蘇文朝

(廈門外國語學(xué)校海滄附屬學(xué)校 福建 廈門 361000)

模型思想，旨在引導(dǎo)學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)過程中體悟數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系，尋找現(xiàn)實生活或具體情境下的問題如何抽象成數(shù)學(xué)符號(例如數(shù)學(xué)語言、方程、數(shù)量關(guān)系、函數(shù)等)，進(jìn)而更清晰的去揭示從特殊到一般，從具象到抽象的描述數(shù)量關(guān)系及其變化。建立數(shù)學(xué)模型的過程，其實就是從數(shù)學(xué)角度觀察各類現(xiàn)象，以數(shù)學(xué)思維去思考問題，說到底，就是數(shù)學(xué)化思維的培育過程。因此，教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動中，應(yīng)該精心設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)，有意識的創(chuàng)設(shè)針對性訓(xùn)練學(xué)生建模思維活動策略，引導(dǎo)孩子掙脫常規(guī)課堂的思維模式束縛，逐步滲透模型思想于課堂環(huán)節(jié)中，從而提升學(xué)生的思維品質(zhì)，達(dá)到培育學(xué)生核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

1.構(gòu)建方程模型 強(qiáng)化應(yīng)用能力

著名教授張奠宙認(rèn)為“數(shù)學(xué)應(yīng)用的本質(zhì)是數(shù)學(xué)建?！?。他在《小學(xué)數(shù)學(xué)研究》一書中提到：小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題的求解，可以用算數(shù)方法和代數(shù)方法，分別建立問題的算數(shù)模型與代數(shù)模型。[1]如果說模型思想是具有一般性的上位概念，那么，方程思想就是它的最典型的具體體現(xiàn)[2]。建立方程模型，就是對上位概念的一個具體應(yīng)用。小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，從《用字母表示數(shù)》開始，就開啟了小學(xué)數(shù)學(xué)從具象思維到抽象思維的序幕。

方程是小學(xué)生接觸的最抽象的概念，用方程法解決問題是很多學(xué)生想避開的“雷區(qū)”，相較于方程法解決問題，他們更傾向于用算術(shù)法解決。以“相遇問題”為例：甲乙兩人分別從相距30千米的AB地方同時相向而行，甲每小時行6千米，乙每小時行4千米，多少小時二者相遇？

學(xué)生求解兩者的相遇時間，會側(cè)重使用算術(shù)法：總路程÷甲乙速度和=相遇時間，但是如果使用方程法，還需要尋找數(shù)量關(guān)系，解設(shè)未知數(shù)，列并解方程，相對算術(shù)法就繁瑣。學(xué)生會鐘愛算術(shù)法也無可厚非，但是，如果題型變換成：甲乙兩人分別從AB兩地同時相向而行，甲每小時行6千米，乙每小時行4千米，在距離中點(diǎn)2千米處相遇，甲乙相距多少千米？又該如何解答？如果再變題型成：甲乙兩人分別從AB兩地同時相向而行，甲每小時行6千米，乙每小時行4千米，甲先達(dá)到B地后又往回走，在10千米處再次和乙相遇，甲乙相距多少千米？這又該如何解答？

所以，構(gòu)建方程的模型，最關(guān)鍵就是讓學(xué)生體會題目中的等價關(guān)系，也就是說，學(xué)生需要學(xué)會從現(xiàn)實情境中，能夠?qū)ふ也⒏爬ㄆ渲袃?nèi)涵的等價關(guān)系，把這種等價關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言(也就是數(shù)量關(guān)系)，這種有意識的思維引導(dǎo)和對比提升，大大培養(yǎng)了學(xué)生提取題目顯性或者隱性條件的能力，進(jìn)而，在解決實際問題策略過程中，他們的思維方式就會聚焦于數(shù)量關(guān)系，凝練把數(shù)量關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)語言的能力，就是用代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系的能力，這是凝練方程模型的過程。如此再輔與豐富例證加以夯實，對于上述的問題，只需要抽象構(gòu)建兩個一般方程模型：S甲+S乙=S總；S甲-S乙=S差，再應(yīng)用于實際問題的解答過程中，只需要再把方程模型進(jìn)行分解細(xì)化，問題也就迎刃而解。學(xué)生的應(yīng)用意識和解題能力也得以強(qiáng)化提升。

