湖北省大冶市第一中學(xué) (435100) 黃俊峰

高考導(dǎo)數(shù)壓軸題經(jīng)常以不等式的證明或恒成立問(wèn)題為背景，考查學(xué)生的現(xiàn)有思維能力與后繼學(xué)習(xí)能力.而對(duì)于不等式的證明或恒成立問(wèn)題中，有一類(lèi)需要借助放縮技巧，才能比較完美地解決問(wèn)題.文章從一道調(diào)考題出發(fā)，以高考模擬題為例，淺析利用切線對(duì)超越函數(shù)進(jìn)行放縮，使復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)化成較為簡(jiǎn)單的初等函數(shù)，希望對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有所幫助.

題目(2020年武昌四月調(diào)考理科21題)已知函數(shù)f(x)=(e-x)lnx(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

解析：(1)易得函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為1,e，曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y=(e-1)(x-1)，在x=e處的切線方程為y=-x+e.過(guò)程略.

曲線的切線為一次函數(shù)，高中階段大部分函數(shù)的圖象均在切線的同側(cè)，即除切點(diǎn)外，函數(shù)圖象恒在切線的上方或下方，利用這一特征可以將超越函數(shù)放縮成一次函數(shù).本題第(2)小題待證不等式的證明途徑只有從第(1)小題的探究切線的過(guò)程中挖掘，這是切線放縮法的典型運(yùn)用.下面談?wù)勄芯€放縮在高考題以及模擬題中的應(yīng)用.

例1 (2018年全國(guó)Ⅰ文科21題))已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1.

例2 (2013年高考新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ理科21題節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m),當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)≥0.

解析：當(dāng)m≤2時(shí)，可通過(guò)單調(diào)性進(jìn)行放縮ex-ln(x+m)≥ex-ln(x+2)，設(shè)g(x)=ex-ln(x+2)，要證明f(x)≥0，只需證明g(x)≥0.易知這兩條曲線沒(méi)有公共點(diǎn)，下面尋找到一條公切線y=x+1作為中間量構(gòu)建兩個(gè)新函數(shù).構(gòu)建函數(shù)m(x)=ex-(x+1)(x>-1),與r(x)=(x+1)-ln(x+2)，要證明g(x)≥0，只需證明m(x)≥0,r(x)≥0恒成立.

評(píng)注：以上兩題均通過(guò)構(gòu)建中間量將指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的組合問(wèn)題轉(zhuǎn)化成指數(shù)與一次函數(shù)，對(duì)數(shù)與一次函數(shù)的組合問(wèn)題，從而使解題過(guò)程得到簡(jiǎn)化.

例3 (2021屆湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考文科21題)已知函數(shù)f(x)=xlnx+ax+1,a∈R.

解析：(1)易得a的取值范圍是[-1,+∞).過(guò)程略.

②要證lnx1,x-1>0，所以x-1

評(píng)注：若第(1)小題是探求參數(shù)的范圍問(wèn)題，第(2)小題的解決往往運(yùn)用第(1)小題所求范圍的界點(diǎn)對(duì)于的不等關(guān)系進(jìn)行放縮，此類(lèi)問(wèn)題實(shí)質(zhì)就是應(yīng)用函數(shù)的切線進(jìn)行放縮.

不等式恒成立問(wèn)題中，許多試題的幾何背景是曲線與切線靜態(tài)或動(dòng)態(tài)的上下位置關(guān)系，以上例題中利用曲線的切線與曲線的位置關(guān)系實(shí)現(xiàn)了高中階段的常用函數(shù)到一次函數(shù)的放縮，進(jìn)而獲得思路自然、過(guò)程簡(jiǎn)潔的解法.文中借助切線放縮法的解題過(guò)程是建立在學(xué)生思考、分析、總結(jié)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生去尋找中間量，通過(guò)轉(zhuǎn)化化歸構(gòu)造出合適的新函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題的過(guò)程.學(xué)生能夠靈活應(yīng)用這些放縮法，不僅僅在解題方面起到事倍功半的效果，同時(shí)也在培養(yǎng)其邏輯思維和分析能力，乃至于創(chuàng)造能力.在教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考、分析、歸納、總結(jié)，通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等能力，提升學(xué)生的核心素養(yǎng).