劉 瑩 王滿生 曲文娟 馬海樂(lè) 潘忠禮 蔣群輝

(1. 江蘇大學(xué)食品物理加工研究院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013；2. 中國(guó)農(nóng)業(yè)科學(xué)院麻類研究所，湖南 長(zhǎng)沙 410205；3. 美國(guó)加州大學(xué)戴維斯分校生物與農(nóng)業(yè)工程系，美國(guó) 加州 95616；4. 鎮(zhèn)江美博紅外科技有限公司，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

西紅柿是中國(guó)主要農(nóng)作物之一，產(chǎn)量和消費(fèi)量逐年上升，其加工產(chǎn)品種類也越來(lái)越多。但目前對(duì)于西紅柿果實(shí)幾何建模的研究相對(duì)薄弱，其精深加工程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于世界先進(jìn)水平，產(chǎn)品附加值低。

近年來(lái)，隨著農(nóng)業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)的拓寬和計(jì)算機(jī)圖像處理技術(shù)的不斷發(fā)展，農(nóng)作物幾何建模技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生，目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)開發(fā)了一些幾何模型用以模擬農(nóng)業(yè)材料，例如簡(jiǎn)化幾何模型[1]、三維重建模型[2-3]以及參數(shù)化建模方法[4]等。其中，參數(shù)化建模技術(shù)[5]是目前最常用的建模方法，它是用參數(shù)來(lái)構(gòu)造產(chǎn)品的幾何形態(tài)，能夠?qū)Ξa(chǎn)品進(jìn)行快速建模，為產(chǎn)品的快速可視化提供了基礎(chǔ)。但是目前參數(shù)化幾何建模方法在西紅柿形狀表征方面的應(yīng)用依然具有較大的挑戰(zhàn)：首先，西紅柿精準(zhǔn)的幾何模型還沒(méi)有完全發(fā)展起來(lái)。西紅柿呈較扁的橢圓形[6-8]，莖花軸向尺寸均勻，特別的是，西紅柿莖端(莖部瘢痕)的縮進(jìn)特征是其一個(gè)重要的局部形狀特征[6-7,9]，直接影響著其剝皮、分選、質(zhì)檢等一系列加工操作[10-12]，但目前未見有對(duì)西紅柿莖端局部縮進(jìn)特征進(jìn)行精確描述的相關(guān)研究報(bào)道，現(xiàn)有研究[13-14]報(bào)道的曲面和自由曲線的參數(shù)化建模方法通常是建立在物體近似曲面的幾何形態(tài)基礎(chǔ)上的，不能準(zhǔn)確表征西紅柿莖端局部縮進(jìn)的特征，因此無(wú)法應(yīng)用于西紅柿相關(guān)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)和仿真中。而且曲面和自由曲線幾何模型的表征參數(shù)較多，不僅有位置參數(shù)，還有積分參數(shù)和微分參數(shù)[5]，包含了大量的數(shù)字化數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)處理復(fù)雜。

研究擬通過(guò)建立少數(shù)參數(shù)表征的三維幾何模型快速且直觀地構(gòu)造出西紅柿的真實(shí)幾何形狀，準(zhǔn)確捕捉其重要的莖端局部縮進(jìn)特征，為西紅柿相關(guān)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、仿真以及剝皮、分選、質(zhì)檢等一系列加工提供基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，為其產(chǎn)業(yè)精深加工提供技術(shù)支撐。

1 材料與方法

1.1 試驗(yàn)原料

西紅柿：無(wú)機(jī)械和蟲咬等傷害，市售。

1.2 主要儀器與設(shè)備

電子天平：SQP型，北京賽多利斯科技有限公司；

游標(biāo)卡尺：MNT-150型，上海美耐特實(shí)業(yè)有限公司。

1.3 試驗(yàn)方法

1.3.1 西紅柿尺寸的測(cè)量和幾何關(guān)系建立 表征西紅柿形態(tài)屬性的主要參數(shù)包括總高度(H)、最大直徑到底部的垂直位置(P)、最大直徑(W)、肩高(S)、花端曲率半徑(R90)和莖端曲率半徑(R270)(見圖1)。使用精度0.1 mm的游標(biāo)卡尺來(lái)測(cè)量上述參數(shù)。

