車(chē)帥

【摘要】初三數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)面臨時(shí)間緊、知識(shí)點(diǎn)多等問(wèn)題，所以幫助學(xué)生建立知識(shí)體系是事半功倍的復(fù)習(xí)方法.添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)解決幾何問(wèn)題一直是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，本文就遇到中點(diǎn)常作輔助線(xiàn)的方法做一下總結(jié).

【關(guān)鍵詞】中線(xiàn)倍長(zhǎng);中位線(xiàn);三線(xiàn)合一;垂徑定理

方法一：倍長(zhǎng)中線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形

基本圖形所謂倍長(zhǎng)中線(xiàn)，就是把中線(xiàn)或過(guò)中點(diǎn)的線(xiàn)段延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造全等三角形，從而轉(zhuǎn)移邊角關(guān)系.如圖1，D為BC中點(diǎn)，延長(zhǎng)AD到E，使得AD=DE，連接EC，可得到△ABD≌△ECD? EC=AB，∠E=∠BAE，∠B=∠ECDAB∥EC.

例1如圖2，△ABC中，D為BC中點(diǎn)，AB=5，AD=6，AC=13，求證：AB⊥AD.

分析點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，想到中線(xiàn)倍長(zhǎng)法構(gòu)造全等三角形轉(zhuǎn)移邊角關(guān)系，利用勾股定理逆定理證明AB⊥AD.

證明延長(zhǎng)AD到E，使得DE=AD=6.

∵D是BC中點(diǎn)，∴BD=DC.

∵∠ADC=∠BDE，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

∴BE=AC=13.

∵AB=5，AE=12，∴∠EAB=90°，

∴AB⊥AD.

例2如圖3，BD平分∠ABC交AC于D，點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，且AD=DE，EF∥BC交BD于F，

求證：AB=EF.

分析由AD=DE，想到延長(zhǎng)BD到K，使得BD=DK，構(gòu)造△ADB≌△EDK，由平行線(xiàn)性質(zhì)、角平分線(xiàn)性質(zhì)、等量代換，得∠DFE=∠K，最后由等角對(duì)等邊證得EF=AB.

證明延長(zhǎng)BD到K，使得BD=DK，連接KE.

∵AD=DE，∠ADB=∠KDE，BD=DK，

∴△ADB≌△EDK（SAS），

∴AB=KE，∠ABD=∠K.

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC.

∵EF∥BC，

∴∠DFE=∠DBC，

∴∠DFE=∠K，∴EF=EK，∴EF=AB.

注意，當(dāng)遇到平行線(xiàn)和中點(diǎn)時(shí)，一般不選擇中線(xiàn)倍長(zhǎng)的方法，因?yàn)闀?huì)涉及證明三點(diǎn)共線(xiàn)，此時(shí)可以選擇延長(zhǎng)線(xiàn)段，構(gòu)造八字形.如圖4，已知AB∥CD，E為BC中點(diǎn)，延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)P，則△ABE≌△PCEAE=EP.

例3已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，DE⊥CE，求證：AD+BC=DC.

分析“平行線(xiàn)+中點(diǎn)”考慮構(gòu)造八字形，通過(guò)證△AEF≌△BEC，得到相等線(xiàn)段，利用中垂線(xiàn)性質(zhì)證得結(jié)論.

證明延長(zhǎng)CE交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接AF.

∵AD∥BC，∴∠F=∠ECB.

∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE=BE.

∵∠AEF=∠CEB，∴△AEF≌△BEC，

∴AF=BC，EF=EC.

∵DE⊥CE，∴DE是CF的中垂線(xiàn)，

∴DF=DC，∴DC=DF=AD+AF=AD+BC.

有時(shí)題中有中點(diǎn)但沒(méi)有平行線(xiàn)，這時(shí)要作平行構(gòu)造八字形，如圖6，過(guò)C作CD∥AB，延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)P，則△ABE≌△PCEAE=EP.

