田婷婷 王忠民 王清波

*(西安理工大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，西安 710048)

?(黃河科技學(xué)院，鄭州 450006)

**(四川建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院土木工程系，四川德陽 618000)

功能梯度材料[1-2]是一種材料屬性在指定方向上呈連續(xù)功能梯度變化的優(yōu)質(zhì)復(fù)合材料，由于其具有高剛度耐高溫和無脫層等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于航空航天、交通運(yùn)輸以及醫(yī)療設(shè)備等領(lǐng)域。目前有關(guān)功能梯度梁振動(dòng)問題的研究中，文獻(xiàn)集中于功能梯度直梁振動(dòng)的問題，僅有少量文獻(xiàn)研究了具有初始幾何缺陷梁的振動(dòng)問題。莫淇茗等[3]基于Euler-Bernoulli梁和Timoshenko梁理論，對功能梯度梁的自由振動(dòng)問題進(jìn)行了研究。蹇越傲等[4]基于經(jīng)典梁理論，研究了熱載荷作用下功能梯度梁的大幅值振動(dòng)問題，討論了熱載荷作用下振幅、材料梯度參數(shù)、熱載荷、邊界條件等因素對功能梯度梁固有頻率的影響。張蕊麗等[5]和楊智春等[6]研究了帶有初始幾何缺陷的二維壁板在超音速氣流中非線性顫振特性。George等[7]采用Budiansky-Hutchinson準(zhǔn)則，研究了瞬態(tài)熱載荷作用下淺拱的動(dòng)力屈曲問題。劉麗威[8]基于經(jīng)典梁理論、一階剪切變形理論建立了功能梯度梁的運(yùn)動(dòng)微分方程，運(yùn)用微分求積法分別研究兩種理論下的均勻材料梁和功能梯度梁的線性振動(dòng)問題。陳喜等[9]研究了磁場作用下軸向運(yùn)動(dòng)功能梯度Timoshenko梁的振動(dòng)問題。

在工程實(shí)踐中，建筑結(jié)構(gòu)構(gòu)件在生產(chǎn)或使用過程中不可避免會(huì)產(chǎn)生一些缺陷，對于構(gòu)件本身可能存在的初始幾何缺陷，如初彎曲和初偏心等，本文主要研究由初彎曲產(chǎn)生的初始幾何缺陷的功能梯度梁。在Euler-Bernoulli梁理論的基礎(chǔ)上，采用微分求積法對初始幾何缺陷的功能梯度梁的自由振動(dòng)問題進(jìn)行研究，分析了梯度指標(biāo)、初始幾何曲率、邊界約束對梁的無量綱固有頻率和振型的影響。

1 初始幾何缺陷的功能梯度梁的運(yùn)動(dòng)微分方程

建立如圖1所示的初始幾何缺陷的功能梯度材料梁模型，梁長為l，橫截面的寬度為b，厚度為h，初始幾何缺陷（微小初始撓度）函數(shù)為w0(x)，梁的功能梯度材料由陶瓷與金屬復(fù)合而成。

圖1 初始幾何缺陷的功能梯度梁Fig.1 Functionally graded beam with initial geometric defects

假設(shè)梁材料性質(zhì)沿厚度方向呈梯度分布，采用冪函數(shù)模型[10]來表示材料組分沿梁厚度方向的變化規(guī)律。功能梯度梁的彈性模量E(z)、 密度ρ(z)可以表示為

式中，下標(biāo)c和m分別表示陶瓷和金屬材料，n為梯度指標(biāo)。利用物理中面概念，取功能梯度梁的物理中面z=z0，即

根據(jù)經(jīng)典梁理論和物理中面[11]的概念，梁任意點(diǎn)的位移分量可以表示為

式中，ux和wz分別為功能梯度梁內(nèi)任意點(diǎn)在x和z方向上的位移分量，u和w為梁軸線上任意點(diǎn)在x和z方向上的位移，z為橫截面上任意點(diǎn)坐標(biāo)。

