邱淑瑜

反思是數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心與動(dòng)力。錯(cuò)題整理是一個(gè)認(rèn)知“再創(chuàng)造”的過(guò)程，教師應(yīng)重視學(xué)生親歷并還原“再創(chuàng)造”的過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生真正填補(bǔ)學(xué)習(xí)過(guò)程中的薄弱處。因此，教師有意識(shí)地指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行錯(cuò)題整理，能幫助學(xué)生打下良好的知識(shí)基礎(chǔ)，也能促進(jìn)學(xué)生掌握正確的學(xué)習(xí)方法。

一、路徑分析，從靜態(tài)知識(shí)到動(dòng)態(tài)理解

有些學(xué)生做題憑經(jīng)驗(yàn)，感覺似曾相識(shí)，依葫蘆畫瓢，沒有自己的思考;或憑感覺做題，看完題目就計(jì)算，這樣的做題習(xí)慣導(dǎo)致遇到新題型或變式題就錯(cuò)誤百出。在整理錯(cuò)題時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)從靜態(tài)的知識(shí)學(xué)習(xí)變成動(dòng)態(tài)的理解，總結(jié)錯(cuò)誤原因，掌握解題思路或方法，才能在后續(xù)練習(xí)看到題目時(shí)想到易錯(cuò)點(diǎn)，這才是真正提高錯(cuò)題整理能力的有效策略。

如這樣一道題：已知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是32厘米，長(zhǎng)和寬的比是5∶3，求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米？大部分學(xué)生做錯(cuò)的原因是憑“按比例分配”的知識(shí)來(lái)解答，沒有細(xì)致思考周長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的份數(shù)，解答時(shí)沒有先將周長(zhǎng)除以2，導(dǎo)致解題出錯(cuò)。因此，錯(cuò)題訂正時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生寫出每一步的計(jì)算道理，展現(xiàn)思考的過(guò)程，促進(jìn)深度理解算理。

方法一：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)32×5/（5+3）=20（cm）→求2條長(zhǎng)

20÷2=10（cm）→求1條長(zhǎng)

長(zhǎng)方形的寬32×3/（5+3）=12（cm）→求2條寬

12÷2=6（cm）→求1條寬

方法二：32÷2=16（cm）→1條長(zhǎng)和1條寬的和

16×5/（5+3）=10（cm）→求1條長(zhǎng)

16×3/（5+3）=6（cm）→求1條寬

學(xué)生通過(guò)對(duì)解題路徑的分析，得出總數(shù)要與份數(shù)相對(duì)應(yīng)。從中還類比找到此類問(wèn)題的解題注意點(diǎn)：如果是求長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)，因?yàn)殚L(zhǎng)方體有4組的長(zhǎng)、寬、高，所以按比例分配時(shí)要記得除以4。通過(guò)解題路徑分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)并理解錯(cuò)因，還能遷移思考，找到類似的易錯(cuò)題，真正實(shí)現(xiàn)深度整理錯(cuò)題的價(jià)值，實(shí)現(xiàn)從掌握知識(shí)到掌握方法的飛躍。

二、圖示表達(dá)，從抽象思維到直觀理解

教材上的例題與練習(xí)一般都較為常規(guī)，大部分學(xué)生都懂得解答。而對(duì)于一些較復(fù)雜的變式題或提升題，學(xué)生的思考常出現(xiàn)偏差，不懂得運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法深入分析，匆忙解答導(dǎo)致錯(cuò)誤。在錯(cuò)題整理時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生借助圖示表征題目中的條件，厘清條件間的關(guān)系，引領(lǐng)學(xué)生從抽象的思維轉(zhuǎn)化為直觀的理解，促進(jìn)對(duì)問(wèn)題的深度分析，形成解題策略。

如這樣一道題：在一個(gè)長(zhǎng)40厘米，寬5厘米的長(zhǎng)方形紙片上，能剪下幾個(gè)最大的圓？每個(gè)圓的面積是多少？剩下部分的面積是多少？學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤主要是由于沒有理解最大圓與長(zhǎng)方形之間的關(guān)系，不能正確找出關(guān)系，解答便無(wú)從下手。故訂正錯(cuò)題時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將抽象的文字理解轉(zhuǎn)化為直觀的圖示，厘清條件之間的關(guān)系后再解答。

畫圖分析：

剪幾個(gè)：40÷5=8（個(gè)）

每個(gè)圓的面積：r=d÷2=5÷2=2.5（cm），S圓=πr2=3.14×2.52=19.625（cm2），S剩=S長(zhǎng)-S圓×8=40×5-3.14×2.52×8=200-19.625×8=43（cm2）