例4如圖7，已知△ABC中，AB=AC，D，E分別是AB，BC上的點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)與AC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，若DE=EF，求證：BD=CF.

分析E是DF的中點(diǎn)，想到通過(guò)作平行線(xiàn)構(gòu)造八字形△DEK≌△FECCF=DK，再利用等角對(duì)等邊得到BD=DK，通過(guò)等量代換得到BD=CF.

圖7證明過(guò)點(diǎn)D作DK∥AC交BC于點(diǎn)K.

∵DK∥AC，∴∠F=∠KDE，∠ACB=∠DKB.

∵DE=EF，∠DEK=∠FEC，

∴△DEK≌△FEC，∴CF=DK.

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.

∴∠ABC=∠DKB，∴DB=DK=CF.

方法二：知一中點(diǎn)，找另一中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線(xiàn)

基本圖形如圖8，在△ABC中，D為AB中點(diǎn)，可找另一邊AC的中點(diǎn)構(gòu)造三角形中位線(xiàn)，利用三角形的中位線(xiàn)平行且等于第三邊的一半去解決線(xiàn)段相等及平行等問(wèn)題.

例5如圖9，在△ABC中，AD為BC邊上的中線(xiàn).已知AC=5，AD=4，求AB的取值范圍.

分析已知D是BC中點(diǎn)，可找AC的中點(diǎn)E構(gòu)造三角形中位線(xiàn)，利用三角形三邊關(guān)系求出DE的取值范圍，再利用三角形中位線(xiàn)等于第三邊的一半求出AB的取值范圍.

解取AC中點(diǎn)E，連接DE.

∵E是AC中點(diǎn)，

∴AE=12AC=52.

∴32

∵D是BC中點(diǎn)，

∴DE是△ABC的中位線(xiàn).

∴AB=2DE，∴3

方法三：中點(diǎn)遇等腰三角形，莫忘“三線(xiàn)合一”

基本圖形如圖10，當(dāng)?shù)妊切蜛BC中有底邊中點(diǎn)D時(shí)，常連底邊中線(xiàn)，利用等腰三角形底邊中線(xiàn)、頂角平分線(xiàn)、底邊高重合去解決垂直、角相等等問(wèn)題.

例6如圖11，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，E為BC邊上的中點(diǎn)，若EF⊥AC于點(diǎn)F，求EF的長(zhǎng).

分析“等腰+中點(diǎn)”考慮三線(xiàn)合一，所以連接AE得到Rt△AEC，進(jìn)而用等面積法求直角三角形斜邊上的高.

解連接AE.

∵AB=AC，E為BC中點(diǎn)，

∴AE⊥BC，CE=12BC=6.

由勾股定理，得AE=8.

∵EF⊥AC，

由等面積法，得AE·CE=AC·EF，

∴6×8=10EF，

∴EF=245.

方法四：中點(diǎn)遇直角三角形，考慮直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊一半

基本圖形如圖12，當(dāng)D是Rt△ABC的斜邊中點(diǎn)時(shí)，連接ADAD=12BCAD=CD=BD△ABD和△ADC是等腰三角形.

例7如圖13，在△ABC中，∠ACB=90°，M是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AC，BC延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，且CE=CF=12AB，求∠EMF的度數(shù).

分析由M是直角三角形斜邊上的中點(diǎn)，想到連接CM，利用直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊一半CM=12AB，因?yàn)镃E=CF=12AB△CEM和△CFM是等腰三角形∠F=∠FMC和∠E=∠EMC，進(jìn)而利用外角可求得∠EMF的度數(shù).

解連接CM.

∵∠ACB=90°，M是AB中點(diǎn)，

∴CM=12AB.

∵CE=CF=12AB，∴CM=CF=CE.

∴∠E=∠CME，∠F=∠CMF.

