高峰，彭瓊

（1.衡陽師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，湖南 衡陽 421002；2.湖南交通工程學(xué)院 基礎(chǔ)課部，湖南 衡陽 421001）

量子力學(xué)與相對論物理是近代物理學(xué)的兩大理論支柱，這是20世紀(jì)初期基礎(chǔ)物理學(xué)取得的兩個意義重大的成就?，F(xiàn)在，它們已經(jīng)成為人們研究物質(zhì)結(jié)構(gòu)、物質(zhì)運動規(guī)律、物質(zhì)的物理和化學(xué)性質(zhì)的主要理論武器。量子力學(xué)是反映微觀粒子運動規(guī)律的基礎(chǔ)理論，可以分為初等量子力學(xué)（簡稱為量子力學(xué)）及高等量子力學(xué)，初等量子力學(xué)主要研究微觀低速領(lǐng)域的物理問題，而高等量子力學(xué)主要研究微觀高速領(lǐng)域的物理問題。量子力學(xué)中的態(tài)疊加原理是量子力學(xué)的一個基本原理，也是一條基本假設(shè)，在量子力學(xué)理論體系中占有相當(dāng)重要的地位。多年來，國內(nèi)外許多學(xué)者對量子態(tài)及量子態(tài)疊加原理進行了深入研究，取得了大量研究成果。例如20世紀(jì)中葉，人們通過對量子態(tài)基本特性的研究并結(jié)合信息科學(xué)與計算機科學(xué)，發(fā)展了今天的量子信息學(xué)和量子計算。量子通信的絕對保密性及量子計算機的高速度運算能力和并行計算能力將使人類的通信和計算水平提高到嶄新的水平。但是，在以往的研究中，人們大多都是研究量子態(tài)及量子態(tài)疊加原理本身[1-5]。對于量子態(tài)及其某些相關(guān)問題的研究和討論還在繼續(xù)，例如對于力學(xué)量算符的本征態(tài)系的完備性問題、關(guān)于量子態(tài)的測量問題等等都還有待人們繼續(xù)探索[6]。

經(jīng)典力學(xué)中，任何物體的運動都可以被精確確定，描寫物體運動學(xué)特性及動力學(xué)特性的物理量（如坐標(biāo)、動量、加速度、時間、能量等）在任意時刻都具有確定的數(shù)值，這些物理量在任意時刻都可以被精確測量，所以任何宏觀物體的運動都具有確定的運動軌跡（或運動軌道）。而在量子力學(xué)中，由于微觀粒子具有波粒二象性，這使得許多物理量不能同時具有確定的數(shù)值，如坐標(biāo)和動量、能量和時間就不能同時具有確定值。因此，微觀粒子沒有確定的運動軌跡，描寫它們運動學(xué)特性和動力學(xué)特性的物理量就具有了統(tǒng)計意義[7]，這使得經(jīng)典物理態(tài)與量子態(tài)的物理特性有了本質(zhì)區(qū)別。對于量子態(tài)疊加與經(jīng)典波疊加之間的本質(zhì)區(qū)別，只有少數(shù)文獻有所提及，卻并沒有論述兩者之間的本質(zhì)區(qū)別到底在哪里。經(jīng)典力學(xué)中，波的疊加服從獨立性原理（或稱為波疊加原理），量子態(tài)的疊加是否也存在類似的原理，這兩者之間的根本區(qū)別何在，本文將依據(jù)量子態(tài)及力學(xué)量的測量理論，深入分析經(jīng)典物理學(xué)中機械波的疊加與量子態(tài)疊加的本質(zhì)區(qū)別，希望可以使人們更加深刻地理解量子態(tài)的特性及量子態(tài)疊加原理的物理本質(zhì)。

1 機械波疊加的基本理論

式中：A為振幅；ω為圓頻率；u表示波在介質(zhì)中的傳播速度；?是初位相。

大量的實驗事實表明，當(dāng)兩個或兩個以上的波源激發(fā)的波在同一介質(zhì)中相遇時，各列波在相遇前和相遇后都維持它原來的某些特性（例如頻率、波長、振動發(fā)生方向及傳播方向等）不變，這就是機械波疊加的獨立性原理[8]。正因為如此，在嘈雜的公眾場合中，各種各樣的聲音都進入人耳，但人們還是可以區(qū)分各種不同的聲音。但是，在各列波相遇的范圍內(nèi)，每一個質(zhì)元的振動都是由每列波單獨在該處引起的振動的合成，所以合成波在每一時刻都具有確定的能量和動量。

