周 全，鄒曉兵，王新新

(1. 清華大學(xué) 電機(jī)工程和應(yīng)用電子技術(shù)系，北京 100084；2. 國防科技大學(xué) 前沿交叉學(xué)科學(xué)院，長沙 410005)

1997年，Z箍縮研究取得了突破性進(jìn)展[1]。據(jù)估計(jì)，當(dāng)Z箍縮裝置的驅(qū)動(dòng)電流達(dá)到60 MA時(shí)可望實(shí)現(xiàn)聚變點(diǎn)火[2]。然而，現(xiàn)階段世界上最大的Z箍縮驅(qū)動(dòng)源為美國的Z Refurbishment(ZR)裝置，電流峰值僅為26 MA。近些年，各國紛紛提出了一系列新型Z箍縮裝置的概念設(shè)計(jì)，如美國圣地亞國家實(shí)驗(yàn)室提出的Z-800裝置[3]及我國提出的CZ-30裝置[4]等。在這些設(shè)計(jì)中，通常采用整體徑向傳輸線(monolithic radial transmission line, MRTL)將許多脈沖發(fā)生器產(chǎn)生的脈沖匯聚并傳輸至負(fù)載。為實(shí)現(xiàn)阻抗匹配，MRTL一般為非均勻傳輸線，波阻抗沿傳輸方向單調(diào)變化。

以往對于MRTL的研究大多采用電路仿真模型，將其等效為足夠多段的均勻傳輸線的級聯(lián)[5-9]。電路仿真結(jié)果顯示MRTL具有高通特性，這一特性有利于縮短主脈沖上升沿。然而，電路仿真的基本假設(shè)是電磁波以準(zhǔn)TEM模式傳播。Z箍縮裝置中使用的MRTL尺寸巨大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜，準(zhǔn)TEM假設(shè)需進(jìn)行驗(yàn)證。2008年，Welch等[10]對MRTL進(jìn)行了2維電磁場模擬，發(fā)現(xiàn)2維電磁場仿真結(jié)果與電路仿真結(jié)果基本相同。2015年，毛重陽等[11]對MRTL進(jìn)行了3維電磁場時(shí)域仿真，發(fā)現(xiàn)MRTL的最大功率傳輸效率比電路仿真結(jié)果低約15%，表明準(zhǔn)TEM模假設(shè)對Z箍縮裝置中使用的MRTL并不成立。2019年，本文作者團(tuán)隊(duì)[12]構(gòu)建了完整Z箍縮裝置的仿真模型，仿真結(jié)果表明，與MRTL電路模型相比，采用3維電磁場模型時(shí)，負(fù)載電流幅值更低且上升時(shí)間更長，該研究進(jìn)一步說明準(zhǔn)TEM假設(shè)對Z箍縮中的MRTL并不成立，研究MRTL時(shí)應(yīng)采用3維電磁場模型。

2020年，本文作者團(tuán)隊(duì)[13]首次利用3維電磁場模型獲得了MRTL的頻域傳輸效率曲線，并發(fā)現(xiàn)了MRTL的諧振頻率現(xiàn)象，即由于非TEM模的存在，MRTL并不呈現(xiàn)以往電路仿真中得到的高通特性，反而非TEM模諧振將在高頻段造成一系列傳輸效率接近0的特殊頻率點(diǎn)。由于MRTL內(nèi)非TEM模不可忽略這一現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)時(shí)間較近，且MRTL結(jié)構(gòu)復(fù)雜、尺寸巨大，3維電磁場仿真分析難度大、耗時(shí)長，目前并未有其他學(xué)者利用3維電磁場模型對MRTL傳輸特性進(jìn)行分析。

然而，上述研究只是提出了諧振頻率現(xiàn)象，并未深入研究MRTL諧振頻率的影響因素。研究諧振頻率的影響因素對MRTL的設(shè)計(jì)和使用具有重要的實(shí)踐指導(dǎo)意義，可使MRTL的工作頻率遠(yuǎn)離這些諧振頻率點(diǎn)。根據(jù)電磁場模型，眾多因素都可能對諧振頻率存在影響，部分因素的影響可通過理論計(jì)算公式進(jìn)行分析，而理論計(jì)算公式中未考慮的因素包括輸入結(jié)構(gòu)、線型和挖孔設(shè)計(jì)。因此，本文首先從諧振頻率的理論計(jì)算公式出發(fā)，分析公式所包含因素對諧振頻率大小的影響，接著分析上述剩余3個(gè)變化因素的影響。

