孟 永

(北京陳經(jīng)綸中學(xué))

在基本初等函數(shù)中,二次函數(shù)是一個非常重要的函數(shù)模型,與其相關(guān)的問題遍及中、高考試題,以此為載體的問題備受命題者的青睞.尤其是含參數(shù)的“二次”問題經(jīng)常會隱形于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題中,學(xué)生在解決問題的過程中往往習(xí)慣于將目光聚焦于導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用而忽視研究對象的屬性,導(dǎo)致問題的解決不順暢乃至思路受阻.本文以根植于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的含參數(shù)的“二次”典型問題為例,對相應(yīng)的問題進(jìn)行分類整理,總結(jié)和梳理相關(guān)問題的解題思路,以強(qiáng)化“導(dǎo)數(shù)為工具,函數(shù)為主體”的解題意識.

1 利用求解含參數(shù)二次不等式的方法,解決函數(shù)的單調(diào)性問題

若a＝2,當(dāng)x＞0時,f′(x)＝2(x－1)lnx≥0恒成立,則函數(shù)f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增.

若0＜a＜2,即時,f′(x)＜0,則函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減;當(dāng)0＜或x＞1時,f′(x)＞0,則函數(shù)f(x)在和(1,＋∞)上單調(diào)遞增.

若a＞2,即.當(dāng)時,f′(x)＜0,則函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減;當(dāng)0＜x＜1或x＞時,f′(x)＞0,則函數(shù)f(x)在(0,1)和上單調(diào)遞增.

綜上,當(dāng)a＝2時,函數(shù)f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)0＜a＜2時,函數(shù)f(x)在和(1,＋∞)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當(dāng)a＞2時,函數(shù)f(x)在(0,1)和上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

2 利用含參數(shù)二次方程根的分布情況,解決函數(shù)的極值點問題

綜上,實數(shù)m的取值范圍是.

3 利用含參數(shù)二次函數(shù)的零點進(jìn)行取值,解決函數(shù)的隱零點問題

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

令g′(x)＝0,則x1＝a,x2＝1.

由函數(shù)的零點存在定理知,函數(shù)g(x)在(0,＋∞)上有且只有一個零點.

若a＞1,當(dāng)0＜x＜1或x＞a時,g′(x)＞0,則g(x)在(0,1)和(a,＋∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)1＜x＜a時,g′(x)＜0,g(x)在(1,a)上單調(diào)遞減.因為g(1)＝,所以g(a)＜g(1)＜0,則g(x)＜0在(0,a)恒成立,故函數(shù)g(x)在(0,a)上無零點.又

g(2a＋2)＝aln(2a＋2)＞0,

由函數(shù)的零點存在定理知,函數(shù)g(x)在(a,＋∞)上有且只有一個零點,故函數(shù)g(x)在(0,＋∞)上有且只有一個零點.

若0＜a＜1,易知g(x)在(0,a)上單調(diào)遞增,在(a,1)上單調(diào)遞減,在(1,＋∞)上單調(diào)遞增.此時,所以g(1)＜g(a)＜0,故g(x)＜0在(0,1)恒成立,則函數(shù)g(x)在(0,1)上無零點.又g(2a＋2)＝aln(2a＋2)＞0,由函數(shù)的零點存在定理知,函數(shù)g(x)在(1,＋∞)上有且只有一個零點,故函數(shù)g(x)在(0,＋∞)上有且只有一個零點.

綜上,函數(shù)g(x)在(0,＋∞)上有且只有一個零點.

4 利用含參數(shù)二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系消元,解決多元不等式問題

(1)求實數(shù)a的取值范圍;

(2)若a＞3,求證:x1＞1,且

綜上,實數(shù)a的取值范圍是.

(2)由題意可知x1,x2是方程2x2－ax＋1＝0的兩個實根,又x1＞x2,則時,,所以.

在利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的綜合問題時,解題者應(yīng)強(qiáng)化函數(shù)意識、重視研究對象的函數(shù)屬性.從函數(shù)的視角對研究的函數(shù)進(jìn)行歸類分析、局部研究,尤其是對函數(shù)代數(shù)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析,并輔以函數(shù)圖像的幾何特征分析,這樣能夠有效將思維打開.深化對基本初等函數(shù)及其運(yùn)算或復(fù)合后的函數(shù)的認(rèn)識和理解,能夠探索出隱形于表象背后的真相,在解決問題的過程中,逐步提升解題思維的靈活度,加深對問題的識別度,增強(qiáng)對本質(zhì)的感悟深度.

(完)