云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院(650500) 崔永宏 王 仲 馬紹文

教材是依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)編制的、系統(tǒng)反映學(xué)科內(nèi)容的教學(xué)用書,是課程標(biāo)準(zhǔn)的具體化,以教材為主要教學(xué)載體,鉆研教材,挖掘教材內(nèi)隱知識,是每一位教師應(yīng)該具有的基本素養(yǎng).隨著新教材的落地實(shí)用,新舊教材的差異給許多教師的教學(xué)帶來困擾,本文以“解三角形”為例,對新舊教材從結(jié)構(gòu)、內(nèi)容、習(xí)題幾方面進(jìn)行比較,并據(jù)此逐一分析提出教學(xué)建議.

1 新舊教材“解三角形”的內(nèi)容比較

1.1 結(jié)構(gòu)重整

人教A 版新舊教材關(guān)于“解三角形”在結(jié)構(gòu)上主要出現(xiàn)表1 所示的變化:

表1 新舊教材關(guān)于“解三角形”結(jié)構(gòu)布置比較

從上表可以看出,新舊教材相比較“解三角形”在結(jié)構(gòu)上主要出現(xiàn)兩個(gè)大的變化,一方面是章節(jié)內(nèi)容整體的變化,另一方面是正余弦定理內(nèi)容的順序發(fā)生了改變.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版2020 年修訂)》[1]建議中強(qiáng)調(diào)“整體把握教學(xué)內(nèi)容,促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展”,在實(shí)驗(yàn)版教材中“解三角形”作為一個(gè)單獨(dú)的章節(jié)位于必修五中,一般高三上學(xué)期才開始學(xué)習(xí);在新教材中,“解三角形”沒有獨(dú)立成章,而是將其歸納為平面向量應(yīng)用之中.值得注意的是,在實(shí)驗(yàn)版教材之中,平面向量位于必修4 第二章節(jié),“平面向量”與“解三角形”內(nèi)容之間存在一定的時(shí)間距離,再次在“解三角形”中應(yīng)用平面向量對余弦定理進(jìn)行推導(dǎo)時(shí),學(xué)生已經(jīng)對平面向量的知識有所淡忘.而新教材中在學(xué)習(xí)完平面向量的基本運(yùn)算之后,在平面向量的應(yīng)用中便對解三角形內(nèi)容進(jìn)行學(xué)習(xí),這樣的內(nèi)容安排不僅可以強(qiáng)化學(xué)生對向量學(xué)習(xí)的一種運(yùn)用意識,還有利于突出知識的連貫性,保證學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的連續(xù)性;另外,對于正、余弦定理內(nèi)容安排,實(shí)驗(yàn)版教材是先學(xué)習(xí)正弦定理,再學(xué)習(xí)余弦定理.在實(shí)際教學(xué)中,教師在講授正弦定理時(shí)總是要講述兩個(gè)伴隨結(jié)論:=2R(R是ΔABC外接圓半徑)與SΔABC=absinC,所以在講授正弦定理的難度比余弦定理大,為了遵循“從簡單到復(fù)雜”的基本規(guī)律,理應(yīng)先講授余弦定理在講授正弦定理[2].新教材正是遵循“從簡單到復(fù)雜”的規(guī)律,便先學(xué)習(xí)余弦定理再對正弦定理學(xué)習(xí),符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律,讓學(xué)生更容易接受將新舊知識進(jìn)行融合學(xué)習(xí),提高學(xué)習(xí)效率.

1.2 內(nèi)容優(yōu)化

在教材內(nèi)容上,新舊教材關(guān)于“解三角形”也凸顯出很大的變化,正、余弦定理皆有體現(xiàn).

