安徽省碭山中學(xué) (235300) 蔡 聰

文[1]以2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅰ理科第20題和2020年高考數(shù)學(xué)山東卷第22題為例，介紹了齊次化方法在解決圓錐曲線中關(guān)于斜率之和為定值或斜率之積為定值的問(wèn)題中的應(yīng)用，并歸納了齊次化方法解題的步驟，可操作性強(qiáng).經(jīng)過(guò)筆者思考，借助于齊次化方法將兩道題的結(jié)果推廣到一般的情況，探究如下：

一 問(wèn)題探究及結(jié)論推廣

圖1

上面的分析過(guò)程亦證明了下面結(jié)論成立：

評(píng)注：通過(guò)聯(lián)立橢圓與直線方程，構(gòu)造齊次方程A(y-y0)2+B(y-y0)(x-x0)+C(x-x0)2=0，證明了當(dāng)直線PA與PB的斜率之和為定值時(shí)，隨λ取值不同，直線AB存在定點(diǎn)或定值的情況.以該結(jié)論為背景的高考題還有2017年高考數(shù)學(xué)全國(guó)1卷理科第20題.故對(duì)高考題，不能僅僅解答出來(lái)就滿足了，還應(yīng)充分利用歸納與類比的思想，將結(jié)論推廣，體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程.

對(duì)于斜率之積為定值，是否有類似的結(jié)論？

評(píng)注：2015年高考數(shù)學(xué)陜西卷文科第20題所考查的便是此結(jié)論的特殊情況.

同樣地，若直線AB斜率為定值，也可以得到如下結(jié)論：

二 關(guān)于圓錐曲線高考備考的一點(diǎn)思考

1 加強(qiáng)方法訓(xùn)練，提高應(yīng)用意識(shí)

對(duì)于斜率和為定值或積為定值的圓錐曲線模型，相較于常規(guī)解法(聯(lián)立消元，韋達(dá)定理)，齊次化方法的步驟簡(jiǎn)潔，計(jì)算量少.教師在教學(xué)時(shí)，不應(yīng)開門見山，而是通過(guò)比較兩種方法的優(yōu)缺，讓學(xué)生去接受、練習(xí)和掌握.

2 挖掘試題背景，培養(yǎng)必備能力

數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)“數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅只是一半，更重要的是解題之后回顧”，他把解題作為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)才能和教會(huì)學(xué)生思考的一種手段與途徑.這種訓(xùn)練不同于單純的題海戰(zhàn)術(shù)，而是選取一個(gè)有意義又不復(fù)雜的題目，幫助學(xué)生深入挖掘試題的各個(gè)側(cè)面，使學(xué)生通過(guò)這個(gè)題目，觸類旁通，獲得解題的一般思考方式.尤其是高考題這個(gè)寶藏，學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)不僅限于解題，更要剖析問(wèn)題背景，對(duì)結(jié)論進(jìn)行拓展，延伸，尋找特殊情境下的一般規(guī)律，這樣學(xué)生才能在解題過(guò)程中提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力.

3 關(guān)注問(wèn)題本質(zhì)，發(fā)展核心素養(yǎng)

很多學(xué)生在處理圓錐曲線問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)有思路，但是計(jì)算受阻，或者計(jì)算得不到想要的結(jié)果，這是由于運(yùn)算素養(yǎng)的缺失所造成的，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》提出了數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)，其中數(shù)學(xué)運(yùn)算既基礎(chǔ)又重要，教師應(yīng)在觀察式子結(jié)構(gòu)，明確計(jì)算方向，選擇計(jì)算方法，有效化簡(jiǎn)，徹底化簡(jiǎn)等方面做足功課，在以后的教學(xué)中，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生增強(qiáng)信心，不怕困難，勇于攻堅(jiān)克難.