羅文相，萬(wàn) 麗，劉 慧

（1.廣州軟件學(xué)院，廣東廣州510990；2.廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東廣州510006）

熵是系統(tǒng)復(fù)雜度的一種度量，可用于時(shí)間序列動(dòng)力學(xué)狀態(tài)識(shí)別。在信息論建立后，關(guān)于熵的理論和應(yīng)用得到了迅速的發(fā)展。近年來(lái)，在信息熵的基礎(chǔ)上，提出了新的熵，如：近似熵、排列熵、樣本熵等[1-3]。加權(quán)排列熵[4](weighted permutation entropy，WPE)是Fadlallah在2013年針對(duì)排列熵在計(jì)算過(guò)程中沒(méi)有考慮時(shí)間序列中的幅值信息而提出的一種改進(jìn)方法，具有較好地抗噪抗干擾能力，其算法簡(jiǎn)單、可操作性強(qiáng)，能有效放大時(shí)間序列的微小變化，廣泛應(yīng)用于信號(hào)突變檢測(cè)、隨機(jī)信號(hào)分析等方面，并在機(jī)械故障診斷、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域取得良好的應(yīng)用效果[5-7]。

成礦系統(tǒng)是地球物質(zhì)系統(tǒng)的一個(gè)重要組成部分，成礦系統(tǒng)及其動(dòng)力學(xué)是地球科學(xué)前沿研究的熱點(diǎn)之一。礦床的形成往往經(jīng)歷了多種地質(zhì)作用疊加、多期次演化和漫長(zhǎng)的復(fù)雜過(guò)程，因此是一個(gè)時(shí)間域和空間域跨度都非常大的非線(xiàn)性復(fù)雜地質(zhì)巨系統(tǒng)[8]。成礦系統(tǒng)的演化是時(shí)間發(fā)展、空間展布和成礦作用的相互作用，在時(shí)間和空間上不可分割。由于時(shí)間演化的不可再現(xiàn)性和長(zhǎng)期性，可以依據(jù)時(shí)空演化的相關(guān)性，通過(guò)對(duì)空間系列數(shù)據(jù)的研究，獲得時(shí)間上動(dòng)力學(xué)過(guò)程的演化規(guī)律。但在地質(zhì)實(shí)際中，常常不能確定成礦系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，只是得到實(shí)際的觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)，如成礦元素含量序列[9]。因此，需要引入新的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)指標(biāo)來(lái)刻畫(huà)成礦元素含量序列的特征。

本文將檢驗(yàn)加權(quán)排列熵對(duì)不同動(dòng)力學(xué)的識(shí)別的有效性，并將其引入到成礦元素含量序列的非線(xiàn)性特征的分析中，探討成礦元素含量序列的復(fù)雜性與礦化強(qiáng)度的關(guān)系，為揭示隱藏在成礦元素含量序列背后的動(dòng)力學(xué)特征提供新方法。

1 理論與方法

1.1 加權(quán)排列熵算法

設(shè)長(zhǎng)度為N的時(shí)間序列X={x(n)，n=1，2，… ，N}，對(duì)時(shí)間序列X進(jìn)行相空間重構(gòu)，得到N-(m-1)τ行，m列的矩陣XK：

其中，K=N-(m-1)τ，m是嵌入維，τ是延遲時(shí)間。矩陣XK中的每一行為一個(gè)重構(gòu)分量，共有K個(gè)。將第i個(gè)重構(gòu)分量Xi=(x(i)，x(i+τ)，… ，x(i+(m-1)τ)按照升序重新排列，得到：

其中i=1，2，…，K，j1(i)，j2(i)，…，jm(i)表示元素所在重構(gòu)分量中列的索引。若元素相等，則按照元素索引的大小進(jìn)行排列。因此，矩陣XK中的每個(gè)重構(gòu)分量重新按照升序排列，得到一個(gè)K行m列的符號(hào)序列矩陣。記πi=(j1(i)，j2(i)，…，jm(i))，i=1，2，…，K，πi為(1，2，…，m)的某一種排列，顯然，m個(gè)元素最多有m!種不同排列，記為Π。以時(shí)間序列{7，6，5，8，6}為例，當(dāng)m=3，τ=1時(shí)，得到的第一個(gè)重構(gòu)分量為(7，6，5)，由于xt+2

記πr為πi中某種排列，其中0

其中，wr是重構(gòu)分量Xj的權(quán)值，由Xj的方差表示：

WPE是排列熵的一種改進(jìn)算法，它考慮了包含在時(shí)間序列中的幅值信息，表達(dá)式定義為：

其中，log 表示為以2 為底的對(duì)數(shù)。若對(duì)WPE(m)進(jìn)行歸一化處理，可得：

加權(quán)排列熵在計(jì)算某種排列的概率時(shí)考慮了與其相對(duì)應(yīng)的重構(gòu)分量的幅值信息，能充分反映時(shí)間序列的細(xì)致特征。

1.2 加權(quán)排列熵的動(dòng)力學(xué)識(shí)別檢驗(yàn)