1 理論計(jì)算公式中的影響因素

由于分析諧振頻率大小影響因素的意義在于指導(dǎo)MRTL的設(shè)計(jì)和使用，使MRTL的諧振頻率遠(yuǎn)離其工作頻率范圍，因此本文重點(diǎn)關(guān)注第一個(gè)諧振頻率點(diǎn)的變化。第一個(gè)諧振頻率點(diǎn)為所有諧振頻率點(diǎn)中頻率最低的[13]，只要第一個(gè)諧振頻率點(diǎn)的頻率大于MRTL最大工作頻率，那么所有諧振頻率點(diǎn)都不處于MRTL的工作頻率范圍內(nèi)，諧振頻率現(xiàn)象就不會(huì)影響MRTL工作時(shí)的傳輸性能。對于Z箍縮，其電流脈沖上升時(shí)間在百納秒量級。圖1為MRTL輸入脈沖等效波形及對應(yīng)的頻譜。由圖1可見，輸入脈沖的頻域分量主要集中在0～10 MHz。因此，第一個(gè)諧振點(diǎn)的頻率需大于10 MHz。

(a) Waveform

(b) Spectrum

研究表明，MRTL諧振頻率可由磁壁模型計(jì)算[13]，表示為

(1)

式(1)中存在的變量有貝塞爾函數(shù)的階數(shù)m、外圈半徑ri、內(nèi)圈半徑ro、絕緣介質(zhì)的相對介電常數(shù)εr和相對磁導(dǎo)率μr。由于MRTL內(nèi)圈一般與磁絕緣線相連，內(nèi)徑很小且可變范圍不大，因此本文不考慮內(nèi)圈半徑ro對諧振頻率大小的影響。常規(guī)絕緣介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率μr一般為1，因此也不考慮μr的影響。從前文的分析可知貝塞爾函數(shù)的階數(shù)m是輸入同軸線數(shù)N的整數(shù)倍，因此分析貝塞爾函數(shù)的階數(shù)對諧振頻率大小的影響，其實(shí)就是分析輸入同軸線數(shù)對諧振頻率大小的影響。綜上，對式(1)中出現(xiàn)的變量，本文僅討論輸入同軸線數(shù)N、外圈半徑ri和絕緣介質(zhì)的相對介電常數(shù)εr對諧振頻率大小的影響，下面將對這些變量一一進(jìn)行理論分析和電磁場模擬研究，仍使用Z-800裝置中的MRTL為仿真案例。

1.1 輸入同軸線數(shù)

對一個(gè)輸入同軸線數(shù)為N的MRTL，其諧振模式為TEm,n,0，其中，m為N的正整數(shù)倍，n為正整數(shù)。當(dāng)N變化時(shí)，諧振模式也將變化，即式(1)第一個(gè)方程的解k將會(huì)變化。根據(jù)文獻(xiàn)中給出的磁壁模型的模式圖[14]，當(dāng)n相同時(shí)，貝塞爾函數(shù)的階數(shù)m越大則k解越大。因此，對第一個(gè)諧振模式TEN,1,0，N越大則k越大，進(jìn)而f越大，即諧振頻率大小和N成正相關(guān)。為驗(yàn)證這一分析，建立不同N下MRTL的3維電磁場模型，除N外其余參數(shù)都不變，仿真得到前3個(gè)諧振頻率及對應(yīng)的諧振模式，如表1所列。由表1可知，隨著N的增大，雖然諧振模式不同，但第一個(gè)諧振頻率在變大。其余位于同一次序的諧振模式由于n值相同，因此諧振頻率也隨著N的增大而增大。為使諧振頻率規(guī)避Z箍縮電流所在的主頻范圍，輸入同軸線數(shù)應(yīng)大于22。

表1 改變MRTL輸入同軸線數(shù)后諧振頻率仿真值對比Tab.1 Comparison of the resonant frequencies after changing the number of MRTL inputs

