福建省廈門(mén)實(shí)驗(yàn)中學(xué) (361100) 沈振軍

在近年高考數(shù)學(xué)試題中，以抽象函數(shù)或具體函數(shù)為載體考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性題型是?？己蛣?chuàng)新題型，此類(lèi)題型突出對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想的考查與應(yīng)用；要求學(xué)生具備獨(dú)立分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的重要能力；同時(shí)體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考查.本文從關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)、關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的函數(shù)、關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)函數(shù)、函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性關(guān)系、利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性找不等關(guān)系等五個(gè)方面的性質(zhì)例析其應(yīng)用.

1.關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)

性質(zhì)1 函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線(xiàn)x=a軸對(duì)稱(chēng)等價(jià)于f(a+x)=f(a-x)(或f(2a-x)=f(x)).

例1 若函數(shù)f(x)=2|x-a|(a∈R)滿(mǎn)足f(1+x)=f(1-x)，且f(x)在區(qū)間[m,+∞)上單調(diào)遞增，則m的最小值等于.

解析：由函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(1+x)=f(1-x)，可得其關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，故a=1，則f(x)=2|x-1|，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，可知函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)遞增，所以m的最小值為1.

性質(zhì)2 若函數(shù)y=f(x)同時(shí)關(guān)于直線(xiàn)x=a與x=b軸對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且周期T=2|a-b|.

A．f(2)

C．f(-2)

性質(zhì)3 若函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線(xiàn)x=a軸對(duì)稱(chēng)，且在x=a處可導(dǎo)，則f′(a)=0.

2.關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)的函數(shù)

性質(zhì)4 函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)中心對(duì)稱(chēng)等價(jià)于f(a-x)+f(a+x)=2b(或f(2a-x)+f(x)=2b).

性質(zhì)5 (1)若函數(shù)y=f(x)同時(shí)關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)是一個(gè)周期函數(shù)，且周期T=2|a-b|；(2)若函數(shù)y=f(x)既關(guān)于直線(xiàn)x=b對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于點(diǎn)(a,0)成中心對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)是一個(gè)周期函數(shù)，且周期T=4|a-b|.

例7 若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù)，則( ).

A.f(x)是偶函數(shù) B.f(x)是奇函數(shù)

C.f(x)=f(x+2) D.f(x+3)是奇函數(shù)

解析：f(x+1)與f(x-1)都是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)關(guān)于(1,0)和(-1,0)中心對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且周期T=4，則f(x+3)=f(x+3-4)=f(x-1)，則f(x+3)是奇函數(shù)，故選D.

3.關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)函數(shù)

性質(zhì)6 若兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)互為反函數(shù)，則這兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng).

4.函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)關(guān)系

性質(zhì)7y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，若y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(m,n)對(duì)稱(chēng)，則y=f′(x)圖像關(guān)于直線(xiàn)x=m對(duì)稱(chēng)；若y=f(x)圖像關(guān)于直線(xiàn)x=m對(duì)稱(chēng)，則y=f′(x)圖像關(guān)于點(diǎn)(m,0)對(duì)稱(chēng).

5.利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性找不等關(guān)系

性質(zhì)8 (1)已知函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(m,n)成中心對(duì)稱(chēng)，且f(x)為增函數(shù).若x1+x2>2m，則有f(x1)+f(x2)>2n.若x1+x2<2m，則有f(x1)+f(x2)<2n，反之亦然;(2)已知函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(m,n)成中心對(duì)稱(chēng)，且f(x)為減函數(shù).若x1+x2>2m，則有f(x1)+f(x2)<2n.若x1+x2<2m，則有f(x1)+f(x2)>2n，反之亦然.

例13 定義在R上的連續(xù)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(-x)=-f(x+4)，當(dāng)x>2時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，若x1+x2>4且(x1-2)(x2-2)<0，則f(x1)+f(x2)和0的大小關(guān)系為.

解法一(代數(shù)方法)：由x1+x2>4且(x1-2)(x2-2)<0，則可假設(shè)x1<2，可得x2>4-x1>2，利用函數(shù)f(x)在x>2單調(diào)遞增，可得f(x2)>f(4-x1),利用f(-x)=-f(x+4)，可得f(4-x1)=-f(x1)，則可得f(x1)+f(x2)>0.

解法二(對(duì)稱(chēng)函數(shù)的方法)：由f(x)滿(mǎn)足f(-x)=-f(x+4)，可知函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(2,0)成中心對(duì)稱(chēng)，連續(xù)函數(shù)f(x)在x>2單調(diào)遞增，可得f(x)在整個(gè)定義域上單調(diào)遞增，由x1+x2>4,則可得f(x1)+f(x2)>0.

綜上實(shí)例可以看出，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性與函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值、周期性、方程的根及圖像的交點(diǎn)等性質(zhì)結(jié)合，即考查從特殊(奇偶性)到一般(軸對(duì)稱(chēng)和點(diǎn)對(duì)稱(chēng))的推理能力，又考查了化歸轉(zhuǎn)化能力.此類(lèi)題靈活性強(qiáng)，條件較隱蔽，能較較好地考查學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求.