揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 圣慧晴 王 龍

二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中三角形存在性問(wèn)題是常見(jiàn)的圖象動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，它是指“通過(guò)某一動(dòng)點(diǎn)把函數(shù)具有的基本特征與幾何圖形加以有效結(jié)合”[1]，它常將幾何運(yùn)算與函數(shù)、分類(lèi)討論、方程等問(wèn)題融合，考查三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)等內(nèi)容.對(duì)于該類(lèi)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，只要認(rèn)真分析其本質(zhì)——“變”與“不變”的情況，把握分類(lèi)依據(jù)，對(duì)可能的情況進(jìn)行分類(lèi)討論，然后建立相關(guān)的函數(shù)解析式或方程即可求解.下面將以等腰三角形和相似三角形的存在性問(wèn)題為例進(jìn)行說(shuō)明.

1 例題解析

(1)求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)試探究在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1

解析：(1)令y=0,可得x1=-3，x2=4 ,故A(-3，0)，B(4，0).令x=0,可得y=-4，故C(0，-4).

因此A(-3，0)，B(4，0)，C(0，-4).

(2)因?yàn)锽(4，0)，C(0，-4)，所以lBC:y=x-4.又Q在BC上，可設(shè)Q(m，m-4)(0

以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形共有三種情況，下面分類(lèi)討論.

評(píng)析：本題考查了二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中等腰三角形的存在問(wèn)題.第(1)問(wèn)屬于常規(guī)問(wèn)題，較為簡(jiǎn)單.第(2)問(wèn)主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及分類(lèi)討論思想，難度屬于中等檔次.第(2)問(wèn)究其本質(zhì)，考查的是等腰三角形兩條腰相等的性質(zhì)，找到這兩條腰就是突破本題的關(guān)鍵.題目并沒(méi)有明確給出哪條邊是腰，因此需要進(jìn)行分類(lèi)討論.

圖2

例2如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x-1與拋物線y=-x2+bx+c交于A，B兩點(diǎn)，其中A(m,0)，B(4,n)，該拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于另一點(diǎn)D.

(1)求m,n的值及該拋物線的解析式；

圖3

(2)如圖3，連接BD,CD，在線段CD上是否存在點(diǎn)Q，使得以A,D,Q為頂點(diǎn)的三角形與ABD相似？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

故A(1,0)，B(4,3).

又點(diǎn)A，B均在拋物線上，則

所以y=-x2+6x-5.

(2)存在.

令x=0,得y=-5，故C(0,-5).

因?yàn)锳(1,0)，B(4,3)，C(0,-5)，D(5,0)，所以

因?yàn)閗AB=kCD，所以AB∥CD.

故∠BAD=∠ADC.

因此，當(dāng)△ABD與△AQD相似時(shí)，只有以下兩種情況：①△ABD∽△DAQ，②△ABD∽△DQA.因?yàn)辄c(diǎn)Q在線段CD上，又kCD=1，故lCD:y=x-5，不妨設(shè)Q(q,q-5)(0≤q≤5).

圖4

圖5

評(píng)析：本題考查了二次函數(shù)的解析式和相似三角形動(dòng)點(diǎn)存在性問(wèn)題.第(1)問(wèn)屬于常規(guī)問(wèn)題，比較簡(jiǎn)單.第(2)問(wèn)則是在二次函數(shù)的基礎(chǔ)上融合了三角形相似的內(nèi)容.求解第(2)問(wèn)時(shí)要關(guān)注題目中三角形頂點(diǎn)的順序問(wèn)題，再進(jìn)行分類(lèi)討論.對(duì)于該題的分類(lèi)，因?yàn)橐阎幸唤M角已經(jīng)相等，即已經(jīng)確定了一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，那么只需對(duì)剩下的兩組角相等的情況進(jìn)行分類(lèi)，然后聯(lián)立解方程即可.

2 策略總結(jié)

從以上兩道例題可以看出，在求解二次函數(shù)中三角形存在性問(wèn)題時(shí)，常與分類(lèi)討論思想相結(jié)合.分類(lèi)的依據(jù)是解題的核心與關(guān)鍵，在等腰三角形中，常常以邊的相等情況為分類(lèi)依據(jù)；在相似三角形中，角相等或邊成比例往往成為分類(lèi)依據(jù).其次，方程思想也是不容忽視的重要思想，在進(jìn)行分類(lèi)后，往往會(huì)通過(guò)聯(lián)立方程求解.對(duì)于題目中所包含的邊、角關(guān)系都需要引起重視，這些都可以為聯(lián)立方程提供依據(jù).最后，三角形存在性問(wèn)題是建立在二次函數(shù)的定義、性質(zhì)的基礎(chǔ)上對(duì)問(wèn)題進(jìn)行的變式與創(chuàng)新，其本質(zhì)不變，故能透徹理解和應(yīng)用二次函數(shù)的知識(shí)是最基本的要求.對(duì)于等腰三角形和相似三角形存在性問(wèn)題，總結(jié)如下解題策略.

證明等腰三角形存在時(shí)：(1)寫(xiě)出等腰三角形存在的三種方程；(2)利用坐標(biāo)之間的關(guān)系表示出三條邊；(3)將所表示邊代入方程求解.值得注意的是，審題需要注意自變量的取值范圍，這往往也是限制方程解的條件.

證明相似三角形存在問(wèn)題：(1)根據(jù)題目信息，找出已知可能相等的角或邊的比例關(guān)系；(2)將剩下的角或邊分別進(jìn)行配對(duì)得到相似；(3)根據(jù)相似得到邊的比例關(guān)系，再將各邊表示出來(lái)代入等式方程求解即可.

總之，掌握二次函數(shù)中動(dòng)點(diǎn)存在性問(wèn)題的相關(guān)解題策略對(duì)學(xué)生解題有著非常大的幫助作用，本文主要以?xún)煞N特殊的三角形為例進(jìn)行展示，希望可以為學(xué)生熟練掌握解題技巧，以及靈活運(yùn)用知識(shí)提供助力.