圖1 西紅柿的形態(tài)屬性參數(shù)Figure 1 Morphological attribute parameters of tomato

由圖1可知，各參數(shù)之間存在如下關(guān)系：

L=H-S，

(1)

L=R90+R270，

(2)

式中：

L——西紅柿長(zhǎng)度，mm；

R90——花端曲率半徑，mm；

R270——莖端曲率半徑，mm；

H——西紅柿總高度，mm；

S——西紅柿肩高，mm。

根據(jù)所選取西紅柿的形態(tài)特征，由于其最大直徑(W)并不等于果實(shí)高度中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的直徑，而是位于其水平軸的下方，因此d表示為：

d=H-(P+R90)。

(3)

1.3.2 西紅柿幾何模型的構(gòu)建 先采用正弦冪級(jí)數(shù)的三次項(xiàng)[15]來(lái)描述西紅柿的曲面形狀，再通過(guò)引入4個(gè)形狀描述系數(shù)(a、b、c1、c2)來(lái)精確表征西紅柿的莖端局部縮進(jìn)特征，具體幾何模型的表達(dá)式為：

(4)

式中：

R(θ)——坐標(biāo)原點(diǎn)(O)到西紅柿表面不同位置的徑向距離，mm；

θ——極坐標(biāo)的角度；

a、b、c1和c2——形狀描述系數(shù)。

1.3.3 西紅柿幾何模型描述系數(shù)的計(jì)算 為定量描述西紅柿形狀，需要確定4個(gè)形狀描述系數(shù)(a、b、c1、c2)，按照如下步驟計(jì)算：

(1) 確定系數(shù)“a”：當(dāng)θ= -π/2和π/2時(shí)，式(4)可以簡(jiǎn)化為式(5)和式(6)：

R90=a(1+c1+c2)，

(5)

R270=a(1-c1-c2)。

(6)

通過(guò)將式(5)和式(6)相加合并得：

(7)

由于R90和R270還滿足式(1)和式(2)的關(guān)系，因此代入式(7)，a可以表示為：

(8)

(2) 確定系數(shù)“b”：西紅柿果實(shí)在不同位置上的直徑W(θ)可通過(guò)θ來(lái)表示，其函數(shù)：

W(θ)=2R(θ)cos(θ)。

(9)

(10)

根據(jù)最大直徑W(θ)在閉區(qū)間[0,2π]范圍內(nèi)的求導(dǎo)結(jié)果等于零，得出式(10)中θ應(yīng)滿足以下條件：

(11)

此外，由于函數(shù)W(θ)的最大值是在端點(diǎn)處或臨界點(diǎn)處得出的，從幾何角度看，如果僅觀察最大直徑的一半(W/2)，θw也應(yīng)滿足直角三角[如圖1(b)所示]的關(guān)系：

(12)

將式(12)代入式(11)，求解系數(shù)“b”為：

(13)

(3) 確定系數(shù)“c2”：通過(guò)R90除以R270，根據(jù)式(5)和式(6)，系數(shù)“c1”和“c2”之間的關(guān)系可以表示為：

(14)

或

(15)

將式(14)、式(15)和式(2)重新整合，c2可以用c1表示為：

(16)

(4) 確定系數(shù)“c1”：另一個(gè)直角三角[如圖1(b)所示]關(guān)系：

(17)

將式(17)的左側(cè)以式(4)的形式展開，將式(8)、式(13)、式(16)中的系數(shù)a、b、c2代入式(17)中得到：

(18)

此外，c1可以通過(guò)假設(shè)二階或更高階的sin(θw)來(lái)表示，函數(shù)的階次越高，收斂性和計(jì)算精度越高[18]，式(18)可變?yōu)椋?/p>

(19)

將式(3)、式(8)、式(12)代入式(19)，由此得出c1為：

(20)

上述西紅柿形狀描述系數(shù)的具體計(jì)算數(shù)學(xué)方程詳見表1，此外還給出了4個(gè)系數(shù)計(jì)算時(shí)需要用到的實(shí)際測(cè)量尺寸參數(shù)。

表1 西紅柿形狀系數(shù)的數(shù)學(xué)方程及與西紅柿實(shí)際尺寸參數(shù)的關(guān)聯(lián)

1.3.4 西紅柿質(zhì)量和表面積的預(yù)測(cè)值計(jì)算和實(shí)測(cè)值測(cè)定

假設(shè)西紅柿是圍繞其莖花對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)的固體，可以根據(jù)帕普斯第一定理[19]，推導(dǎo)出西紅柿體積的計(jì)算公式：