推導(dǎo)余弦定理時(shí),實(shí)驗(yàn)版教材這樣引導(dǎo)學(xué)生思考:由于涉及邊長問題,我們可以考慮用向量的數(shù)量積來研究這個(gè)問題;新教材則是這樣表述:因?yàn)樯婕暗氖侨切蔚膬蛇呴L和它們的夾角,所以我們考慮用向量的數(shù)量積來探究.從上述新舊版本教材的表述對比,實(shí)驗(yàn)版教材的表述似乎有點(diǎn)“空穴來風(fēng)”的感覺,學(xué)生難免會疑問為什么涉及邊長就要用數(shù)量積? 但是新教材中,由于剛學(xué)習(xí)向量的數(shù)量積,涉及到邊長與夾角學(xué)生自然會想到通過數(shù)量積解決問題.

正弦定理的推導(dǎo)在新舊教材之中發(fā)生了很大的變化,下面將給出兩個(gè)不同版本的推導(dǎo)內(nèi)容并進(jìn)行比較分析.

圖1:實(shí)驗(yàn)版教材“正弦定理”推導(dǎo)

圖2:新教材“正弦定理”推導(dǎo)

通過新舊教材“正弦定理”的推導(dǎo)可以看出,在實(shí)驗(yàn)版教材推導(dǎo)“正弦定理”時(shí)只是通過簡單的三角函數(shù)知識,而正弦定理作為新知識,這樣的一種推導(dǎo)方式無法凸顯“新”.不僅如此,在用基本三角函數(shù)知識推導(dǎo)出正弦定理后又使用平面向量推導(dǎo)余弦定理,使得緊密相連的知識產(chǎn)生“隔閡”,而在新教材中,正弦定理則是使用向量的方法進(jìn)行推導(dǎo),保證了正余弦定理推導(dǎo)的一致性.另外,通過推導(dǎo)正弦定理,學(xué)生還可以復(fù)習(xí)單位向量、向量夾角、向量垂直、數(shù)量積等知識,確保了學(xué)生學(xué)習(xí)知識的連續(xù)性.

1.3 例題精簡

《新課標(biāo)》基本理念中強(qiáng)調(diào)精選課程內(nèi)容,處理好數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與知識技能之間的關(guān)系,強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系,提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力,同時(shí)注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透.正余弦定理應(yīng)用舉例中所展現(xiàn)的例題,都是通過所學(xué)新知去解決實(shí)際問題,讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的實(shí)際價(jià)值,應(yīng)用價(jià)值,學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去看待現(xiàn)實(shí)問題,培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.

新舊教材關(guān)于正、余弦定理的應(yīng)用舉例中,新教材中列舉3 個(gè)例題,而在實(shí)驗(yàn)版教材中有9 個(gè)例題.實(shí)驗(yàn)版教材中的例題,針對同一類問題都通過兩個(gè)例題進(jìn)行講解,而新教材中則每一類問題就一個(gè)例題.例如在實(shí)驗(yàn)版教材中的例3與例4,例3 是求建筑物高度,例4 是求山高,這兩個(gè)問題的實(shí)質(zhì)是一樣的,這樣重復(fù)出現(xiàn),顯得有些多余.而在新教材中求建筑物高度就出現(xiàn)一個(gè)例題,老師引導(dǎo)學(xué)生對這一例題的講解,學(xué)生如果確實(shí)理解清楚,學(xué)會應(yīng)用,那么對于相同問題便可迎刃而解.留給學(xué)生思考和發(fā)展的空間,這樣更能體現(xiàn)新課標(biāo)“以生為本”的理念,一切為了學(xué)生的發(fā)展.