有了直觀化的分析，學(xué)生錯(cuò)題訂正后還分析比較剩下的43平方厘米是圓面積19.625平方厘米的兩倍多，但是不能再剪2個(gè)圓。因?yàn)槭Ｓ噙吔堑牟糠譀]辦法組成圓，所以不能用長(zhǎng)方形的面積除以每個(gè)圓的面積，而應(yīng)該算出長(zhǎng)邊可以剪出幾個(gè)圓，也就是長(zhǎng)邊包含幾個(gè)直徑來(lái)求解。這樣的圖示表達(dá)，引導(dǎo)學(xué)生從抽象的思考轉(zhuǎn)化為直觀的理解，促進(jìn)學(xué)生向問(wèn)題的更深處邁進(jìn)，學(xué)會(huì)反思?xì)w納，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)能力的提升。

三、關(guān)聯(lián)展示，從單一結(jié)構(gòu)走向模型建立

有些學(xué)生整理錯(cuò)題只是簡(jiǎn)單的訂正錯(cuò)誤，只收獲一道題的解法，教師如果能一題多變，引導(dǎo)學(xué)生用模型思想理解一類題的特點(diǎn)，那么這樣的錯(cuò)題整理就有創(chuàng)生的力量，實(shí)現(xiàn)學(xué)生知識(shí)水平的發(fā)展。

如這樣一道題：一個(gè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)（如右圖），兩端是半圓形，中間是長(zhǎng)方形，這個(gè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的周長(zhǎng)是多少米？面積多少平方米？學(xué)生做錯(cuò)的原因是缺乏對(duì)組合圖形的周長(zhǎng)的認(rèn)知，認(rèn)為求運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的周長(zhǎng)就是用圓的周長(zhǎng)加上長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)。筆者引導(dǎo)學(xué)生描一描操場(chǎng)的周長(zhǎng)，說(shuō)說(shuō)周長(zhǎng)包含哪幾部分。學(xué)生描完后發(fā)現(xiàn)周長(zhǎng)是整個(gè)外環(huán)的長(zhǎng)，而不是各獨(dú)立部分的周長(zhǎng)總和。

錯(cuò)題訂正：1. 運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的周長(zhǎng)=圓的周長(zhǎng)+兩條長(zhǎng)=64×3.14+100×2=400.96（米）。

2. 思考：像這樣用圓的周長(zhǎng)加兩條長(zhǎng)的組合圖形還可以是什么樣子的？

3. 發(fā)現(xiàn)：這三個(gè)圖形周長(zhǎng)相等，但面積不等。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以改變兩個(gè)半圓的方向，或同時(shí)向外，或同時(shí)向內(nèi)，或一個(gè)向外一個(gè)向內(nèi)。無(wú)論怎么變，周長(zhǎng)始終沒有變化，但面積會(huì)改變，同時(shí)向外時(shí)的面積最大，同時(shí)向內(nèi)時(shí)的面積最小。將同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)不斷地拓展，從單一知識(shí)結(jié)構(gòu)走向模型建構(gòu)，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的靈活性，實(shí)現(xiàn)整理一道錯(cuò)題，收獲一類題的規(guī)律，這樣的錯(cuò)題整理才能實(shí)現(xiàn)深度思考。

四、拓展衍生，從方法聚焦走向思維發(fā)散

在圖形面積的計(jì)算中，學(xué)生習(xí)慣性的解題思路就是套用公式來(lái)求解，但對(duì)于一些組合圖形的面積卻不懂得解題，究其原因是學(xué)生對(duì)程序性的方法掌握較好，創(chuàng)造性的思維較欠缺。因此，教師要借錯(cuò)題整理的時(shí)機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生從聚焦方法走向思維發(fā)散。

如這樣一道題：如右圖，已知正方形的面積是4平方米，正方形的兩條邊正好與圓相切，求圓的面積。很多學(xué)生找不到圓的半徑，無(wú)法套用公式，解題無(wú)從下手。在學(xué)生整理錯(cuò)題時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考正方形的邊長(zhǎng)與圓的半徑有什么關(guān)系。學(xué)生發(fā)現(xiàn)正方形的邊長(zhǎng)剛好是圓的半徑，而正方形的面積其實(shí)就是r2=4（平方米），那么圓的面積是S=πr2=4×π=4×3.14=12.56（平方米）。

隨之，筆者引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)說(shuō)這道題和以往的題目有什么不一樣的地方。學(xué)生回答說(shuō)，求圖形的面積不僅可以直接套用公式，還可以利用圖形的特點(diǎn)來(lái)解答。筆者予以肯定，然后問(wèn)：“如果在圖中補(bǔ)充3個(gè)同樣的正方形會(huì)變成什么圖形？”學(xué)生試著畫出外切圓的圖形。筆者再讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)此時(shí)外切圓的正方形的面積可以如何表示。學(xué)生探究后回答：外切圓的正方形的面積是4r2，根據(jù)2r=d可得出4r2=d2，從圖中可以看出圓的外切正方形其實(shí)是以直徑為邊長(zhǎng)的正方形。