三角形中，我們不難想到“勾股定理”，此法分別在有公共直角邊的兩個直角三角形中兩次利用“勾股定理”，建立直角邊BH,CH的比例關(guān)系，為在直角三角形中表示角的正切做好鋪墊，此時證明則水到渠成.

視角5：基底意識，目標歸一

視角6：幾何探微，相得益彰

視角7：數(shù)形相依，“系”中有道

(法七)如圖3，延長AP交BC于點H，則AH⊥BC.以點H為坐標原點，BC邊所在的直線為x軸，則點A,P在y軸上.設(shè)A(0,a),B(-b,0),C(c,0)，

圖3

評注：向量既有幾何屬性，又有代數(shù)屬性，處理向量問題，除了從幾何直觀的角度研究之外，還可以從代數(shù)運算的角度進行處理，需要我們根據(jù)所給圖形的幾何特征合理建立直角坐標系，設(shè)出“主”動點的坐標，以其為主元，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于主元的問題來處理，體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”思想的應(yīng)用.