(21)

式中：

V——西紅柿體積，mm3；

θ1——角積分下限；

θ2——角積分上限。

假設(shè)西紅柿果實(shí)密度為常數(shù)，可以用式(22)計(jì)算西紅柿質(zhì)量(m)。

m=

(22)

根據(jù)帕普斯第二定理[19]和辛普森公式[20]計(jì)算西紅柿表面積(SA)，其計(jì)算公式如下：

(23)

通過(guò)式(22)和式(23)計(jì)算獲得西紅柿質(zhì)量和表面積的預(yù)測(cè)值。此外，根據(jù)阿基米德原理，采用0.2 g/mL蔗糖溶液體積置換法測(cè)定西紅柿的密度[21]。使用電子天平測(cè)定西紅柿質(zhì)量的實(shí)測(cè)值。采用圓臺(tái)法[22]測(cè)定西紅柿表面積的實(shí)測(cè)值。

分別以相對(duì)百分誤差(ERPE)、均方根誤差(ERMSE)和確定系數(shù)(R2)來(lái)反映預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值之間擬合度的優(yōu)劣，其中ERPE和ERMSE計(jì)算公式：

(24)

(25)

式中：

MV——實(shí)測(cè)值；

PV——預(yù)測(cè)值；

n——樣本量。

2 結(jié)果與討論

2.1 西紅柿幾何模型中描述系數(shù)的計(jì)算

取超市購(gòu)買的75個(gè)西紅柿為樣本，測(cè)定其實(shí)際尺寸參數(shù)，實(shí)測(cè)結(jié)果如表2所示。由表2可知，將實(shí)測(cè)值代入表1中的數(shù)學(xué)方程計(jì)算獲得幾何模型中的4個(gè)描述系數(shù)，描述系數(shù)a和b的平均值(24.50，32.82 mm)非常接近實(shí)測(cè)果實(shí)高度(H=54.97 mm)和最大直徑(W=65.09 mm)的一半，表明二者描述系數(shù)的數(shù)值大小與西紅柿實(shí)測(cè)尺寸參數(shù)直接相關(guān)，可以由H和W直接計(jì)算獲得。此外由表1的計(jì)算方程還發(fā)現(xiàn)，描述系數(shù)c1和c2(0.33，0.11 mm)也與西紅柿實(shí)測(cè)尺寸參數(shù)H、W、P、S、R90直接相關(guān)。同樣地，Narushin等[23]采用參數(shù)方程描述禽蛋的形狀時(shí)也發(fā)現(xiàn)幾何模型的描述參數(shù)與實(shí)測(cè)樣品的尺寸密切相關(guān)。綜上所述，研究建立的西紅柿形狀幾何模型中的4個(gè)系數(shù)均與西紅柿實(shí)際尺寸參數(shù)密切相關(guān)，具有實(shí)際物理意義，可以全面表征西紅柿曲面形狀以及重要的莖端局部縮進(jìn)特征，可在西紅柿相關(guān)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、仿真等相關(guān)工程應(yīng)用中發(fā)揮重要作用。

表2 西紅柿實(shí)測(cè)尺寸參數(shù)與幾何模型計(jì)算系數(shù)的統(tǒng)計(jì)描述

2.2 西紅柿幾何模型系數(shù)與質(zhì)量和高度關(guān)系的分析

西紅柿形狀變化的預(yù)測(cè)受果實(shí)質(zhì)量和大小的約束，如果能將西紅柿質(zhì)量和高度一起整合到西紅柿幾何模型中，對(duì)用少量的參數(shù)快速表征西紅柿真實(shí)的幾何形狀具有重要意義。章文英等[24]在對(duì)蘋果的形狀進(jìn)行研究時(shí)發(fā)現(xiàn)高度對(duì)于蘋果形狀的表征起到了關(guān)鍵性的作用。因此研究分析西紅柿形狀描述系數(shù)(a、b、c1、c2)與其實(shí)際質(zhì)量(m)和高度(H)的關(guān)系，結(jié)果見圖2和圖3。根據(jù)圖2中建立的兩個(gè)回歸方程發(fā)現(xiàn)，回歸相關(guān)系數(shù)R2均在0.85以上，表明西紅柿質(zhì)量(m)與系數(shù)b、西紅柿高度(H)與系數(shù)a之間存在顯著的線性相關(guān)性，因此，西紅柿描述系數(shù)a和b可以通過(guò)直接測(cè)量西紅柿實(shí)際高度和質(zhì)量來(lái)獲得，比表1中通過(guò)測(cè)量W、H、P、S和R90來(lái)獲得更為簡(jiǎn)便和快速，表明研究所建幾何模型可以實(shí)現(xiàn)以少量參數(shù)對(duì)西紅柿真實(shí)幾何形態(tài)的快速表征。同樣地，Rashidi等[25]的研究報(bào)道也得出可以通過(guò)參數(shù)簡(jiǎn)化幾何模型進(jìn)而準(zhǔn)確描述獼猴桃的幾何形狀。