2.另辟面積模型 深耕推理能力

對于面積的學(xué)習(xí)，學(xué)生大多停留在對各個平面圖形面積計算公式的記憶，而忽略了這些平面圖形面積之間的結(jié)構(gòu)化聯(lián)系。在復(fù)習(xí)多邊形面積，教師習(xí)慣性依照教材設(shè)計，依次復(fù)習(xí)長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓，并以長方形為模型，復(fù)習(xí)正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓面積推導(dǎo)過程，從而建立各個平面圖形的結(jié)構(gòu)化關(guān)系。筆者在執(zhí)教過程，在此基礎(chǔ)上，另辟梯形為面積模型，以梯形面積公式S=(a+b)h÷2為中心，逐一推導(dǎo)出長方形、正方形、三角形、梯形和圓的面積，從而建立以梯形為聯(lián)結(jié)點(diǎn)的面積結(jié)構(gòu)化網(wǎng)絡(luò)，重新審視已學(xué)的平面圖形面積公式，這是對已有知識認(rèn)知系統(tǒng)的重新組織和建構(gòu)，加深了對它們的理解和掌握程度，深耕平面圖形面積的推理過程，培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力。

下面論述其推理過程：

梯形面積公式S=(a+b)h÷2，當(dāng)其中一底(b)逐漸變小為0，則由梯形演變成一個三角形，這時可理解為三角形是一個其中一底(b)為0的梯形，運(yùn)用梯形面積公式S=(a+b)h÷2=(a+0)h÷2=ah÷2；當(dāng)梯形的兩個底變成一樣長，即a=b時，梯形變成一個平行四邊形，運(yùn)用公式S=(a+b)h÷2=(a+a)h÷2=2ah÷2=ah；當(dāng)梯形的上下底一樣長時，且兩腰等于高時，梯形變成一個長方形，長即底，寬即高(b=h)，S=(a+b)h÷2=(a+a)h÷2=2ab÷2=ab，同理可推理證明得正方形面積公式。

最難是由梯形面積推導(dǎo)，我們借助圖形來推理分析會更清晰，如圖1所示。

圖1

雖然學(xué)生已經(jīng)掌握了從長方形出發(fā)去推導(dǎo)其他幾個平面圖形面積公式的方法，但是，通過我們另辟梯形面積為模型，逆推其他幾個平面圖形面積公式，如此，學(xué)生在圖形的變與不變的過程中，感受到幾個平面圖形之間的深刻聯(lián)系，在推理面積公式的過程中，學(xué)生對于平面圖形面積之間的結(jié)構(gòu)化聯(lián)系也更加深入，結(jié)構(gòu)化思維和推理能力都在這個幾何模型的創(chuàng)設(shè)和應(yīng)用中得到了提升。

不僅如此，在后面學(xué)習(xí)長方體、正方體、圓柱、乃至于三棱柱，四棱柱、五棱柱......學(xué)生都能以此為幾何模型的推導(dǎo)方式為思維聯(lián)結(jié)點(diǎn)，尋找這幾個柱體的共性特征進(jìn)行體積推理。

3.透析模型價值 享樂趣悟思想

模型思想對于促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解有積極且重要的作用，這體現(xiàn)在它的數(shù)學(xué)價值和教育價值。[3]而這個數(shù)學(xué)價值，主要體現(xiàn)在對數(shù)學(xué)的理解上，學(xué)生從機(jī)械記憶到理解記憶，從形象思維到抽象思維，整個過程，其實是由簡單到復(fù)雜，由具象到抽象的轉(zhuǎn)變，這時候，模型思想就能夠很好的輔助學(xué)生去理解、去感悟、去體驗這種轉(zhuǎn)變過程的樂趣。從另外一方面講，模型思想的培養(yǎng)，其實就是對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，這不是簡單認(rèn)為是為了模型思想而訓(xùn)練模型思想，而是在培養(yǎng)模型思想的同時，學(xué)生其他方面的核心素養(yǎng)能夠在應(yīng)用模型解決問題的過程中得到提升，這種提升就是模型思想教育價值所在。

弗賴登塔爾指出：‘學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化’。所謂數(shù)學(xué)化，是指從數(shù)學(xué)的角度看現(xiàn)象、用數(shù)學(xué)思維想問題，用數(shù)學(xué)方法解決和解釋問題，建立數(shù)學(xué)模型就是數(shù)學(xué)化，就是在用模型思想看現(xiàn)象；用模型思想思考問題的本質(zhì)；應(yīng)用模型思想去帶動思維品質(zhì)的提升；用模型思想去為學(xué)生的終身發(fā)展奠基。