黃逸飛 郭述鋒*

(桂林航天工業(yè)學(xué)院 理學(xué)院，廣西 桂林 541004)

群環(huán)是一個(gè)重要的環(huán)類，它不僅與群論、環(huán)論有關(guān)，而且與域論、線性代數(shù)、代數(shù)數(shù)論、代數(shù)拓?fù)涞壤碚撚芯o密的聯(lián)系。近年來，群環(huán)在密碼、通信等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。研究群環(huán)的代數(shù)性質(zhì)和結(jié)構(gòu)一直是群環(huán)研究中的一個(gè)重要課題，因?yàn)檫@對(duì)于群環(huán)的應(yīng)用是非常重要的。整群環(huán)的單位群在研究群環(huán)代數(shù)性質(zhì)方面非常廣泛，比如文獻(xiàn)[1-3]等，但是對(duì)群代數(shù)FG的單位群的結(jié)構(gòu)刻畫的較少。M.KHAN和R.K.SHARMA等分別在文獻(xiàn)[4-5]中研究了FS4和FA4的單位群結(jié)構(gòu)。本文對(duì)FDm的代數(shù)結(jié)構(gòu)、單位群和零因子給出來了一個(gè)較為具體的刻畫。

1 基本概念與記號(hào)

記FG為群G在域F上的群代數(shù)，若群H是群G的一個(gè)正規(guī)子群，則從G到G/H的自然同態(tài)可以擴(kuò)張到FG到F[G/H]的代數(shù)同態(tài)，定義作∑g∈Gagg∑g∈GaggH，記這個(gè)同態(tài)的核為△(G,H)，△(G,H)是FG中由{h-1|h∈H}生成的一個(gè)理想，顯然有FG/△(G,H)?F[G/H]?！?G)是群代數(shù)FG的增廣理想，那么FG/△G?F，意味著群代數(shù)FG的Jacobson根J(FG)包含在△(G)中.對(duì)任意理想，若I?J(FG)，從FG到FG/I的自然同態(tài)可誘導(dǎo)一個(gè)從群代數(shù)FG的單位群u(FG)到u(FG/I)的同態(tài)滿射，并且核為1+I，顯然我們可以得到u(FG)/1+I?u(FG/I)。

設(shè)R為一個(gè)有單位元的環(huán)，D(R)表示環(huán)R的零因子集合，|D(R)|為環(huán)R的零因子個(gè)數(shù)。M(n,F)表示在域F上的n階全矩陣，GL(n,F)表示域F上的n階一般線性群，charF是域F的特征，而F*表示域F中非零元構(gòu)成的乘法群，F(xiàn)2是F的二次擴(kuò)域。

2 若干引理

為證明本文主要結(jié)果，下面給出若干必要的引理：

引理1(文獻(xiàn)[7]命題3.6.11)設(shè)K是一個(gè)特征為p的域，p>0，G是一個(gè)含有正規(guī)p-子群P的有限群，若p?|G/P|，則J(KG)=△(G,P)。

引理3(文獻(xiàn)[7]命題3.3.3)集合BH={q(h-1):q∈T,h∈H,h≠1}是△(G,H)在R上的基，其中T是H在G中的陪集代表系。

其中：qi是素?cái)?shù)的方冪，n1，…，nr，r為自然數(shù)。

3 主要結(jié)果

定理1設(shè)FS3為三次對(duì)稱群S3在有限域F上的群代數(shù)，J(FS3)為FS3的Jacobson根，則：

1)若|F|=2n，則FS3/J(FS3)?M(2,F)⊕F，

2)若|F|=3n，則FS3/J(FS3)?F⊕F，其中J(FS3)=△(D5,H)，H={1,a,a2}，

3)若|F|=pn，charF=P>3，則FS3?M(2,F)⊕F⊕F。

證明：1)若|F|=2n，則dimFJ(FS3)=1，那么dimFFS3/J(FS3)=5，又因?yàn)镕S3/J(FS3)是非交換的，所以FS3/J(FS3)?M(2,F)⊕F。

2)易驗(yàn)證H?S3，且|S3/H|=2，那么charF?|S3/H|，根據(jù)引理1知：J(FS3)=△(G,H)。又根據(jù)引理3知：{a-1,a2-1,b(a-1),b(a2-1)}為△(S3,H)在F上的一組基，所以△(S3,H)在F上的維數(shù)為4，即dimFJ(FS3)=4，那么dimFFS3/J(FS3)=2，從而FS3/J(FS3)只可能同構(gòu)于以下兩種形式：

FS3/J(FS3)?F⊕F，F(xiàn)S3/J(FS3)?F2，

又因?yàn)镕S3不是局部環(huán)，所以不可能是FS3/J(FS3)?F2，因此FS3/J(FS3)?F⊕F。

3)若|F|=pn，charF=P>3，則FS3為半單環(huán)，根據(jù)引理2知：

FS3?M(n1,D1)⊕M(n2,D2)⊕…⊕M(nr,Dr)，

其中：Di是域F上的有限維除環(huán)，又F有限，所以Di是有限域，而且FS3是非交換的，那么至少存在一個(gè)i，使得ni>1，因?yàn)閐imFZ(FS3)=3，所以FS3所有可能同構(gòu)的情況如下：

