?江蘇省南通市通州灣三余初級中學(xué) 姜海平

1 引言

以一題多變切入教學(xué)，是對傳統(tǒng)教學(xué)方式的一次變革.教師改變了原先的就題論題的教學(xué)方式，而是指導(dǎo)學(xué)生抓數(shù)學(xué)題目的本質(zhì)，在“變”與“不變”中體會(huì)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，進(jìn)而培養(yǎng)他們深度探究的習(xí)慣.

2 改變條件，提升探究的廣闊度

一題多變能讓學(xué)生集中思維，思考類似的問題，進(jìn)而提升他們解決問題的能力.教師可先讓學(xué)生試著改變問題的條件，讓他們思考會(huì)出現(xiàn)什么樣的情況.改變條件能讓學(xué)生體會(huì)到由什么樣的條件能得出什么樣的結(jié)論，進(jìn)而提升探究的廣闊度.

以下面這題為例，如圖1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，點(diǎn)D為垂足，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E.求證：CE∶EB=CD∶CB.

圖1

圖2

學(xué)生先由結(jié)論想到，這可能需要證線段所在的三角形相似.當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這一思路有困難時(shí)，他們就想是不是可以找一個(gè)中間的條件過渡一下.于是他們過點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，進(jìn)而求得△BEH∽△BCD，得出HE∶DC=EB∶CB，進(jìn)而推斷CE∶EB=CD∶CB.教師讓學(xué)生想一想如果加一個(gè)條件會(huì)怎么樣，教師問：假如FG∥AB交BC于點(diǎn)G，如圖2所示，能否證明CE=BG？這其實(shí)就是讓學(xué)生利用原先的題目情境，將思維往深處漫溯，讓他們在多一個(gè)條件的情況下，思考更多的可能.學(xué)生會(huì)想原先的題目中有哪些條件可用，原先的思路要不要發(fā)生改變，探究的范圍進(jìn)一步拓展.學(xué)生先從原先的AE平分∠BAC，EH⊥AB，EC⊥AC等條件中得出EC=EH，∠CAE=∠BAE，∠CEA+∠CAE=∠AFD+∠BAE=90°，進(jìn)而進(jìn)一步推斷出∠CEA=∠CFE，再推斷出FC=EC，F(xiàn)C=EH.對于新增加的條件，他們想到了∠CGF=∠CBD，∠CFG=∠CDB，進(jìn)而推斷出△CFG≌△EHB，最終得出CG-EG=EB-EG，即CE=BG.條件改變了，學(xué)生探究的方式也發(fā)生了變化，他們在原先的基礎(chǔ)上創(chuàng)新了解決問題的方式.

3 改變結(jié)論，提升探究的階梯度

學(xué)生在做完教師設(shè)置的問題后，不管對不對，都會(huì)繼續(xù)下一題.其實(shí)，教師可以讓學(xué)生對原先的題目進(jìn)行充分的思考.如果這道題不會(huì)做，就想一想會(huì)不會(huì)有別的結(jié)論自己能夠證明或者解讀；如果題目會(huì)做，就想一想是不是還能推出其他結(jié)論.這樣的思考方式能讓學(xué)生進(jìn)行階梯性的探究，也就是當(dāng)學(xué)生不會(huì)做題時(shí)，就思考一些稍微簡單的結(jié)論；如果會(huì)做，就進(jìn)行進(jìn)一步的拓展.因此在教學(xué)的過程中，教師要讓學(xué)生養(yǎng)成一題多變的習(xí)慣，要讓他們在改變結(jié)論的過程中，促進(jìn)思維朝著適切的方向發(fā)展.

還以圖1涉及的題目為例，一學(xué)生沒辦法證明教師給出的結(jié)論，但是他在畫圖的過程中，發(fā)現(xiàn)CE可能等于CF(CD⊥AB，CD與AE交于點(diǎn)F)，證明這樣的結(jié)論簡單一點(diǎn).教師允許學(xué)生更改結(jié)論，只要他們能基于問題不斷思考.學(xué)生從AE平分∠BAC這一條件出發(fā)，得出∠CAE=∠BAE，再從∠ACB=90°，CD⊥AB，得出∠CEA+∠CAE=∠AFD+∠BAE=90°，則∠CEA=∠AFD.最后，學(xué)生由∠CFE=∠AFD這一條件得出∠CEA=∠CFE，CE=CF.教師設(shè)置的問題不一定適合學(xué)生，允許學(xué)生就題目的結(jié)論做出一定的修改.一方面，能讓基礎(chǔ)差的學(xué)生也獲得成功的喜悅；另一方面，能讓基礎(chǔ)好的學(xué)生獲得進(jìn)一步拓展的空間.學(xué)生在探究的過程中，最容易出現(xiàn)的現(xiàn)象就是教師設(shè)置的問題，學(xué)生不是嫌難，就是嫌簡單.因此不斷地變換結(jié)論，就能滿足不同層次學(xué)生的需求，也能培養(yǎng)他們循序漸進(jìn)探究的習(xí)慣.