機械波是由機械振動在介質(zhì)中傳播而形成的，因此討論波的合成理論則要討論振動的合成。為簡單起見，設(shè)有兩列頻率相同、振動方向相同的平面簡諧波，它們的振動方程分別為

式中:A1和A2分別為兩列波相應(yīng)的振幅；ω為兩兩波源的圓頻率；?10，?20分別為兩列波相應(yīng)的初位相。如果不考慮介質(zhì)對波的能量吸收，則當(dāng)這兩列波在同一介質(zhì)中分別經(jīng)過距離r1和r2單獨傳播到空間某一點P時，它們在該點引起的振動分別為

式中λ為兩列波的波長。顯而易見，P點同時參與了兩個振動方向相同、頻率相同的簡諧振動。利用旋轉(zhuǎn)矢量法可以證明其合振動也是簡諧振動，它的圓頻率與兩個分振動的圓頻率是一樣的。設(shè)P點的合振動的振動方程為

利用余弦定理可以求出合振幅為

合成波的位相為

這兩列波在P點所引起的兩個振動的位相差為

如果兩列波的初位相為0或相等，則有

由此可見，兩列波在P點的位相差僅由它們的波程差決定。此外，由（10）式可以看出，對于給定的P點，兩個分振動的位相差是一個常量。但是，在波場中的不同點，因為兩列波的波程不相同，所以它們的位相差不同。

另一方面，波的強度I正比于其振幅的平方，由（8）式很容易得出合成波的強度為

在初中物理電學(xué)的計算題中遇到求解過程很復(fù)雜，而且解題的方法有很多種題時，這主要考驗學(xué)生的綜合能力，學(xué)生在解題的過程中可能出現(xiàn)由于粗心求解錯誤的情況，影響最后結(jié)果的得出。這時教師可以利用設(shè)未知列方程的方法，避開復(fù)雜的求解過程，幫助學(xué)生很好的解決問題。

（12）式表明，合成波的強度并不等于這兩列波單獨在空間存在時某點強度的代數(shù)和，這說明波的強度（能量）在空間要重新進行分布。

現(xiàn)在討論合成波的能量?？紤]兩列波在彈性介質(zhì)中傳播，由于介質(zhì)中質(zhì)元的振動將會使介質(zhì)產(chǎn)生形變，因而，它們不僅具有動能，同時也具有勢能。設(shè)介質(zhì)的體密度為ρ，在介質(zhì)中任取一體積元d V，其質(zhì)量為

體積元內(nèi)質(zhì)點的動能為

式中v為介質(zhì)中質(zhì)點的振動速度，不是波的傳播速度。

由（7）式可以求得

將（13），（15）式代入（14）式，得

根據(jù)楊氏彈性模量的定義及胡克定律可以求得彈性介質(zhì)中體積元d V內(nèi)質(zhì)點的勢能。設(shè)該體積元的截面積為S，則該體積元所受的彈性力為

由（18）、（19）兩式可以看出，在波的傳播過程中，任意時刻的動能和勢能不僅大小相等而且位相相同，它們同時達到最大或同時等于0。于是得到介質(zhì)中體積元d V內(nèi)質(zhì)點的總機械能為

根據(jù)（9）式可知?是r1和r2的函數(shù)，體積元內(nèi)的總機械能將隨空間和時間發(fā)生變化，所以體積元內(nèi)的機械能是不守恒的。以上得出的結(jié)果告訴我們，合成波的總能量中無法獨立地保留兩個分波的能量。

上面討論了兩列頻率相同、振動方向相同的經(jīng)典波的合成，對于一般性的兩列或多列波的合成，情況要復(fù)雜得多，雖然各列波的頻率、波長、振動方向及傳播方向都會保持不變，但要求出合成波在空間某一質(zhì)元的合振幅及位相也是十分復(fù)雜的，本文不再論述。