FS3?M(2,F)⊕F⊕F，

FS3?M(2,F)⊕F2，

推論1設(shè)u(Z(FS3))是三次對(duì)稱群S3在有限域F上群代數(shù)的單位群，V=1+J(FS3)，其中J(FS3)表示FS3的Jacobson根，則：

1)若|F|=2n，則u(FS3)/V?GL(2,F)⊕F*。

2)若|F|=3n，則u(FS3)/V?F*⊕F*。

3)若|F|=pn，charF=P>3，則u(FS3)?GL(2,F)⊕F*⊕F*。

如果R是一個(gè)有限環(huán)，那么R/J(R)也是有限環(huán)，而在有限環(huán)中，u(R)=R-D(R)，由引理4知，x∈D(R)?x+J(R)∈D(R/J(R))，那么我們可以得出以下推論：

推論2設(shè)FS3為三次對(duì)稱群S3在有限域F上的群代數(shù)，J(FS3)為FS3的Jacobson根，則：

1)若|F|=2n，則D(FS3)=∪(x+J(FS3))，

其中：

x+J(FS3)∈D(FS3/J(FS3))，D(FS3/J(FS3))?D(M(2,F)⊕F)。

2)若|F|=3n，則D(FS3)=∪(x+J(FS3))，

其中：

x+J(FS3)∈D(FS3/J(FS3))，D(FS3/J(FS3))?D(F⊕F)。

3)若|F|=2n，則D(FS3)?D(M(2,F)⊕F⊕F)。

定理2設(shè)FD5為10階二面體群D5在有限域F上的群代數(shù)，J(FD5)為FD5的Jacobson根，則：

1)若|F|=5n，則FD5/J(FD5)?F⊕F，其中J(FD5)=△(D5,H)，H={1,a,a2,a3,a4}。

2)若|F|=pn，charF=p>3,5|(p-1)或n為偶數(shù)，則：

FD5?M(2,F)⊕M(2,F)⊕F⊕F。

證明：(1)易驗(yàn)證H?D5，且|D5/H|=2，那么charF?|D5/H|，根據(jù)引理1知：J(FD5)=△(D5,H).又根據(jù)引理3知：

{a-1,a2-1,a3-1,a4-1,b(a-1),

b(a2-1),b(a3-1),b(a4-1)}

為△(D5,H)在F上的一組基，所以△(D5,H)在F上的維數(shù)為8，即dimFJ(FD5)=8，那么dimFFD5/J(FD5)=2，從而FD5/J(FD5)只可能同構(gòu)于以下兩種形式：

FD5/J(FD5)?F⊕F，F(xiàn)D5/J(FD5)?F2。

又因?yàn)镕D5不是局部環(huán)，所以不可能是FD5/J(FD5)?F2，因此FS3/J(FD5)?F⊕F。

3)若p為不等于2，5的素?cái)?shù)，那么p?|D5|，所以FD5是一個(gè)半單環(huán)，根據(jù)引理2有：

FD5?M(n1,D1)⊕M(n2,D2)⊕…⊕M(nr,Dr)，

FD5?M(2,F)⊕M(2,F)⊕F⊕F，

FD5?M(2,F)⊕M(2,F)⊕F2，

FD5?M(2,F2)⊕F⊕F，

FD5?M(2,F2)⊕F2。

情況一：當(dāng)5|(p-1)時(shí)，那么對(duì)所有的n:pn≡1(mod5)，則：

2）專題要素，土地用途區(qū)、土地現(xiàn)狀用途、允許建設(shè)區(qū)、有條件建設(shè)區(qū)和重要產(chǎn)業(yè)項(xiàng)目與基礎(chǔ)設(shè)施項(xiàng)目名稱及布局；

情況二：當(dāng)5?(p-1)且n為偶數(shù)時(shí)：

若a2p=a2，a3p=a3，則p≡1(mod5)，這與5?(p-1)矛盾。

若a2p=a3，a3p=a2，則2p≡3(mod5)，3p≡2(mod5)，從而p≡1(mod5)，這與5?(p-1)矛盾。

FD5?M(2,F)⊕M(2,F)⊕F⊕F。

推論3設(shè)u(Z(FD5))是10階二面體群D5在有限域F上群代數(shù)的單位群，V=1+J(FD5)，其中：J(FD5)表示FD5的Jacobson根，則：

1)若|F|=5n，則u(FD5)/V?F*⊕F*，

2)若|F|=pn，charF=p>3,5|(p-1)或n為偶數(shù)，則：

u(FD5)?GL(2,F)⊕GL(2,F)⊕F*⊕F*。

推論4設(shè)FD5為10階二面體群D5在有限域F上的群代數(shù)，J(FD5)為FD5的Jacobson根，則：

1)若|F|=5n，則D(FD3)=∪(x+J(FD5))，

其中：

x+J(FD5)∈D(FD5/J(FD5))，

D(FD5/J(FD5))?D(F⊕F)。

2)若|F|=pn，charF=p>3,5|(p-1)或n為偶數(shù)，則：

D(FD5)?D(M(2,F)⊕M(2,F)⊕F⊕F)。