熊淑君

數(shù)學為人們提供了一種認識與探究現(xiàn)實世界的觀察方式。“用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”是《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》提出的重要核心素養(yǎng)目標。義務(wù)教育階段數(shù)學眼光主要表現(xiàn)為：抽象能力（數(shù)感、量感、符號意識）、幾何直觀、空間觀念與創(chuàng)新意識。然而，通過課堂觀察我們發(fā)現(xiàn)，實際教學對于素養(yǎng)目標的達成還有很長一段路要走。

在人教版一上準備課“比多少”的教學中，學生通過情境中每只兔子搬一塊磚，4只兔子與4塊磚，一一對應(yīng)認識同樣多。隨后教師問：“每只兔子吃1根蘿卜，4只兔子吃4根蘿卜，夠嗎？”某學生非常肯定地說：“不夠！兔子那么大，蘿卜那么小，肯定吃不飽！”

上述現(xiàn)象的發(fā)生歸根結(jié)底是教師沒有很好地引導學生經(jīng)歷數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象過程建構(gòu)數(shù)感。數(shù)感的形成與發(fā)展需要依托具體的數(shù)學內(nèi)容，立足數(shù)學本質(zhì)是培養(yǎng)學生數(shù)感的重要基礎(chǔ)。通過對上述教育現(xiàn)象的觀察與分析，引發(fā)筆者對聚焦數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象，培養(yǎng)學生數(shù)感的幾點思考。

一、于真實情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)量

數(shù)感主要是指對于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運算結(jié)果的直接感悟。數(shù)感的形成是建立在學生充分經(jīng)歷數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象過程，達成對數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的理解與感悟基礎(chǔ)上的。教學中教師須創(chuàng)設(shè)蘊含豐富數(shù)學信息的真實情境，為培養(yǎng)學生數(shù)感提供物質(zhì)基礎(chǔ)。在引導學生于真實情境發(fā)現(xiàn)數(shù)量的過程中，逐步形成和發(fā)展學生數(shù)感，幫助他們積累數(shù)學抽象的經(jīng)驗基礎(chǔ)。

如“比多少”一課，首先引導學生發(fā)現(xiàn)教學情境中不同物體的數(shù)量：小白兔的只數(shù)、蘿卜的根數(shù)、小熊的只數(shù)、木頭的根數(shù)等等。這個過程中，學生剝離真實物體依賴的情境，以及物體本身的顏色、大小等物理屬性，僅保留數(shù)量這一研究對象。學生一般通過點數(shù)的方式獲取數(shù)量信息。通過點數(shù)學生明白獲取數(shù)量信息就是不重復、不遺漏地數(shù)出物體的總個數(shù)，總個數(shù)的多少與點數(shù)的順序無關(guān)。教學中常常通過問題“請你用數(shù)學的眼光觀察情境中各種物體的數(shù)量分別是多少”或“你能發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)學信息”引導學生“數(shù)學地”觀察，發(fā)現(xiàn)情境中有用的數(shù)學信息，為進一步抽象出探究對象作準備。

二、引導學生經(jīng)歷數(shù)學抽象的全過程

學生從已有經(jīng)驗出發(fā)經(jīng)歷數(shù)學抽象的全過程，形成新的數(shù)學認知是數(shù)學學習的一般歷程。數(shù)學是研究千變?nèi)f化中不變的規(guī)律，故從變與不變的視角引導學生由表及里、由此及彼地對現(xiàn)象或規(guī)律進行去偽存真、去粗取精。這個認知過程就像“剝洋蔥”，一層層剝掉數(shù)學對象的“外衣”，一步步逼近數(shù)學本質(zhì)。

“比多少”的教學，學生先在情境中抽象出數(shù)量，而后用一一對應(yīng)的方法比較多少。教師引導學生比較4只兔子與4塊磚，1只兔子對應(yīng)1塊磚，沒有多余的兔子也沒有多余的磚，兩者的數(shù)量就同樣多。變換情境，將小白兔變成小灰兔或小黑兔，把磚變更大或者更小，引導學生體會其中的變與不變，抓住不變的數(shù)量關(guān)系，認識一一對應(yīng)與同樣多，建立起4只與4塊同樣多的數(shù)量關(guān)系。在此基礎(chǔ)上用一一對應(yīng)的方法比較5支鉛筆與5個文具盒、3個小朋友和3個書包等同樣多的情況。啟發(fā)學生思考：這些物體不同、物體的個數(shù)也不同，為什么都是同樣多呢？引導學生觀察幾組同樣多的共性，從而明白只要兩種物體一個對應(yīng)一個沒有剩余，它們的數(shù)量就同樣多，跟物體是什么、有多少沒有關(guān)系。學生厘清了比較數(shù)量多少的本質(zhì)是個數(shù)之間的一一對應(yīng)，就不會出現(xiàn)“4只兔子吃4根蘿卜吃不飽”的現(xiàn)象。如此，初步建立起兩個數(shù)量之間的一一對應(yīng)和同樣多的關(guān)系，為以后建立加法模型和乘法模型，學習“總量=分量+分量”等數(shù)量關(guān)系埋下伏筆。