為檢測(cè)加權(quán)排列熵對(duì)不同動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)的指示作用，構(gòu)造理想時(shí)間序列IS，該序列由Logistic 映射[11]產(chǎn)生，長(zhǎng)度為3000，其迭代方程如下：

其中λ∈ [0，4]，表示生長(zhǎng)率。取初始值x1=0.7，理想時(shí)間序列IS 的前1000 個(gè)數(shù)據(jù)的參數(shù)為λ=3.5，處于四周期狀態(tài)，中間1000 個(gè)數(shù)據(jù)的參數(shù)為λ=3.6 和后1000 個(gè)數(shù)據(jù)的參數(shù)為λ=3.7，兩者均處于混沌狀態(tài)，其演化曲線(xiàn)由圖1 給出。從IS 的構(gòu)造可知，在n=1001時(shí)，系統(tǒng)的演化由四周期變?yōu)榛煦鐮顟B(tài)，變化幅度比較大；在n=2001時(shí)，系統(tǒng)的演化由較低的生長(zhǎng)率3.6變成較高的生長(zhǎng)率3.7。IS 序列前部分的復(fù)雜度比中間部分的復(fù)雜度低，中間部分的復(fù)雜度比后部分的復(fù)雜度低，且前部分與中間部分的復(fù)雜度差距會(huì)明顯大于中間部分與后部分的復(fù)雜度差距。

圖1 理想時(shí)間序列IS

圖2 IS序列的WPE值

取滑動(dòng)窗口為150，滑動(dòng)步長(zhǎng)為1，嵌入維m=3，延遲時(shí)間τ=2，對(duì)時(shí)間序列IS進(jìn)行加權(quán)排列熵檢測(cè)，結(jié)果由圖 2 給出。在n=1000 和n=2000 前后，WPE 值分別呈現(xiàn)出三種不同的穩(wěn)定狀態(tài)。前部分的WPE 值處于較低水平，后部分的WPE 值處于較高水平，而中間部分的WPE值處于兩者之間，由熵的物理意義可知前部分?jǐn)?shù)據(jù)的復(fù)雜度比中間部分的復(fù)雜度低，中間部分?jǐn)?shù)據(jù)的復(fù)雜度比后部分的復(fù)雜度低，與理想時(shí)間序列IS的構(gòu)造基本一致，說(shuō)明加權(quán)排列熵的改變和大小的差異可以用來(lái)指示時(shí)間序列的動(dòng)力學(xué)行為。

2 加權(quán)排列熵在礦化識(shí)別中的應(yīng)用

2.1 樣本來(lái)源與基本統(tǒng)計(jì)

選取研究區(qū)為膠東大尹格莊金礦，該金礦是典型蝕變巖型礦床，位于招（遠(yuǎn)）—平（度）斷裂帶的中段。圍巖蝕變主要包括鉀長(zhǎng)石化、硅化、絹云母化、綠泥石化、（黃鐵）絹英巖化、碳酸鹽化等，其中黃鐵絹英巖化是礦區(qū)最發(fā)育的一種中溫?zé)嵋何g變，也是金礦化關(guān)系最密切的蝕變作用。主要開(kāi)采-500～-140m之間的工業(yè)礦石，礦床地球化學(xué)研究證實(shí)，成礦流體多期活動(dòng)，具有幔源、巖漿熱液與大氣降水等多種來(lái)源途徑[12-13]。

本文選取大尹格莊金礦-175m、-210m 和-290m中段共20條勘探線(xiàn)(其中-175m中段7條，-210m中段8條，-290m中段5條)中的Au元素刻槽含量數(shù)據(jù)序列作為研究對(duì)象，分別記為CMi(i 為樣本序號(hào))。對(duì)這20條勘探線(xiàn)中的Au 元素含量數(shù)據(jù)序列進(jìn)行基本的統(tǒng)計(jì)描述和采用雅克—貝拉檢測(cè)(Jarque-Bera Test，JB 檢測(cè))進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 Au元素含量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)描述和正態(tài)檢驗(yàn)

在95%的置信度下，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示Au元素含量數(shù)據(jù)分布為明顯的尖峰、右偏分布，JB統(tǒng)計(jì)值所對(duì)應(yīng)的概率均小于0.05，表明這20條勘探線(xiàn)的Au元素含量序列顯著呈非正態(tài)分布。因此，那些基于正態(tài)分布假設(shè)前提的傳統(tǒng)方法難以準(zhǔn)確地描述其非線(xiàn)性的特征。