4 改變思路，提升探究的靈活度

一題多變，還要體現(xiàn)解題思路的多變，即學(xué)生要能從不同的角度思考問題，靈活地運(yùn)用所學(xué)認(rèn)知.因此教師要以設(shè)置開放式問題為主，讓學(xué)生從多元的角度展開思考.教師對學(xué)生的評價(jià)也要體現(xiàn)出“變”，即要肯定學(xué)生多樣的解題方式.換言之，教學(xué)中，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)更多的一題多解的題目，促使學(xué)生在解決問題的過程中實(shí)現(xiàn)思維的多樣化.例如，如圖3所示，已知AB=AC，E是AC延長線上的一點(diǎn)，且有BF=CE，連接FE交BC于點(diǎn)D.求證：FD=DE.

圖3

圖4

圖5

學(xué)生先從結(jié)論出發(fā)進(jìn)行思考，他們的慣性思維認(rèn)為要證明兩條線段相等，就是要證明線段所在的三角形是全等三角形，但是單從直觀沒發(fā)現(xiàn)有全等的三角形，他們想到了作輔助線，創(chuàng)設(shè)全等三角形，進(jìn)而證得兩條線段相等.如圖4所示，學(xué)生先過點(diǎn)E作EM∥AB交DC的延長線于點(diǎn)M，從∠M=∠B出發(fā)，結(jié)合∠ACB=∠B，∠ACB=∠ECM，得出∠ECM=∠M，進(jìn)而推出CE=EM.再由EC=BF推出EM=BF.又∠BFD=∠DEM，最后得出△DBF≌△DME，進(jìn)而有FD=DE.

在學(xué)生得出第一種方法之后，教師讓他們思考有沒有第二種方法也能解決相同的問題.學(xué)生思考第二種方法會(huì)不會(huì)就是作輔助線的方式不同.受第一種方法的影響，如圖5所示，他們想到從另外一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，也作一條平行線.他們想到過點(diǎn)F作FM∥AE，交BD于點(diǎn)M.學(xué)生有了新的想法，教師就要給他們充分思考的時(shí)間，讓他們體驗(yàn)這一想法.他們從∠1=∠2=∠B中得出BF=FM；又根據(jù)∠4=∠3，∠5=∠E得到△DMF≌△DCE，進(jìn)而推斷出FD=DE.可見教師指導(dǎo)學(xué)生變換解法，能培養(yǎng)他們靈活解決問題的能力，也讓思維愈發(fā)敏捷.

5 改變講法，豐富探究的深度

對于一題多變，教師最主要的目的就是讓學(xué)生多方位地展示他們的思維能力，讓他們就一個(gè)題目，不斷發(fā)散思維，不斷促進(jìn)素養(yǎng)的生長.一題多變的關(guān)鍵在于“變”，教師可以采取不同的教學(xué)方式，不斷地展示教學(xué)的“變”，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生的“變”.在教學(xué)中，教師可以改變原先由教師講題的方式，進(jìn)而轉(zhuǎn)為讓學(xué)生自己講.這個(gè)“變”能讓學(xué)生更直接地參與題目的探究，能讓他們在互為師徒的過程中，能力得到再提升.學(xué)生講解的過程中，會(huì)遇到更多的問題，他們能在討論的基礎(chǔ)上找到新的方法，探究也就由表面不斷抵達(dá)內(nèi)核.

圖6

教師先展示這樣一題：如圖6所示，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，△ACM，△CBN是等邊三角形.求證：AN=BM.

先是小組的一個(gè)學(xué)生自告奮勇地講解解題思路：因?yàn)椤鰽CM，△CBN是等邊三角形，所以MC=AC，CN=CB，∠ACN=∠MCB，進(jìn)而得出△ACN與△MCB全等，最終得出AN等于BM.最后，講解者總結(jié)思路：證明線段相等，可以從全等開始.

接著小組長問能不能再發(fā)現(xiàn)一些結(jié)論.有組員想到連接DE，看能不能求得△DCE是等邊三角形.一學(xué)生說，只要證明△ADC≌△MEC，就能得出DC=EC；又因?yàn)椤螪CE=60°，所以△DCE是等邊三角形.進(jìn)而又有學(xué)生提出能不能證明DE∥AB.大多數(shù)學(xué)生都想到了只要證明∠EDC=∠ACM=60°，就能得出DE∥AB.一題多變在這個(gè)環(huán)節(jié)變成了以學(xué)生為主的提出問題與解決問題，教師只需做適當(dāng)?shù)囊I(lǐng).在學(xué)生想不到別的問題時(shí)，教師問：連接CF，可以看出什么？學(xué)生先猜想，CF可能平分∠AFB.接著一個(gè)學(xué)生站起來說，過點(diǎn)C作CG⊥AN于點(diǎn)G，CH⊥BM于點(diǎn)H，再由△ACN≌△MCB，就能得出CG=CH，進(jìn)而就有CF平分∠AFB.改變講法，就能激發(fā)學(xué)生更多的主觀能動(dòng)性，讓數(shù)學(xué)課堂豐富而多變.

6 結(jié)束語

教師讓學(xué)生關(guān)注一題多變，其實(shí)就是進(jìn)一步拓展學(xué)生的思維能力，就是培養(yǎng)他們以階梯方式進(jìn)行分析和判斷的能力，在求“變”的過程中，學(xué)生自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng)也得到提升.因此，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生參與一題多變的實(shí)踐，從而提升他們的探究能力.