1.2 外圈半徑

當(dāng)外圈半徑ri變化時(shí)，MRTL內(nèi)的諧振模式并不改變，只是對應(yīng)的諧振頻率大小發(fā)生變化。對MRTL而言，ro/ri很小，因此，為簡化分析，認(rèn)為當(dāng)ri變化時(shí)，ro/ri近似不變。那么，對某一諧振模式，式(1)第一個(gè)方程的解k近似不變。由k的表達(dá)式可知，為保證k不變，當(dāng)ri增加時(shí)f應(yīng)減少。因此，對任一確定的諧振模式，ri與對應(yīng)的諧振頻率呈負(fù)相關(guān)。為驗(yàn)證這一分析，建立不同ri下MRTL的3維電磁場模型，除ri外其余參數(shù)都不變，仿真得到前3個(gè)諧振頻率及對應(yīng)的諧振模式，如表2所列。由表2可知，隨著ri的增大，同一個(gè)諧振模式對應(yīng)的諧振頻率在減少。對需重點(diǎn)關(guān)注的第一個(gè)諧振頻率，隨著ri的增加而減少。為使諧振頻率規(guī)避Z箍縮電流所在的主頻范圍，MRTL外圈半徑應(yīng)小于17.5 m。

表2 改變MRTL外圈半徑后諧振頻率仿真值對比Tab.2 Comparison of the resonant frequencies after changing the outer radius of MRTL

1.3 絕緣介質(zhì)相對介電常數(shù)

與外圈半徑變化時(shí)的分析類似，當(dāng)絕緣介質(zhì)的相對介電常數(shù)εr變化時(shí)，MRTL內(nèi)的諧振模式不變，且k解不變。由k的表達(dá)式可知，對任一確定的諧振模式，εr與對應(yīng)的諧振頻率呈負(fù)相關(guān)。為驗(yàn)證這一分析，建立采用不同εr的絕緣介質(zhì)時(shí)MRTL的3維電磁場模型，除εr外其余參數(shù)都不變，仿真得到前3個(gè)諧振頻率以及對應(yīng)的諧振模式，如表3所列。

表3 改變絕緣介質(zhì)相對介電常數(shù)后諧振頻率仿真值對比Tab.3 Comparison of the resonant frequencies after changing the relative permittivity of insulating medium

由表3可知，隨著絕緣介質(zhì)εr的增加，同一個(gè)諧振模式對應(yīng)的諧振頻率在減少。需重點(diǎn)關(guān)注的是，第一個(gè)諧振頻率隨著絕緣介質(zhì)εr的增加而減少。為使諧振頻率規(guī)避Z箍縮電流所在的主頻范圍，絕緣介質(zhì)相對介電常數(shù)應(yīng)小于115。

上述因素對諧振頻率的影響也可通過諧振頻率形成的物理機(jī)制進(jìn)行定性認(rèn)識。對于第一個(gè)諧振頻率點(diǎn)，對應(yīng)的波長約等于MRTL外圓周上相鄰脈沖源間的角向距離[13]。因此，輸入同軸線數(shù)越大，相鄰脈沖源間的角向距離越小，對應(yīng)的第一個(gè)諧振頻率越大；外圈半徑越大則相鄰脈沖源間的角向距離越大，對應(yīng)的第一個(gè)諧振頻率越??；絕緣介質(zhì)相對介電常數(shù)增大時(shí)，雖相鄰脈沖源間的角向距離不變，但由于波速變慢，因此，對應(yīng)的第一個(gè)諧振頻率減少?？梢?，通過物理機(jī)制的分析，同樣可得到輸入同軸線數(shù)與諧振頻率大小成正相關(guān)，外圈半徑和絕緣介質(zhì)相對介電常數(shù)與諧振頻率大小成負(fù)相關(guān)。

從理論計(jì)算公式出發(fā)，分析了上述因素對諧振頻率的影響后，下面將討論輸入結(jié)構(gòu)、線型和挖孔設(shè)計(jì)等理論計(jì)算公式中未考慮的因素對諧振頻率的影響。

2 剩余影響因素

2.1 輸入結(jié)構(gòu)

根據(jù)式(1)得到的Z-800裝置諧振頻率理論值與3維電磁場模擬得到的仿真值的對比，如表4所列。

表4 Z-800裝置諧振頻率理論值與仿真值對比Tab.4 Comparison between theoretical value and simulation value of resonant frequencies of Z-800 facility