∵∠ACM=∠F+∠CMF，∠MCB=∠E+∠CME，

∴∠FME=∠CMF+∠CME=12∠ACB=45°.

方法五：遇到中點(diǎn)，過(guò)中點(diǎn)作平行線(xiàn)，得到相似三角形

基本圖形如圖14，D是AB中點(diǎn)，過(guò)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E△ADE∽△ABCADAB=AEAC，根據(jù)D是AB中點(diǎn)AE[]AC=AD[]AB=1[]2E是AC中點(diǎn)DE是△ABC的中位線(xiàn).

方法五和方法二可以互相推得，在應(yīng)用時(shí)可以選擇最合適的添加輔助線(xiàn)的方法.

例8如圖15，已知AD，BE分別是△ABC的中線(xiàn)和角平分線(xiàn)，AD⊥BE，垂足為點(diǎn)F，AD=BE=4，求AC的長(zhǎng).

分析過(guò)BC中點(diǎn)D作DK∥AC，可巧妙地構(gòu)造一組相似三角形△BDK，△BCE和一組全等三角形△ABF，△DBF，運(yùn)用相似三角形、全等三角形的性質(zhì)，可得到AC與AE的數(shù)量關(guān)系以及DF，KF的長(zhǎng)，運(yùn)用勾股定理求出DK，進(jìn)而求出AC的長(zhǎng).

解過(guò)點(diǎn)D作DK∥AC，交BE于點(diǎn)K.

∵AD⊥BE，∴∠AFB=∠DFB=90°.

∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠DBE.

∵BF=BF，∴△ABF≌△DBF.

∴AF=DF.∵DK∥AC，

∴∠AEK=∠DKE，∠KDF=∠EAF，

∴△DKF≌△AEF，∴KF=FE，DK=AE.

∵DK∥AC，D是BC的中點(diǎn)，

∴K是BE的中點(diǎn)，∴DK是△BCE的中位線(xiàn)，

∴CE=2DK，∴AC=3DK.∵BE=AD=4，∴DF=2，KF=1.

由勾股定理，得DK=5，

∴AC=35.

方法六：圓中遇到弦、弧中點(diǎn)，考慮垂徑定理及其推論、圓心角定理、圓周角定理

基本圖形如圖16，當(dāng)點(diǎn)F為弦AB的中點(diǎn)時(shí)，連接OF并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)C，D，則直徑CD平分弦AB所對(duì)應(yīng)的優(yōu)弧和劣弧，且垂直于AB.

如圖17，當(dāng)點(diǎn)B是CD的中點(diǎn)時(shí)，可知CB=BD，∠COB=∠BOD，∠CAB=∠BAD.

例9如圖18，已知F，G分別是弦AB，CD的中點(diǎn)，AB=CD，求證：∠AFG=∠CGF.

分析連接弦心距OF，OG，得到∠OFA=∠OGC=90°，由OF=OG，得到∠OFG=∠OGF，最后用等式的基本性質(zhì)推出答案.

證明連接弦心距OF，OG.

∵AF=BF，DG=CG，∴OF⊥AB，OG⊥CD.

∴∠OFA=∠OGC=90°.

由勾股定理，得OF=OG，

∴∠OFG=∠OGF.

∴∠OFA-∠OFG=∠OGC-∠OGF，

∴∠AFG=∠CGF.

以上是對(duì)遇到中點(diǎn)常作輔助線(xiàn)方法的一個(gè)總結(jié)，這幾種輔助線(xiàn)添加方法不是相互獨(dú)立的，有些是可以相互推導(dǎo)的，所以，做題過(guò)程中究竟添加何種輔助線(xiàn)，或是添加幾條輔助線(xiàn)更合適，要因題而異，靈活應(yīng)對(duì).有些題可能添加輔助線(xiàn)的方式不止一種，究竟添加哪一種更合適，需要大家對(duì)這幾種輔助線(xiàn)添加方法的實(shí)質(zhì)理解清晰、透徹.