2.2 計(jì)算過(guò)程與討論

使用加權(quán)排列熵刻畫(huà)Au元素含量序列的復(fù)雜度，取嵌入維m=3，延遲時(shí)間τ=1，分別計(jì)算大尹格莊金礦20條勘探線(xiàn)Au元素含量序列的加權(quán)排列熵值。同時(shí)，根據(jù)Au元素含量值，將勘探線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的礦化強(qiáng)度由強(qiáng)到弱分為4個(gè)不同的礦化等級(jí)[14]。大尹格莊金礦Au元素的工業(yè)品位是2g/t(2×10-6)，統(tǒng)計(jì)勘探線(xiàn)元素含量大于邊界品位的個(gè)數(shù)，得出元素含量大于邊界品位的個(gè)數(shù)在該勘探線(xiàn)的比例p，記4種不同的礦化等級(jí)為：(Ⅰ)強(qiáng)礦化區(qū)，比例p大于33%，礦體部分連續(xù)；(Ⅱ)中等礦化區(qū)，比例p為20%～33%，礦體區(qū)域間斷出現(xiàn)，變化幅度大；(Ⅲ)弱礦化區(qū)，比例p為10%～20%，難以圈定礦體區(qū)域，或?yàn)榈V體尖滅末端；(Ⅳ)無(wú)礦化區(qū)，比例p小于10%。大尹格莊金礦20條勘探線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的加權(quán)排列熵值與礦化等級(jí)如表2所示。

表2 Au元素的加權(quán)排列熵值與礦化等級(jí)

由表2 可知，屬于強(qiáng)礦化區(qū)的勘探線(xiàn)有-175m 中段的CM1、CM5，-210m中段的CM7，和-290m中段的CM3，共4條勘探線(xiàn)，其Au元素含量序列的WPE值分別為0.8123、0.9103、08871、0.9272。中等礦化區(qū)的勘探線(xiàn)有-175m中段的CM2、CM4、CM6，-210m中段的CM4、CM6 和 CM8，共 6 條勘探線(xiàn)。弱礦化區(qū)的勘探線(xiàn)有-175m 中段的CM3，-210m 中段的CM5，-290m中段的CM1和CM2，共4條勘探線(xiàn)。無(wú)礦化區(qū)的勘探線(xiàn)有-175m 中段的 CM7，-210m 中段的 CM1、CM2、CM3，-290m中段的CM4和CM5，共6條勘探線(xiàn)。

根據(jù)Au 勘探線(xiàn)礦化等級(jí)與加權(quán)排列熵值進(jìn)行對(duì)比分析，其結(jié)果如圖3所示。

圖3 Au元素礦化等級(jí)與加權(quán)排列熵值

圖中顯示，得到的WPE值的大小與不同礦化等級(jí)之間存在一定的關(guān)聯(lián)，其WPE 值由大到小依次為：中等礦化>強(qiáng)礦化>弱礦化>無(wú)礦化，且強(qiáng)礦化、中等礦化和弱礦化之間的相鄰差距是大致相近的，而無(wú)礦化和弱礦化之間的差距明顯大于前者。表明在無(wú)礦化區(qū)Au 元素含量絕大部分集中在低含量值(低于Au 元素的邊界品位2g/t)，沒(méi)有或幾乎沒(méi)有發(fā)生金礦化，Au元素含量相對(duì)有序，復(fù)雜性較低，其對(duì)應(yīng)的WPE 值較小。隨著礦化強(qiáng)度的增加，Au元素含量序列的復(fù)雜度發(fā)生不同的改變。在弱礦化區(qū)，Au元素的含量以低含量值為主，但有小部分(10%～20%)含量值是超過(guò)邊界品位的，因此復(fù)雜性相對(duì)無(wú)礦化區(qū)有所增強(qiáng)，WPE 值也有所增大。在中等礦化區(qū)，礦區(qū)區(qū)域間斷出現(xiàn)，Au元素含量序列發(fā)生間斷性混沌，而加權(quán)排列熵考慮了時(shí)間序列的幅值信息，放大了這種間斷性特征，因此復(fù)雜性最強(qiáng)，WPE 值最大。在強(qiáng)礦化區(qū)，Au元素含量序列的高含量值占比最高，序列趨向于高品位的局部聚集，其復(fù)雜性相對(duì)于中等礦化有所減弱，WPE 值也有一定的減小。Au元素含量礦化等級(jí)與WPE的對(duì)比結(jié)果與用其他非線(xiàn)性指標(biāo)對(duì)Au 元素含量序列復(fù)雜性的研究結(jié)論基本一致[15]。

3 結(jié)論

（1）通過(guò)Logistic模型檢驗(yàn)了加權(quán)排列熵是識(shí)別不同動(dòng)力學(xué)狀態(tài)的有效指標(biāo)之一，能有效放大時(shí)間序列的微小變化，為進(jìn)一步地質(zhì)數(shù)據(jù)的應(yīng)用提供了理論依據(jù)；

（2）通過(guò)對(duì)大尹格莊多中段共20條勘探線(xiàn)的Au元素含量序列的加權(quán)排列熵分析和比較，發(fā)現(xiàn)不同礦化強(qiáng)度的元素含量序列的加權(quán)排列熵值存在差異，說(shuō)明不同礦化強(qiáng)度的元素含量序列具有不同的復(fù)雜度，這種差異性可用于礦化識(shí)別，為進(jìn)一步定量刻畫(huà)礦床富集程度和圈定有利成礦靶區(qū)提供參考。