由表4可知，諧振頻率仿真值都小于理論值。這是由MRTL和輸入同軸線連接處的轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)造成的。圖2為MRTL和輸入同軸線連接處的轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)。與波長相比，同軸線內(nèi)導(dǎo)體相對外導(dǎo)體的額外長度較小，因此可忽略其影響，僅考慮同軸線內(nèi)外導(dǎo)體表面電場的影響。根據(jù)微波理論，同軸線內(nèi)外導(dǎo)體上垂直表面的電場可等效為一個(gè)并聯(lián)電容[14]，因此輸入端轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)的電磁場最終等效為一個(gè)并聯(lián)電容。在諧振頻率點(diǎn)，輸入端的電壓幅值最大，因此MRTL內(nèi)的諧振可視為并聯(lián)諧振。輸入端轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)等效的并聯(lián)電容相當(dāng)于增加了這個(gè)諧振系統(tǒng)的電容，因而降低了諧振頻率。

圖2 MRTL和輸入同軸線連接處的轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)Fig.2 Input structure at the junction of MRTL and input coaxial line

為驗(yàn)證這一猜測，本文將輸入同軸線外導(dǎo)體的厚度由Z-800裝置設(shè)計(jì)的0.6 m減少為0.05 m。在減少同軸線外導(dǎo)體厚度后，由外導(dǎo)體表面電場帶來的影響范圍縮小，輸入端轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)處等效的電容值減少，因此，諧振頻率的3維電磁場仿真值應(yīng)更接近磁壁模型得到的理論值。表5為減少外導(dǎo)體厚度后，前3個(gè)諧振頻率及其諧振模式的仿真值和理論值對比。由表5可知，前3個(gè)諧振頻率對應(yīng)的諧振模式仍相同，且諧振頻率理論值和仿真值的相對偏差變小。

表5 減少同軸線外導(dǎo)體厚度后Z-800裝置諧振頻率理論值與仿真值對比Tab.5 Comparison between theoretical value and simulation value of resonant frequencies of Z-800 after reducing the thickness of the outer conductor of the input coaxial line

2.2 線型

Z箍縮裝置中常用的MRTL線型有線性線、指數(shù)線和雙曲線。Z-800裝置中使用指數(shù)線型。不同線型MRTL的區(qū)別在于阻抗變化規(guī)律，線性線、指數(shù)線和雙曲線的波阻抗分別沿著徑向位置呈線性、指數(shù)和雙曲線規(guī)律變化。阻抗變化反映在幾何結(jié)構(gòu)上則是極板間距隨徑向位置的變化規(guī)律不同。圖3為不同線型MRTL極板間距h(r)隨徑向位置r的變化關(guān)系。

圖3 不同線型MRTL極板間距隨徑向位置的變化關(guān)系Fig.3 h(r) vs. r in different line type of MRTLs

為分析MRTL線型對諧振頻率大小的影響，本文分別建立了不同線型MRTL的3維電磁場模型，通過頻域仿真得到了前3個(gè)諧振頻率及對應(yīng)的諧振模式，如表6所列。

表6 不同線型MRTL的第一個(gè)諧振頻率對比Tab.6 Comparison of the first resonant frequency in different type line of MRTLs

由表6可知，不同線型MRTL的諧振頻率大小基本相同，即線型對諧振頻率大小基本沒有影響。這是因?yàn)椴煌€型MRTL的區(qū)別在于極板間距，而引起諧振現(xiàn)象的原因是角向電流，與極板間距變化無關(guān)。此外，極板間距變化造成的非TEM?？珊雎?，這在對MRTL的2維電磁場仿真中已得到證明[7]，因此，不同極板間距的MRTL都可等效為平板電極的磁壁模型，可利用磁壁模型估算諧振頻率。鑒于此，MRTL線型對諧振頻率基本沒有影響。

2.3 挖孔設(shè)計(jì)

第2.2節(jié)討論的MRTL的極板都是完整的，依靠極板間距變化實(shí)現(xiàn)不同的線型。對Z-800裝置所用的指數(shù)三板MRTL而言，為實(shí)現(xiàn)極板間距的變化規(guī)律，中間極板為平面，上下極板為曲面。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，為便于多個(gè)MRTL疊放，希望MRTL上下極板也是平面。因此，挖孔設(shè)計(jì)MRTL被提出。在挖孔設(shè)計(jì)中，MRTL的極板都為平面，為達(dá)到希望的線型，會(huì)在相鄰輸入端間挖孔。挖孔后，MRTL波阻抗可表示為