2 基于新課標(biāo)理念對“解三角形”的教學(xué)建議

《新課標(biāo)》指出“在教學(xué)活動中,教師應(yīng)準(zhǔn)確把握課程目標(biāo)、課程內(nèi)容、學(xué)業(yè)質(zhì)量要求,合理設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo),并通過相應(yīng)的教學(xué)實(shí)施,在學(xué)生掌握知識技能的同時(shí),促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成”.教學(xué)是教師教與學(xué)生學(xué)的一個(gè)過程,在教學(xué)過程中確保學(xué)生的主體地位,讓學(xué)生受到良好的數(shù)學(xué)教育,在未來生活得到很好的發(fā)展.對于新教材中內(nèi)容的優(yōu)化,筆者從以下兩方面提出對“解三角形”的教學(xué)建議:

2.1 重視教材,立足核心素養(yǎng)

教學(xué)應(yīng)該立足于教材,但是在實(shí)際教學(xué)中,許多教師尤其是老教師都喜歡根據(jù)經(jīng)驗(yàn)教學(xué),然而隨著新一輪課程改革,對教師的教、學(xué)生的學(xué)都有了新的要求.在實(shí)驗(yàn)版教材之后,新教材是專家根據(jù)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)而對實(shí)驗(yàn)版教材的精簡,所以在教學(xué)時(shí),一定要重視教材,發(fā)揮教材的重要作用.

在教授“解三角形”時(shí),教師一定要鉆研教材,比較新舊教材的不同之處,領(lǐng)會新教材的編寫意圖,注重學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展,不能為了做題而教學(xué),在“解三角形”中涉及到學(xué)生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),在“解三角形”中的正、余弦定理的應(yīng)用都是通過已知量求為知的過程.但是,教師不能簡單的讓學(xué)生記住公式,通過做題加深對知識的運(yùn)用,這樣培養(yǎng)出來的僅僅只是做題的工具,而不是社會所需要得人才.新教材中運(yùn)用向量的方法推導(dǎo)正余弦定理,這就是對學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的考察,教師應(yīng)該讓學(xué)生自己動手進(jìn)行運(yùn)算.除此之外,教師還可以讓學(xué)生以小組為單位進(jìn)行討論或作為課后練習(xí),看是否能找到其他推導(dǎo)方法.這樣既促進(jìn)學(xué)生的合作意識,也能從多角度幫助學(xué)生提高推理論證能力.

2.2 精選習(xí)題,培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想

很多人認(rèn)為學(xué)好數(shù)學(xué)“就得多做、多練”.但是,學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)繁重的高中學(xué)生,哪有那么多時(shí)間來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)呢? 并且這樣的想法也是不對的.正所謂“授之于魚不如授之于漁”,一味的讓學(xué)生做題,不如讓學(xué)生做好題、做少題.做習(xí)題是為了鞏固新知,教師一定要挑選習(xí)題,讓學(xué)生通過習(xí)題,掌握數(shù)學(xué)思想方法,這樣便能做到會一道,通一類.

新教材中關(guān)于“解三角形”就有這樣一道習(xí)題值得精講,那就是習(xí)題6.4 的12 題,如下:

如圖3,在ΔABC中,已知AB=2,AC=5,∠ABC=60°,BC,AC邊上的兩條中線AM,BN相交于點(diǎn)P,求∠MPN的余弦值.

圖3

解答此題許多學(xué)生想到的方法就是根據(jù)正、余弦定理去求解三角形,其實(shí)教師還可以引導(dǎo)學(xué)生通過向量、坐標(biāo)等方法進(jìn)行求解,具體求解過程本文不再敘述,通過對此習(xí)題的多角度的思考,不僅可以發(fā)散學(xué)生的思維,還能培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸,函數(shù)與方程,數(shù)形結(jié)合等重要數(shù)學(xué)思想方法.如果學(xué)生吃透本題,以后再次遇到這樣的“解三角形”的題時(shí),就可以從多角度去思考,此法不行另尋它法.

3 小結(jié)

新教材與實(shí)驗(yàn)版教材相比較,以培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,更關(guān)注的是學(xué)生對未來的發(fā)展需求,符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律,讓學(xué)生學(xué)起來更輕松.教師在教學(xué)過程中,需要立足于教材又高于教材,充分利用好新教材,確實(shí)把新課改要求落于實(shí)處,做到“一切為了學(xué)生的發(fā)展”,無愧“師者,傳道授業(yè)解惑也”.