應(yīng)力σx與應(yīng)變εx的關(guān)系為

梁的軸力Nx與彎矩Mx分別為式中，A1為拉伸剛度系數(shù)，B1為耦合剛度系數(shù)，D1為彎曲剛度系數(shù)，分別為

將式（1）的第一式代入式（7），進(jìn)行積分可得

式中

由Hamilton原理，可得初始幾何缺陷的功能梯度梁的微分方程組

將式（5）和式（6）代入式（9）和式（10）中，可得用位移分量表示的運(yùn)動(dòng)微分方程

式中

將式（1）的第二式代入式（13），進(jìn)行積分可得

式中

設(shè)式（11）和式（12）的解為

式中，ω為梁的固有頻率， i 為虛數(shù)單位。

將式（15）代入式（11）和式（12），可得

引入無量綱參數(shù)

將式（18）代入式（16）和式（17）及位移分量表示的邊界條件，可得無量綱化振型微分方程及無量綱化邊界條件

無量綱邊界條件：

（1）兩端簡支（S-S）

（2）左端固支，右端簡支（C-S）

（3）兩端固支（C-C）

2 微分求積法求解

微分求積法的實(shí)質(zhì)是用全域上全部節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行加權(quán)求和來表示函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在給定節(jié)點(diǎn)處的值，因此可將微分方程離散成以節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為未知數(shù)的一組代數(shù)方程組。以一維函數(shù)g(x)為例，設(shè)其在區(qū)間 [0,1] 上連續(xù)可微，其一階導(dǎo)數(shù)可表示為

式中，Wj(x) 為插值基函數(shù)，xj為N個(gè)互異節(jié)點(diǎn) 0 =x1

類似的，在第i個(gè)節(jié)點(diǎn)處函數(shù)的二階、三階、四階導(dǎo)數(shù)值可表示為

本文邊界條件的處理方法采用δ法，δ的取值范圍[13]為 1 0-6≤δ≤ 10-4， 過大或過小都會(huì)造成結(jié)果的不收斂。本文插值基函數(shù)采用Lagrange多項(xiàng)式，節(jié)點(diǎn)的選取形式為

微分求積法對式（19）和式（20）進(jìn)行離散，可得

對無量綱邊界條件運(yùn)用微分求積法進(jìn)行離散：

（1）兩端簡支（S-S）

（2）左端固支，右端簡支（C-S）

（3）兩端固支（C-C）

式（29）和式（30）與相對應(yīng)邊界條件聯(lián)立，寫成矩陣形式

式中，M,K為 2N×2N方陣，W={U1,U2,...,UN,W1,W2,...,WN}T為列陣。根據(jù)線性代數(shù)理論，方程（34）存在非零解的充分和必要條件是系數(shù)行列式等于零，由此得到特征方程

設(shè)初始幾何缺陷為拋物線函數(shù)，即W0(ξ)=H[1-4(ξ-0.5)2]/h，將其代入式（29）和式（30）可得

3 算例與分析

為了驗(yàn)證本文解的正確性，物性參數(shù)選取為[8]：Ec=427GPa ，ρc=3100kg/m3，Em=125GPa ，ρm=8920kg/m3。表1給出了三種邊界條件下，梯度指標(biāo)n取不同值時(shí)功能梯度直梁的一階無量綱固有頻率，并與文獻(xiàn)[8]的結(jié)果進(jìn)行了比較，在n=0或n= 10 000（退化為均勻材料）時(shí)的結(jié)果十分接近，但梯度指標(biāo)較小時(shí)差別較大，原因是本文考慮了非均勻材料中性面的選取與均勻材料的不同。表中偏差率 = (本文結(jié)果-文獻(xiàn)[8]結(jié)果)/本文結(jié)果。