圖2 系數(shù)b和a與西紅柿質(zhì)量(m)和高度(H)的關(guān)系Figure 2 Relationship between coefficients b and a and tomato weight (m) and height (H)

圖3為系數(shù)c1和c2與西紅柿質(zhì)量(m)和高度(H)的關(guān)聯(lián)結(jié)果，研究發(fā)現(xiàn)，系數(shù)c1和c2與西紅柿質(zhì)量和高度均無(wú)良好的線性相關(guān)性，其數(shù)值的計(jì)算仍需通過(guò)西紅柿5個(gè)尺寸參數(shù)(H、S、R90、W和P)的測(cè)量來(lái)獲得，這是因?yàn)閏1和c2的數(shù)值大小反映了西紅柿莖端縮進(jìn)特征的局部細(xì)節(jié)變化，決定了其形狀的均勻性和同質(zhì)性[26]，而不是西紅柿整體大小的變化，因此其與質(zhì)量和高度的相關(guān)性較低。

圖3 系數(shù)c1和c2與西紅柿質(zhì)量(m)和高度(H)的關(guān)系Figure 3 Relationship between coefficients c1 and c2 and tomato weight (m) and height (H)

2.3 西紅柿三維幾何模型的構(gòu)建

在建立的二維幾何模型基礎(chǔ)上，將西紅柿剖面繞莖花對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)，得到其三維幾何的轉(zhuǎn)換，并將數(shù)學(xué)方程[式(4)]以及4個(gè)描述系數(shù)(a、b、c1、c2)的平均值代入MATLAB算法中創(chuàng)建西紅柿的三維幾何模型，結(jié)果見圖4。由圖4可知，該模型直觀準(zhǔn)確地描述了西紅柿莖端局部縮進(jìn)的特征，增強(qiáng)了模型的真實(shí)感，強(qiáng)化了模型的可視化功能，可以作為計(jì)算機(jī)模擬西紅柿幾何形狀的一種直觀準(zhǔn)確的計(jì)算工具[27]。紀(jì)平等[28]也利用番茄的半徑等參數(shù)采用MATLAB算法獲得了果實(shí)的輪廓圖像，但是其采用的MATLAB算法操作步驟較為復(fù)雜，且識(shí)別率不高，并不是一種快速表征西紅柿幾何形狀的好方法。

圖4 西紅柿的三維幾何模型Figure 4 Three-dimensional geometric modelof tomatoes

2.4 西紅柿幾何模型的驗(yàn)證

幾何模型可以用于計(jì)算西紅柿的一些幾何屬性，如質(zhì)量[29]、體積[23,30]、表面積[28]、曲率半徑[29]、圓周長(zhǎng)[23]等。因此，研究也應(yīng)用所建立的幾何模型對(duì)西紅柿質(zhì)量和表面積等幾何屬性進(jìn)行預(yù)測(cè)，并通過(guò)分析預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值來(lái)驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性和可靠性。從圖5發(fā)現(xiàn)，質(zhì)量和表面積的實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值之間均存在良好的線性相關(guān)性。由表3可知，質(zhì)量實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值之間的ERMSE值為10.11，ERPE為5.46%，R2為0.85，由已有報(bào)道[31]得知，該模型誤差在可接受的范圍內(nèi)，表明質(zhì)量實(shí)測(cè)值與理論預(yù)測(cè)值之間存在良好的線性相關(guān)性；表面積實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值之間的ERMSE值為44.75，ERPE為10.24%，R2為0.81，主要是由于西紅柿個(gè)體差異較大造成的，但總體而言，表面積實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值之間具有較高的擬合精度。這與王浩云等[30]研究發(fā)現(xiàn)蘋果的外形指標(biāo)與真實(shí)值之間具有較高相關(guān)性的結(jié)論一致。由此得出，研究所建西紅柿三維幾何模型可以用于量化西紅柿的質(zhì)量和表面積幾何屬性，是一種快速、準(zhǔn)確表征西紅柿幾何形狀的新型方法。