(2)

其中，θ(r)為極板在徑向位置r處對應(yīng)的圓心角。通過改變挖孔面積的大小，進(jìn)而改變?chǔ)?r)，這樣就算使用平板電極，也可實(shí)現(xiàn)不同的線型。對于Z-800使用的指數(shù)線，挖孔設(shè)計(jì)的MRTL結(jié)構(gòu)如圖4所示。

(a) Waveform

(b) Spectrum

本文建立圖4挖孔設(shè)計(jì)MRTL結(jié)構(gòu)的3維電磁場模型，頻域仿真得到的挖孔和非挖孔設(shè)計(jì)MRTL的傳輸效率S21隨諧振頻率的變化關(guān)系如圖5所示。

圖5 挖孔和非挖孔設(shè)計(jì)MRTL的傳輸效率S21隨諧振頻率的變化關(guān)系Fig.5 S21 of the MRTL with and without digging holes vs. f

由圖5可見，與非挖孔設(shè)計(jì)MRTL類似，挖孔設(shè)計(jì)MRTL的S21曲線上同樣存在一系列傳輸效率接近0的特殊頻率點(diǎn)。通過觀察挖孔設(shè)計(jì)MRTL工作在每個(gè)特殊頻率的電磁場時(shí)空分布可見，挖孔設(shè)計(jì)MRTL在每個(gè)特殊頻率點(diǎn)也發(fā)生了諧振。挖孔設(shè)計(jì)和非挖孔設(shè)計(jì)MRTL的前3個(gè)諧振頻率和對應(yīng)的諧振模式如表7所列。

表7 挖孔設(shè)計(jì)和非挖孔設(shè)計(jì)MRTL的前3個(gè)諧振頻率和對應(yīng)的諧振模式對比Tab.7 Comparison of the first three resonant frequency of the MRTL with and without digging holes

由表7可知，挖孔設(shè)計(jì)MRTL的諧振模式與不挖孔MRTL的諧振模式相同，且對應(yīng)的諧振頻率十分接近。這是因?yàn)?，對于MRTL的任一諧振頻率，相鄰輸入端的中間部分都是電荷聚集區(qū)，也就是電壓幅值最大點(diǎn)。諧振時(shí)，電流是在相鄰的電壓幅值最大點(diǎn)間流動(dòng)。由于挖孔部分即是在相鄰輸入端的中間部分，所以挖孔部分在諧振模式下是沒有電流流過的。因此，是否挖孔對諧振現(xiàn)象的產(chǎn)生沒有影響。由于挖孔面積占總面積的比例一般不大，因此挖孔設(shè)計(jì)對諧振頻率大小影響也較小。

3 結(jié)論

(1) 諧振頻率大小的影響因素有輸入同軸線數(shù)、外圈半徑、絕緣介質(zhì)相對介電常數(shù)和輸入結(jié)構(gòu)，其中輸入同軸線數(shù)與諧振頻率大小成正相關(guān)，外圈半徑和絕緣介質(zhì)相對介電常數(shù)與諧振頻率大小成負(fù)相關(guān)，而輸入結(jié)構(gòu)將使諧振頻率值降低。各因素的影響機(jī)制為：輸入同軸線數(shù)和外圈半徑的影響機(jī)制相同，均是通過改變相鄰輸入脈沖源間的角向距離來改變諧振頻率對應(yīng)的波長；絕緣介質(zhì)相對介電常數(shù)則是通過改變波速來改變頻率；輸入結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的非TEM模可等效為一并聯(lián)電容，減小了諧振頻率。

(2) 可通過增加輸入同軸線數(shù)，減小外圈半徑或絕緣介質(zhì)相對介電常數(shù)及合理設(shè)計(jì)輸入結(jié)構(gòu)，使諧振頻率遠(yuǎn)離其工作頻率范圍。對Z-800裝置而言，在原有設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上各參數(shù)單獨(dú)變化的范圍為：輸入同軸線數(shù)應(yīng)大于22；外圈半徑應(yīng)小于17.5 m；絕緣介質(zhì)相對介電常數(shù)應(yīng)小于115。