表1 S-S、C-S和C-C邊界條件下n取不同值時(shí)直梁一階無量綱固有頻率 Ω 與文獻(xiàn)[8]的比較Table 1 Comparison of the first-order dimensionless natural frequencies Ω of straight beams with different values of n under S-S, C-S and C-C boundary conditions and that in Ref.[8]

表2給出了S-S，C-S和C-C三種邊界條件下，不同初始幾何曲率的功能梯度梁的一階無量綱固有頻率的本文解與文獻(xiàn)[14]中1階無量綱固有頻率的比較。注意的是，文獻(xiàn)[14]研究對象為初始曲率半徑為的圓弧梁，通過對比分析發(fā)現(xiàn)在無量綱初始幾何曲率不超過10的情況下，誤差在10%范圍內(nèi)。表中? 表示圓弧曲梁的半徑，表示矩形截面的回轉(zhuǎn)半徑；偏差率 = (本文結(jié)果-文獻(xiàn)[14]結(jié)果)/本文結(jié)果。

表2 S-S、C-S和C-C邊界條件下初始缺陷梁一階無量綱固有頻率與文獻(xiàn)[14]的比較Table 2 Comparison of the first-order dimensionless natural frequencies of initial defective beams with those in Ref.[14] under S-S, C-S and C-C boundary conditions

圖2給出初始幾何缺陷的功能梯度梁在S-S、C-S和C-C邊界條件下，梯度指標(biāo)n= 10，l/h= 10時(shí)初始幾何曲率對功能梯度梁前二階振型函數(shù)的影響。

圖2 三種邊界條件下初始幾何曲率對功能梯度梁前二階振型函數(shù)的影響Fig.2 Influence of initial geometric curvature on the first second-order mode functions of functionally graded beams under three boundary conditions

圖3給出了無量綱初始幾何曲率Γx=3 ，l/h=10時(shí)，梯度指標(biāo)對S-S，C-S和C-C三種不同邊界條件下初始幾何缺陷的功能梯度梁的前三階無量綱固有頻率的影響。從圖中可以看出隨著梯度指標(biāo)的增加，梁的前三階無量綱固有頻率都在逐漸降低。這是因?yàn)殡S著功能梯度指標(biāo)的增加，梁中陶瓷的含量逐漸增加，使得梁的整體剛度減小。相較于一階固有頻率，二階、三階無量綱固有頻率的幅值減小得最為明顯。

圖3 梯度指標(biāo)對前三階無量綱固有頻率的影響Fig.3 Influence of gradient index on the first three dimensionless natural frequencies

圖4給出了梯度指標(biāo)n= 10，l/h= 10時(shí)，無量綱初始幾何曲率對S-S，C-S和C-C三種不同邊界條件下初始幾何缺陷的功能梯度梁的前三階無量綱固有頻率的影響。由圖中可以得出，當(dāng)梯度指數(shù)固定不變時(shí)，其一階固有頻率隨著初始幾何曲率的增大逐漸增大，而二階、三階固有頻率卻隨著初始幾何曲率的增大在逐漸減小。相較于二階、三階固有頻率，對一階無量綱固有頻率的影響最大。

圖4 初始幾何曲率對前三階無量綱固有頻率的影響Fig.4 Influence of initial geometric curvature on the first three dimensionless natural frequencies

4 結(jié)論

（1）無量綱初始幾何曲率一定時(shí)，在三種不同邊界條件下，隨著梯度指標(biāo)的增加，初始幾何缺陷的功能梯度梁的前三階無量綱固有頻率都在逐漸減小，一階無量綱固有頻率減小得幅度較小，二到三階無量綱固有頻率減小得幅度較大。

（2）當(dāng)梯度指標(biāo)固定不變時(shí)，其一階無量綱固有頻率隨著初始幾何曲率的增大而逐漸增大，而二階、三階固有頻率卻在減小，并且二階無量綱固有頻率減小的幅值大于第三階。