2 量子態(tài)的疊加原理

在量子力學(xué)中，因為任何實物體都具有波粒二象性，粒子的坐標(biāo)和動量不能同時具有確定值，這將使得它們沒有確定的運動軌跡，所以必須用波函數(shù)來描寫體系的狀態(tài)，這與經(jīng)典體系的狀態(tài)由坐標(biāo)和動量來描寫是完全不同的，波函數(shù)統(tǒng)一地描述了體系的粒子性和波動性。雖然量子態(tài)具有與經(jīng)典物理態(tài)所不具備的一些典型特性，如相干性、糾纏性及不可克隆性等，但是，所有的事實都表明量子態(tài)也可以疊加。對于一個量子體系，如果ψ1，ψ2，…，ψn，…為體系的可能狀態(tài)（簡稱為可能態(tài)），那么它們的線性疊加

仍為該體系的一個可能態(tài)，式中Cn為任意常數(shù)。這就是量子力學(xué)中的態(tài)疊加原理[9]。

在坐標(biāo)表象中，波函數(shù)是坐標(biāo)和時間的函數(shù)ψ(rˉ,t)，因此，就物理上來說，量子態(tài)疊加原理通常包含兩種不同的含意：第一種含意是指某一固定時刻的疊加。從波動觀點來看，這是不言而喻的。因為對于某個固定時刻，所謂可能態(tài)實際上是一個可以任意給定的初始條件，此時，（21）式只是表明幾個函數(shù)的相加等于另一個函數(shù)，并無物理概念。不過，就經(jīng)典觀念而言，人們就無法理解（21）式所表達的是一幅什么樣的物理圖像，例如，將一段粉筆放在講臺上和拋在空中這兩種可能狀態(tài)的疊加，我們就無法知道疊加出一個什么樣的狀態(tài)。事實上，薛定諤（Shordinger）在1935年就提出了一個佯謬——薛定諤貓，其核心問題就是一只貓能否處于活態(tài)（貓活著時的狀態(tài)）與死態(tài)（貓死了時的狀態(tài)）的疊加態(tài)，這個問題牽涉到微觀與宏觀及態(tài)的測量問題，歷史上有許多學(xué)者對此問題進行了討論和實驗研究，時至今日仍然還有少數(shù)學(xué)者在研究薛定諤貓的問題。第二種含意是指隨時間的變化的疊加。此時，（21）式實際上為

這里的ψ1(r→,t)，ψ2(r→,t)，…ψn(r→,t)，…及ψ(r→,t)是指一系列可以實現(xiàn)的運動，也就是滿足薛定諤方程的可能的運動，這就要求薛定諤方程必須是線性方程，因為只有線性方程，其解才具有疊加特性。

（22）式在形式上雖然十分簡潔，但它所蘊含的物理信息卻非常豐富又深奧。下面的分析將使我們看到，量子態(tài)的疊加是相干疊加，而且每一個量子態(tài)的所有物理特性都將保持相對獨立性。

3 經(jīng)典波疊加與量子態(tài)疊加的本質(zhì)區(qū)別

為了更加清楚地看出經(jīng)典機械波疊加與量子態(tài)疊加的本質(zhì)區(qū)別，我們首先來比較一下經(jīng)典機械波與量子物理學(xué)中物質(zhì)波的區(qū)別。前面已經(jīng)提到機械波是質(zhì)點振動狀態(tài)或物理量的振動在介質(zhì)中的傳播，這是一種物理存在，介質(zhì)中的任一質(zhì)元在任意時刻的狀態(tài)都可以由坐標(biāo)和動量來描寫。而量子態(tài)是由波函數(shù)ψ來描寫的，波函數(shù)統(tǒng)一地描寫了實物體的粒子性和波動性，根據(jù)物理學(xué)家波恩（Born）的解釋，它是一種概率幅，波函數(shù)的模的平方（即|ψ|2）表示粒子在空間某點附近單位體積內(nèi)出現(xiàn)的概率，因此物質(zhì)波是一種概率波。這種概率波既不同于經(jīng)典物理學(xué)中的機械波，也不同于大家熟悉的電磁波。我們知道粒子在整個空間出現(xiàn)是一個必然事件，所以粒子在空間某點附近出現(xiàn)的概率具有相對性，因此如果把波函數(shù)乘以任意常數(shù)C，這并不改變該波函數(shù)所描寫的量子態(tài)的物理本質(zhì)，即ψ與Cψ描寫的是同一量子態(tài)。對于機械波，情況就不一樣了，若在（1）式右邊乘以常數(shù)C，它將表示完全不同的另一機械波了，因為機械波是物體振動狀態(tài)在媒質(zhì)中的傳播，這會改變振動物體的振幅，而振幅是描寫機械振動的重要物理量。