在感受數(shù)量之間一一對應(yīng)關(guān)系的基礎(chǔ)上，用類似的學法引導學生理解與感悟數(shù)量之間的多少關(guān)系。借助小熊搬木頭的情境，比較3只小熊與4根木頭的多少。引導學生觀察1只小熊對應(yīng)1根木頭，小熊沒有多余而有多余的木頭，木頭的根數(shù)就比小熊的只數(shù)多，小熊的只數(shù)比木頭的根數(shù)少。初步建立起3只與4根之間的多少關(guān)系。接著讓學生選擇圖中物體數(shù)量用一一對應(yīng)的方法進行比較。如比較小熊的只數(shù)（3只）與凳子的個數(shù)（4個），小熊的只數(shù)（3只）與花的朵數(shù)（5朵）等。引導學生觀察發(fā)現(xiàn)，幾次比較多少的相同點，以及比較中確定兩個物體的數(shù)量誰多誰少的方法。通過找相同的思維活動學生明白，比較數(shù)量的多少都用一一對應(yīng)的方法，一一對應(yīng)之后有剩余的數(shù)量比較多，沒有剩余的數(shù)量比較少。從而建立起數(shù)量之間的大小關(guān)系，為后續(xù)學習數(shù)量之間的不等關(guān)系奠定基礎(chǔ)。

“比多少”一課揭示了小學階段三種主要數(shù)量關(guān)系：數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系、數(shù)量之間的相等關(guān)系和數(shù)量之間的大小關(guān)系。數(shù)感的核心成分是對數(shù)量關(guān)系的感悟與理解，故本課是培養(yǎng)學生數(shù)感的啟蒙課。從上面的教學可以看出，認識數(shù)量關(guān)系的過程是一個從特殊到一般的、環(huán)環(huán)相扣、層層遞進的抽象過程?；跀?shù)學對象，先從一組學習材料著手，摒棄其非本質(zhì)屬性，得到具體的數(shù)量關(guān)系，實現(xiàn)第一次抽象。接著選擇多組類似學習材料，比較辨析它們的共性，抽象概括出一般性、普適性的數(shù)量關(guān)系，揭示數(shù)量關(guān)系本質(zhì)的同時幫助學生形成初步的數(shù)感。

三、實踐運用中升華數(shù)感

數(shù)感的形成與發(fā)展是一個持續(xù)的、循序漸進的過程?！氨榷嗌佟币徽n中學生習得的三種數(shù)量關(guān)系也需要在解決問題的應(yīng)用中鞏固和內(nèi)化。如解決教材第8頁第4題，比較黃珠子和紅珠子誰的數(shù)量較多。學生通過黃珠子與紅珠子一一對應(yīng)的不同表征：圈一圈、連一連、畫一畫、數(shù)一數(shù)等，深刻領(lǐng)會一一對應(yīng)的本質(zhì)是數(shù)量上的一個對應(yīng)一個。在此基礎(chǔ)上教師追問：怎樣把黃珠子與紅珠子的顆數(shù)變得同樣多？怎樣把紅珠子的顆數(shù)變得比黃珠子多？使黃珠子與紅珠子變得同樣多有增加紅珠子或者減少黃珠子兩條路徑，每條路徑的方案都是豐富多樣的——可以增加1顆紅珠子，增加2顆紅珠子和1顆黃珠子；減少1顆黃珠子，減少2顆黃珠子和1顆紅珠子……引導學生觀察、比較，發(fā)現(xiàn)其中增減變化的規(guī)律：只要紅珠子比黃珠子多增加1顆或者黃珠子比紅珠子多減少1顆，它們就始終保持同樣多的關(guān)系。同理，可以找到把紅珠子顆數(shù)變得比黃珠子多的多樣化策略，只是這個策略更為開放，因為紅珠子顆數(shù)可以比黃珠子多1顆，也可以多2顆、3顆……這樣開放性地解決問題，通過數(shù)量動態(tài)變化引起數(shù)量關(guān)系之間的轉(zhuǎn)換，學生深刻體會到數(shù)量對于數(shù)量關(guān)系的重要性，厘清了數(shù)量之間對應(yīng)、相等及多少的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系。升華了學生對數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的理解與感悟，數(shù)感也在這個過程中自然生長、拔節(jié)。學生在問題解決過程中，積累了豐富的觀察、比較、分析、歸納、概括等思維活動經(jīng)驗，形成了初步的抽象意識，為抽象能力的形成奠定了基礎(chǔ)。

（作者單位：重慶市長壽區(qū)教師發(fā)展中心 本專輯責任編輯：王彬）