圖5 西紅柿質(zhì)量和表面積的預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值的比較Figure 5 Comparison of predicted and measured values of tomato weight and surface area

表3 西紅柿幾何模型的擬合度檢驗(yàn)結(jié)果Table 3 Fitting test results of tomato geometric model

理想狀況下是通過(guò)測(cè)定西紅柿邊界上每個(gè)點(diǎn)的曲率半徑來(lái)捕獲西紅柿形狀的所有特征，然而，這種方法測(cè)量效率低且計(jì)算復(fù)雜。為解決這些問(wèn)題，研究構(gòu)建了一個(gè)以少數(shù)參數(shù)表征西紅柿形狀的三維幾何模型，實(shí)現(xiàn)了對(duì)西紅柿真實(shí)幾何形狀的直觀、精準(zhǔn)且快速表征。此外，Datta等[32]認(rèn)為幾何建模的最終目的是應(yīng)用于實(shí)際加工中。因此研究又將建立模型應(yīng)用于西紅柿質(zhì)量和表面積等幾何屬性的預(yù)測(cè)，可為西紅柿相關(guān)加工產(chǎn)業(yè)的科學(xué)合理設(shè)計(jì)提供便利[33]，可將其作為原料模型用于脫皮熱處理過(guò)程中的傳熱模擬以及設(shè)備加熱均勻性優(yōu)化的依據(jù)，還可為西紅柿其他加工工程應(yīng)用推薦合適的參數(shù)，例如，在水果連續(xù)化加工作業(yè)中可以通過(guò)原料模型快速地估計(jì)水果形狀和大小，實(shí)現(xiàn)對(duì)質(zhì)量檢驗(yàn)對(duì)象的準(zhǔn)確定位等[34]。綜上，西紅柿幾何形態(tài)的定量描述滿足了其形態(tài)表征設(shè)計(jì)需求，可適用于各種西紅柿加工技術(shù)和相關(guān)機(jī)械裝備的設(shè)計(jì)，因此研究建立的幾何模型具有良好的實(shí)用價(jià)值。

3 結(jié)論

研究根據(jù)尺寸參數(shù)和形狀描述系數(shù)精確地描述了西紅柿的莖端局部縮進(jìn)特征，計(jì)算獲得形態(tài)描述系數(shù)a、b、c1、c2的適用范圍分別為21.78～28.58，30.50～34.54，0.19～0.53，0.04～0.31 mm，具有較寬的適用性。研究發(fā)現(xiàn)描述系數(shù)a和b與西紅柿實(shí)際高度和質(zhì)量高度線性相關(guān)(R2>0.85)，說(shuō)明該幾何模型可以實(shí)現(xiàn)以少量的參數(shù)快速表征西紅柿真實(shí)幾何形態(tài)的目的。實(shí)際應(yīng)用中，質(zhì)量和表面積實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值之間的預(yù)測(cè)效果良好，表明該模型可以用于量化西紅柿質(zhì)量和表面積等幾何屬性。研究建立的西紅柿模型能夠直觀、迅速且精確地表征西紅柿的幾何形狀，可以滿足西紅柿形態(tài)表征設(shè)計(jì)的需求，在西紅柿相關(guān)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)和仿真中具有良好的應(yīng)用潛力。西紅柿幾何模型中的形態(tài)描述系數(shù)與實(shí)際樣品尺寸參數(shù)之間具有線性相關(guān)性的原因主要體現(xiàn)于原料的自身特性，遺傳育種能夠保持產(chǎn)品尺寸與整體形狀的相對(duì)穩(wěn)定。但是，西紅柿品種的不同依舊會(huì)導(dǎo)致形狀特征的差異。因此，有必要對(duì)不同品種的西紅柿形狀描述系數(shù)展開深入研究，進(jìn)一步完善幾何模型，拓寬其適用性。