現(xiàn)在具體分析量子態(tài)疊加原理。眾所周知，測量是進行物理學(xué)研究的重要手段之一，如果我們要對量子體系進行態(tài)和力學(xué)量的測量，由（22）式可知，在任意時刻是無法確定體系到底處于哪個狀態(tài)的，不過，我們可以確定體系處于各個狀態(tài)的概率，它們分別為，…,這就是說對于一個量子體系，它處于各個狀態(tài)都具有一定的可能性。為簡單起見，考慮某一量子體系具有兩個穩(wěn)定的狀態(tài)，分別為

由（23）式及（24）式可知，兩個量子態(tài)疊加以后，各個量子態(tài)所對應(yīng)的能量值依然分別存在于疊加態(tài)中。依據(jù)量子力學(xué)中的力學(xué)量測量理論，如果要對處于態(tài)ψ(r,t)的體系進行能量測量，則有可能測得的能量為 1E，也有可能測得的能量為 2E，并且測得能量值為E1的概率為|C1|2，測得能量值為E2的概率為|C2|2，除此之外的任何能量值都是不可能測得到的。不僅如此，若要對處于ψ(r→,t)態(tài)的體系的動量、角動量等物理量進行測量，也將只有可能測得態(tài)ψ1(r→,t)及ψ2(r→,t)分別對應(yīng)的動量和角動量。例如測量體系的動量，只需要將波函數(shù)ψ(→r,t)按照動量算符的本征態(tài)展開，即

其中C(p→,t)為展開系數(shù)，ψp(→r)為動量算符在坐標(biāo)表象中的本征態(tài)，它們分別為

就可以得到測得動量的可能值，測得各可能值的概率為對應(yīng)的各展開系數(shù)的模的平方。對于兩個以上量子態(tài)的疊加，可以同理討論。而對于機械波，無論是相干波還是非相干波的疊加，情況就完全不同了，合成波的能量、動量等在任意時刻都具有確定的數(shù)值，不可能出現(xiàn)多個可能值的情形[10]。

4 結(jié)束語

經(jīng)典物理學(xué)中，無論是機械波還是電磁波，它們都是物質(zhì)世界中物質(zhì)存在的一種形式，兩列或兩列以上的機械波或電磁波疊加后雖然可以保持其波長、頻率、振動方向、波的傳播方向等不變，但是疊加后的合成波已經(jīng)是一種全新的物理存在，在任意時刻都具有確定的能量、動量等。而在量子世界里，量子態(tài)蘊含了概率的信息，實物體的波動性表現(xiàn)為概率波，在本質(zhì)上不同于機械波和電磁波，正是這種統(tǒng)計特性帶來了對物理量測量的不確定性[11]。根據(jù)上面的分析討論，多個量子態(tài)疊加以后，各個量子態(tài)在疊加前的全部物理信息都將保留在疊加態(tài)中。鑒于此，我們也可以將該結(jié)論稱之為量子態(tài)疊加的獨立性原理。我們知道，波長、頻率是描述波動性的物理量，能量、動量是描述粒子性的物理量。經(jīng)典波的疊加中，描述波動性的物理量在兩列或兩列以上的波疊加后將保持不變，而在量子態(tài)疊加中，描述粒子性的物理量在兩個或兩個以上的量子態(tài)疊加后將保持不變，根據(jù)德布洛意關(guān)系，這是不言而喻的。

另一方面，由（24）式可知，量子態(tài)的疊加一定是相干疊加，這是由量子態(tài)本身的特性決定的，這種相干疊加在物理上不需要滿足任何特定的條件。而經(jīng)典波的疊加則不一樣，只有滿足某些特定的物理條件（如頻率相同、振動方向相同、位相差恒定）的兩列波才能形成相干疊加。